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Min Kowski
Gast
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 Min Kowski Verfasst am: 29. Dez 2015 19:10 Titel: Transformatin Kovariante Ableitung |
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Hallo. Ich habe eine Frage bzgl. der Transformation von kovarianten Ableitungen. Die Transformation von kovarianten Koordinaten ist:
Ist es richtig, dass sich die Ableitung wie folgt (und zwar mit der inversen Lorentzboostmatrix) transformieren?
Danke schonmal! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 29. Dez 2015 21:53 Titel: |
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Ja, das stimmt schon. Letztendlich ist das Transformationsverhalten der Basisvektoren unter Kartenwechsel einfach eine Anwendung der Kettenregel und gilt auch, wenn kein linearer Zusammenhang zwischen den Koordinaten besteht.
Aber was hat die Frage mit der kovarianten Ableitung zu tun? Sprichst du von einer flachen Raumzeit? Und was meinst du mit "kovarianten Koordinaten"? |
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Min Kowski
Gast
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| Min Kowski Verfasst am: 29. Dez 2015 23:45 Titel: |
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Danke schonmal für deine Antwort. Vermutlich benutz ich den Begriff kovariant falsch. mit kovarianten Koordinaten meinte ich nur den Orts-Vierervektor, welcher sich ja unter Lorentztransformationen wie oben in der 1. Gleichung beschrieben verhält. Und  bezeichnet meines Wissens die kovariante Ableitung (?).
Die Frage bezog sich lediglich auf die Richtigkeit der Gleichungen (welche ich oben benutzt habe), wenn ich die kovarianten Ableitungen vom bewegten (gestichenem) System ins ruhende transformieren will (bzw. umgekehrt):
Und andersherum:
Es verwirrt mich, dass sich der Vierervektor mit der Lorentzboostmatrix wie folgt transformiert:
Die kovarianten Ableitungen  jedoch mit der inversen Lorentzboostmatrix (s.o.):
Ich hätte nämlich erwartet, dass sich die Ableitungen analog zum Vierervektor transformieren, d.h.:
Also um die Frage nochmal auf den Punkt zu bringen: Ist die letzte Gleichung oder die vorletzte korrekt? Ich hoffe meine Frage ist etwas klarer geworden. Oder liegt meine Verwirrung darin begründet, dass ich ko- und kontravariante Vektoren/Ableitungen drucheinander bringe... |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 01. Jan 2016 14:30 Titel: |
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| Min Kowski hat Folgendes geschrieben: | Danke schonmal für deine Antwort. Vermutlich benutz ich den Begriff kovariant falsch. mit kovarianten Koordinaten meinte ich nur den Orts-Vierervektor, welcher sich ja unter Lorentztransformationen wie oben in der 1. Gleichung beschrieben verhält.
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Ok, ich hole mal etwas weiter aus, da es so aussieht als ob dir ein paar Grundbegriffe unklar sind.
Einen Ortsvektor gibt es nur in affinen Räumen. Deine Frage bewegt sich also vermutlich im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie. Ansonsten kann  auch einfach Ereigniskoordinaten bezeichnen. Die haben aber im allgemeinen keinen Vektorcharakter.
Die Bezeichnung "kovariante Koordinaten" ist m.W. unüblich, aber ich kann mich da auch irren. Treffender ist jedenfalls m.E. eine der Bezeichnungen "affine Koordinaten", oder auch "Lorentzsystem" oder "Inertialsystem", also die Raumzeitanaloga zu kartesischen Koordinaten in der euklidischen Geometrie. Ich denke nämlich, daß du genau das meinst.
Diese Koordinaten sind für einen Punkt  bezüglich eines Ursprungs  und einer konstanten Basis  einfach durch die folgende Beziehung d_\mu) und eine spezielle Forderung nach Linearität definiert (die ich erst weiter unten präzisieren kann).
| Zitat: |
Und bezeichnet meines Wissens die kovariante Ableitung (?).
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Naja, so bezeichnet man normalerweise einfach die Basisvektoren bezüglich eines beliebigen Koordinatensystems . Jeder dieser Vektoren definiert eine mögliche kovariante Ableitung. Es ist also durchaus möglich, daß du diese Sprechweise verwendest. Im allgemeinen gibt es aber beliebig viele kovariante Ableitungen auf einer Mannigfaltigkeit. In diesem Fall handelt es sich um die durch
 = \left(\frac{\partial}{\partial x^\mu}T^{\i_1\cdots}_{k_1\cdots}\right)\partial_{i_1}\otimes\cdots\dd x^{k_1}\otimes\cdots)
definierte Ableitung.
