Was ist Impuls in der Quantenmechanik?

Marcel17 · Gast

Hallo
in der newtonschen Mechanik ist mir klar, was Impuls ist, nämlich p=m*v, aber was ist es in der Quantenmechanik. Zum Beispiel kann ein Photon einen Impuls p haben, aber ein Photon hat keine Masse und es ist schwierig eine Geschwindigkeit v für ein Photon zu betrachten, also taugt die Definition p=m*v hier nicht. Was habe ich also darunter zu verstehen, wenn man davon spricht, dass ein Photon einen Impuls p hat?

borromeus · Anmeldungsdatum: 29.12.2014 Beiträge: 509

Es gibt eine Energie-Impuls-Relation:

Wenn m null ist, bleibt für p

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Was den astronomisch interessanten Strahlungsdruck erklärt, im Wellenbild durch den Poyntingvektor.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

In der Quantenmechanik wird der Impuls wie jede Observable (wie z.B. auch Ort, Geschwindigkeit, Energie, Drehimpuls, ...) durch einen Operator beschrieben.

Bevor wir den Impuls diskutieren, sollten wir vielleicht erstmal darüber sprechen, wie der Teilchenort in der QM beschrieben wird, denn das ist einfacher. Ein Teilchen hat im allgemeinen keinen festen Ort (wie es auch keine feste Geschwindigkeit, keine feste Energie, keinen festen Impuls und überhaupt nichts Festes hat), aber man kann trotzdem sagen, daß es sich "im Mittel" an einem bestimmten Ort aufhält: Dem liegt die Idee der Wellenfunktion zugrunde; das ist eine Funktion

mit komplexen Werten (das ist nicht nur ein mathematisches Hilfsmittel, sondern tatsächlich eine Notwendigkeit!), deren Betragsquadrat

als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann (sogenannte Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation; beachte, daß für komplexe Zahlen i.allg.

ist, anders als bei reellen Zahlen, da das Quadrat negativ oder sogar nicht-reell sein kann). Das heißt, das Integral

gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen im Bereich

zu finden (mit der offensichtlichen Verallgemeinerung auf den dreidimensionalen Raum). Das heißt, Du hast eine Art Glücksspiel mit unendlich vielen möglichen Ausgängen (den Teilchenorten) und kannst wie immer in der Wahrscheinlichkeitstheorie einen Erwartungswert

und eine Standardabweichung

definieren. Die expliziten Formeln sind

Nun abstrahieren wir das etwas: Den Raum aller möglichen Wellenfunktionen ohne Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit

(das ist in etwa das, was man als Zustände bezeichnet; die Zeitabhängigkeit wird übrigens durch die Schrödingergleichung bestimmt, die Ortsabhängigkeit ist mehr oder weniger beliebig) fassen wir zu einem sog. Hilbertraum

zusammen und ein Operator ist einfach eine lineare Funktion

, die aus einem Zustand

einen neuen Zustand

macht. Bis auf Linearität gibt es keine weiteren Forderungen. Konkret ist der Ortsoperator

dadurch definiert, daß er aus dem Zustand

den Zustand

macht. Man spricht von einem so genannten Multiplikationsoperator, da er einfach den Ort an den Funktionswert multipliziert, was so ziemlich der einfachste Operator ist.
Wenn Du nun beachtest, daß

(mit der komplexen Konjugation

), dann siehst Du, daß man obige Formeln in die sogenannte Bra-Ket- oder Dirac-Notation umschreiben kann:

, wobei

Folglich ist

(mit obiger Formel) gleich

mit der unteren allgemeinen Formel, wobei für A der oben definierte Ortsoperator X eingesetzt wird. Denn es gilt

.

So ist für jede Observable ein zugeordneter Operator definiert und mit den allgemeinen Formeln kann man von einem Erwartungswert und einer Standardabweichung dieses Operators sprechen. Diese Standardabweichungen tauchen z.B. in der Heisenbergschen Unschärferelation auf, von der Du ja sicher gehört hast.

