Aufgabe Transformation

help help · Gast

Hallo, Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich relativ Ansatzlos bin. Die Aufgabe ist: Seien

fermionische Leiteroperatoren beschrieben durch eine Quantenzahl i und das System wird beschrieben durch den Hamiltonoperator

. Zu Berechnen ist der Ausdruck

.

Leider bin ich bei dieser Aufgabe sehr ratlos. Muss ich die Exponentialfunktion in einer Taylorreihe entwickeln? und wenn ja, bis zu welcher ordung? oder gibt es einen anderen Weg um diese Aufgabe zu lösen? Zumindest habe ich schonmal erkannt, dass es sich bei dem Hamiltonoperator um einen Harmonischen Oszillator handelt...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18022

Ja, du musst die Exponenten in

in eine Taylorreihe entwickeln und geschickt gruppieren. Dann erhältst du eine Summe "iterierter Kommutatoren"

Oder du schaust im Internet und dem Stichwort Baker-Campbell-Hausdorff-Formel bzw. Hadamard-Lemma nach.

Bei H handelt es sich um eine Summe ungekoppelter fermionischer harmonischen Oszillatoren. Die b's erfüllen andere Vertauschungsrelationen als im bekannten bosonischen Fall.

help hlep · Gast

Danke für deine antwort! mit dem lemma von hadamard erhalte ich schnell die von dir angesprochene Summe von Kommutatoren. Nun muss ich ja noch die Kommutatoren auswerten, z.b. den ersten

Wie kann ich diesen nun weiter berechnen? Soll ich diesen kommutator auf einen zustand, z.b. den Vakuumzustand anwenden? oder läuft die rechnung eher über die kommutatoarrelationen wie z.b.

?

PS: Ist der obige rechenschritt mit dem kommutator überhaupt richtig? oder muss ich da die produktregel für kommutatoren verwenden?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18022

Zunächst mal benötigst du die elementaren Antikommutatorrelationen

Den Kommutator schreibst du in Antikommutatoren um

Dass diese Beziehung gilt siehst du, wenn du für die rechte Seite einfach die vier Terme einzeln schreibst.