Wenn man von der kovarianten Ableitung spricht, meint man aber meistens die torsionsfreie, metrikverträgliche kovariante Ableitung, die dann eindeutig und auch die einzige in der Relativitätstheorie relevante ist. Diese stimmt mit der obigen nur überein, wenn die Raumzeit flach ist und die Koordinaten ein Inertialsystem definieren. Deswegen meine Frage. Es sieht aber so aus als ob der Hintergrund deiner Frage absolut nichts mit dem Begriff "kovariante Ableitung" zu tun hat.
| Zitat: |
Es verwirrt mich, dass sich der Vierervektor mit der Lorentzboostmatrix wie folgt transformiert:
Die kovarianten Ableitungen jedoch mit der inversen Lorentzboostmatrix (s.o.):
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Das ist genau der Unterschied zwischen dem was Physiker als "kovariante" bzw. "kontravariante" Größen bezeichnen.
Mathematisch steckt dahinter das Verhalten bestimmter Größen unter gewissen Transformationen  . Am leichtesten verständlich finde ich diese Definition wenn man sie zunächst auf sogenannte aktive Transformationen  der Raumzeit anwendet: Der "Ortsvektor" -- genauer gesagt handelt es sich um Vektorkomponenten! -- ist eine Sammlung von Funktionen auf der Raumzeit:  . Solche transformieren gemäß der normalen Verkettung  = x^\mu(f(P))) von Funktionen, d.h. eine Funktion auf dem Bildbereich von  definiert mittels der Verknüpfung mit eine Funktion auf dem Definitionsbereich von . Man sagt deshalb auch, daß jede Funktion vom Bildbereich auf den Definitionsbereich von "zurückgeholt" wird. Man nennt diese Operation "pullback" und schreibt das auch so:  . Sie geht also in die entgegengesetzte Richtung wie die Abbildung selbst und kann deshalb als "kontravariant" bezeichnet werden.
Bei Vektoren ist das Transformationsverhalten genau umgekehrt. Sie definieren Richtungsableitungen von reellen Funktionen  , d.h.
.)
Eine solche Richtungsableitung wird mit Hilfe von vom Definitionsbereich auf den Bildbereich von transportiert, nämlich gemäß der Gleichung
Da der pullback von eine Funktion auf dem Definitionsbereich von ist, definiert die rechte Seite einen Vektor auf dem Bildbereich von . Vektoren werden also in dieselbe Richtung transportiert, in die auch abbildet und können deshalb als "kovariant" bezeichnet werden. Die Operation heißt "push-forward" und wird mit  bezeichnet.
 ist immer eine lineare Abbildung und heißt auch das "Differential" von .
Es bleibt die Frage nach der Abbildung, deren pull-back und push-forward die von dir betrachteten Transformationsgesetze ergeben. Hierbei handelt es sich um Koordinatenwechsel oder auch passive Transformationen der Raumzeit zwischen zwei speziellen Koordinatensystemen, nämlich aus der Klasse der affinen Koordinaten. Affine Koordinaten  ordnen Ereignissen jeweils ein Element  = x^\mu(P)e_\mu) aus  zu. Dabei berücksichtigen sie, daß jedes Ereignis von einem Ursprung aus durch einen eindeutigen Ortsvektor  bestimmt ist  . Mit festgehaltenem hat also die Raumzeit eine lineare Struktur, die durch die affine Koordinaten respektiert wird, d.h. genauer
 = k(Q + r) = k(Q) + k_\star r
<br />
)
Dieser Vektorraum der Ortsvektoren mit Ursprung heißt in diesem Zusammenhang auch Tangentialraum am Ursprung . (Oder einfach nur Tangentialraum, weil in affinen Räumen die Tangentialräume an verschiedenen Punkten natürlicherweise miteinander identifiziert werden können.)
Der Urspung selbst wird typischerweise auf  abbgebildet, also gilt  = k_\star r) . Rechts steht hier der push-forward eines Tangentialvektors auf den Koordinatenraum . Dieser bildet auch die Basis für das Transformationsgesetz der Basisvektoren  .