Nun dazu, wie man das für den Impuls anstellt: Der Impulsoperator ist ein Differentialoperator, er hat die Form

(mit dem Strich ist die Ableitung gemeint).

Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Form zu motivieren: Die einfachste ist sicherlich, von den de-Broglie-Formeln auszugehen und dann für eine Welle

festzustellen, daß

. Eine subtilere Möglichkeit hat mit dem Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik zu tun.
Der Schwachpunkt an dieser "Herleitung" ist, daß nicht klar wird, inwiefern der Impuls ein Operator ist. Beachte aber, daß im allgemeinen nicht jeder Zustand dieselbe Ableitung an allen Orten hat. Insofern kann man sagen, daß ein Teilchen an jedem Ort einen festgelegten Impuls hat (der sich aus der Ableitung der Wellenfunktion an dieser Stelle ergibt) und der zu erwartende Impuls der Mittelwert dieser Impulse, gewichtet mit der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte an den jeweiligen Orten, ist (daß das so ist, siehst Du, wenn Du den Impulsoperator in die obigen Formeln einsetzt).

Damit ist eigentlich alles zum Impuls gesagt.

Vielleicht noch ein Aspekt: Einem Teilchen kann man durchaus auch eine mittlere Geschwindigkeit zuordnen, indem man

betrachtet. Es gilt dann genau die klassische Formel

(in etwas allgemeinerer Form ist das die Aussage des Ehrenfest-Theorems).

PS: Hier wird gerade sehr viel vermischt. Was borromeus geschrieben hat, ist richtig, hat aber nichts mit Quantenmechanik, sondern mit Relativitätstheorie zu tun. Der von franz angesprochene Poynting-Vektor, der die Energie-Strom-Dichte (nicht den Impuls) eines elektromagnetischen Feldes darstellt, gehört eher in die Elektrodynamik. Was elektromagnetische Felder mit Photonen zu tun haben, ist nicht "mal eben" erklärt: Sehr grob gesagt, ist ein Photon eine elektromagnetische Welle mit festem Impuls (fest im Sinne von schwankungsfrei), und die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes hat auf nichttriviale Weise etwas mit der Anzahl der Photonen zu tun, aus denen man durch Superposition das Feld bekommt (das gehört aber nicht in die Quantenmechanik, sondern in die Quantenfeldtheorie).
Was ich geschrieben habe, gilt allgemein für die Beschreibung des Impulses eines Teilchens in der nichtrelativistischen Quantenmechanik (es wird auch in der relativistischen Quantenmechanik so verwendet, wobei in dieser veralteten Theorie allerdings nie klar war, was überhaupt eine Wellenfunktion ist).

Option · Gast

Kann man deine Ausführungen kurz wie folgt zusammenfassen?

Der Impuls in klassische Mechanik wird durch die Geschwindigkeit und in Quantenmechanik durch die Wellenlänge des Objektes bestimmt.

Wenn ja, dann hätte ich einige Fragen bzw. Erläuterungen dazu.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Option · Gast

Was meinst Du mit "nicht im klassisch Sinne"?
In welchem Sinne denn ?

Wie ist denn Impuls (Impulsoperator) in QM definiert, ohne eine Wellenlänge?

Bitte in mathematische Sprache.

Option · Gast

Ich meine, wenn die Feststellung (Vermutung) von De-Broglie hinsichtlich des Zusammenhanges zwischen Impuls und Wellenlänge in Abrede gestellt wird, dann muss man die gesamte Quantenmechanik verwerfen und zu Newton (P=mv) zurückkehren, was völliger Unsinn ist, denn dann wird nichts vom Quantentheorie übrig, womit die Quantenprozesse (Atom und Teilchenphysik) beschrieben werden können.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Marcel17 · Gast

Und wie misst man den Impuls in einem Experiment?
Das ist jetzt alles sehr abstrakt aber dadurch kann ich mir noch immer nicht vorstellen, was genau da gemessen wird, wenn man in einem realen Experiment den Impuls eines Teilchen misst.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Eine Zusammenfassung ist weiter unten.

@Opinion: Du kennst Dich nicht zufällig ein bißchen mit Hamiltonscher Mechanik aus, oder? Denn dort gibt es, wie schon angesprochen, einen analogen Formalismus. Ich glaube sogar, die ursprüngliche "Herleitung" bezieht sich auf die Hamiltonsche Mechanik und nicht auf die de Broglie-Formeln, aber ich bin nicht sicher. In jedem Fall ist es aber eine Motivation und nicht eine Herleitung im strengen Sinne. Vgl. die Signatur von TomS. Augenzwinkern

Falls Du nichts von Hamiltonscher Mechanik weißt, kannst Du die folgenden Zeilen einfach überspringen:
Die Wirkung, aufgefaßt als Funktion der Koordinaten (in dieser Form auch als "Hamiltonsche Prinzipalfunktion" bekannt), genügt der Hamilton-Jacobi-Gleichung:

Durch die (im Nachhinein durch den Feynmanschen Pfadintegralformalismus gerechtfertigte) Annahme, daß die Wellenfunktion eines semiklassischen Systems von der Form

ist, läßt sich die Schrödingergleichung "herleiten":

,
wobei man

einsetzt, also genau den Impulsoperator, den wir unten hergeleitet haben.
In Vorlesungen erfährt man sowas leider nie. Aber eigentlich ist das eine wertvolle Einsicht: Es gibt Situationen, in denen der kanonische Impuls nicht mit dem dynamischen übereinstimmt, und in diesen Situationen quantisiert

in der Tat den kanonischen und nicht den dynamischen (z.B. bei der Bewegung eines Teilchens im elektromagnetischen Feld).

Man braucht also nicht unbedingt die de Broglie-Formeln (mal abgesehen davon, daß die de Broglie-Formeln sicherlich verantwortlich für die Vermutung über die Form der Wellenfunktion eines quasiklassischen Systems sind). In jedem Fall ist es unklar, was i.allg. die Wellenlänge sein soll. Beachte auch, was ich über den Schwachpunkt der Herleitung oben geschrieben habe.

Ebene Wellen gibt es in der Natur auch gar nicht. Nur Wellenpakete. Damit die Wahrscheinlichkeitsinterpretation sinnvoll wird, sollte die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte wenigstens an einem Ort verschieden von Null sein und die Gesamtwahrscheinlichkeit sollte auf 1 normiert sein. Ebene Wellen erfüllen diese Forderung nicht. Läßt man sich auf diese Forderung ein, so ist es eine mathematische Tatsache, daß es keine Zustände mit klar definierten Orten oder klar definierten Impulsen gibt (in mathematischer Sprache: Orts- und Impulsoperator haben keine "echten" Eigenvektoren).
Übrigens sind auch die hier diskutierten Orts- und Impulsoperatoren Idealisierungen. In Wirklichkeit mißt man lediglich, ob ein Teilchen sich in einem bestimmten Bereich aufhält oder ob der Impuls in einem bestimmten Bereich liegt. Die Operatoren, die diesen Meßvorschriften entsprechen, sehen wesentlich komplizierter aus, sind also zum Rechnen völlig ungeeignet, haben allerdings angenehmere mathematische Eigenschaften, weshalb Leute, die sich mit einem bestimmten Formalismus der QM (dem C*-Algebren-Formalismus) beschäftigen, gerne darauf hinweisen. Das sollte man vielleicht im Hinterkopf behalten, wenn man fragt, wie man etwas wirklich mißt.

@Marcel: Bei einer Messung bekommst Du immer einen festen Wert. Egal, ob Du den Ort oder den Impuls mißt. Allerdings wirst Du, wenn Du die Messung wiederholst, einen anderen festen Wert bekommen. Den Ort kannst Du recht einfach messen: Du brauchst einen Detektor, der irgendwie empfindlich auf Dein Teilchen reagiert. Impuls bzw. Geschwindigkeit von geladenen Teilchen kannst Du z.B. über den Radius der Flugbahn im magnetischen Feld bestimmen. Ansonsten auch über irgendwelche Kalorimeter. Entscheidend ist, daß Du – egal, wie genau Du ihn mißt – immer als Mittelwert von vielen Messungen den Erwartungswert

und die Standardabweichung

bekommen wirst. Daß das so ist, ist zunächst einmal eine Hypothese (die Bornsche Interpretation). Darüber, was beim Meßprozeß eigentlich passiert, sagt der klassische Formalismus der QM gar nichts aus. Wie genau die modernen Alternativen aussehen, weiß ich nicht. Wenn ich mich richtig erinnere, kennt sich TomS aber damit aus.

So, Zusammenfassung: Ein Teilchen hat weder einen klar definierten Ort, noch einen klar definierten Impuls. Bei einer ebenen Welle kann z.B. ein klar definierter Impuls angegeben werden, aber dafür sind alle Orte im Universum gleich wahrscheinlich. Das ist offensichtlich Blödsinn bzw. lediglich eine Idealisierung. Bei wirklichen Teilchen sind beide Größen mit einer Unsicherheit (Standardabweichung) behaftet, die allerdings durchaus im Einzelfall unendlich groß sein kann (aber nie Null). In der Quantenmechanik geht es darum, möglichst viel über die Verteilung der potentiellen Meßwerte zu erfahren. Das ist alles, was man vorhersagen kann. In meinem Beitrag oben wollte ich einen flüchtigen, aber nicht allzu oberflächlichen Einblick geben, wie man dabei vorgeht.

Am Rande: Das ist zumindest eine Darstellung, mit der man sich allgemein zufrieden geben kann. Ob so eine Wellenfunktion lediglich eine nützliche statistische Beschreibung liefert oder eine tiefere physikalische/metaphysische Wahrheit darstellt, halte ich für eine offene Frage.

Marcel17 · Gast

Hallo Jayk

Aber in der quantenmechanik kann man doch nicht so einfach eine geschwindigkeit messen um den impuls zu bestimmen. Bei einem photon versagt das ja total weil es keine masse aber trotzdem einen impuls hat. Da kann ich nicht einfach sagen p=mc.

Mal angenommen ich habe einen Elektronenstrahl in einer mit einem gas gefüllten kammer und lenke ihn mit einem magnetfeld ab. Die bahn der elektronen wird durch das gas sichtbar gemacht, da es durch die elektronen zum leuchten angeregt wird.
Jetzt hat aber ein elektron in der quantenmechanik keinen definierte bahn. Ist es nicht so, dass an den elektronen durch das gas ständig ortsmessungen durchgeführt werden und die sichtbare bahn zeigt dann wo im mittel eine wechselwirkung zwischen elektron und gas stattfand? Ist mein verständnis von der quantenmechanik soweit richtig? Wie würde man die bahn aus konsequent quantenmechanischer rechnung gewinnen? Warum erfolgt die wechselwirkung zwischen gas und elektron lokal, d.h. warum geht das elektron um zu wechselwirken in einen ortszustand?

Meine schwierigkeiten sind im moment nicht der quantenmechanische formalismus an sich, sondern die übertragung des formalismus auf reale Experimente.

Option · Gast

Durch eine ebene Welle kann kein Teilchen beschrieben werden, solange aus deren Überlagerung kein Wellenpaket konstruiert wird.
Nicht nur für ebene Wellen, sondern für ein Wellenpaket gilt auch De-Broglie-Beziehung
P=hk
Der Übergang von Newtons Mechanik (p=mv) zu Quantenmechanik ist ohne Einbeziehung der De-Broglie-Vermutung (P=h/lambda, -Materiewelle-) absolut unmöglich.

Oder wird z.B. die Geschwindigkeit eines Elektrons im Wasserstoffatom gemessen, um seinen Impuls zu bestimmen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078