Zunächst schauen wir uns aber an, wie affine Koordinaten selbst transformiert werden. Wir betrachten eine (zumindest lokal) umkehrbare Transformation  . Dann definiert diese bzgl. jedes affinen Koordinatensystems der Raumzeit ein weiteres, "transformiertes" Koodinatensystem  . Dies ist nicht notwendigerweise affin, aber wenn es affin sein soll, muß man eine bestimmte Bedingung an  stellen. Diese Bedingung ergibt sich aus
 = k'(Q) + k'_\star r = w(k(Q + r)) = w(k(Q) + k_\star r) = w(k_\star r),)
also muß für jeden Vektor  gelten
 = k'(Q) + (k'_\star \circ k^{-1}_\star)( v),)
d.h. daß -- wenig überraschend -- selbst eine affine Abbildung ist mit
Wenn sowohl Ursprung von als auch  ist, so ist linear. In dem Transformationsgesetz wirkt der differentielle Koordinatenwechsel  auf die kanonische Basis im . Dies ist eine invertierbare lineare Abbildung von auf sich selbst und definiert folglich eine Matrix  . Damit gilt also
e_\nu = k'(P) = x^\mu(P)\Lambda^\nu_\mu e_\nu
<br />
)
Vergleich der Koeffizienten vor den kanonischen Basisvektoren liefert
 = x^\mu(P)\Lambda^\nu_\mu.
<br />
)
Das ist genau das Transformationsgesetz, mit dem du gestartet bist. Du siehst, daß dieses Gesetz keine Selbstverständlichkeit ist, sondern eine Menge spezieller Annahmen als Grundlage besitzt. Läßt du z.B. die Forderung fallen, daß der Ursprung derselbe ist, so kommt in dem Transformationsgesetz noch die Verschiebung
 = x'^\nu(Q) + x^\mu(P)\Lambda^\nu_\mu
<br />
)
um die Koordinaten ) des Ursprungs von bzgl vor. Läßt du die Affinität der Koordinaten ganz fallen, kann man keine speziellen Aussagen mehr ableiten, die über den pullback  hinausgehen. Diese Gleichung ist aber allgemein genug, daß sie auch in der allgemeinen Relativitätstheorie gilt, in der die Raumzeit keine globale affine Struktur mehr besitzt.
Zum Schluß muß ich noch das Transformationsgesetz der Basisvektoren erläutern. Diese sind durch ihre Wirkung als partielle Ableitungen auf Funktionen der Raumzeit  bezüglich der Koordinaten definiert, d.h. man drückt das Argument der Funktion in den Koordinaten aus und bildet dann die Richtungsableitung nach dem kanonischen Basisvektor  so:
(te_\mu) = (\phi\circ k^{-1})_\star e_\mu) .
Wie wirkt sich ein Koordinatenwechsel auf diese Definition aus? Dieser kommt durch den push-forward der kanonischen Basis  oder gleichbedeutend durch den pull-back der Funktion  , also ) ins Spiel. Denn es gilt ja
also
und damit
(te_\mu) = (\phi\circ {k'}^{-1})_\star (w_\star e_\mu))
Mit der oben definierten Matrix  ergibt das (beachte, daß alle Differentiale, also Abbildungen mit tiefergestelltem  , linear sind)
_\star(\Lambda^\nu_\mu e_\nu) = \Lambda^\nu_\mu \partial'_\nu \phi.)
Oder wenn man von der beliebigen Funktion abstrahiert:
_\mu^\nu\partial_\nu)
Also ergibt sich in diesem Fall ein Transformationsgesetz mittels der inversen Matrix ^\mu_\nu.)
Sorry, das war jetzt vielleicht doch etwas viel auf einmal, aber frag bei Interesse oder Unklarheiten ruhig nochmal nach.
| Zitat: |
Also um die Frage nochmal auf den Punkt zu bringen: Ist die letzte Gleichung oder die vorletzte korrekt? Ich hoffe meine Frage ist etwas klarer geworden. Oder liegt meine Verwirrung darin begründet, dass ich ko- und kontravariante Vektoren/Ableitungen drucheinander bringe... |
Ja, ich denke, daß ist genau der Fall. Ich hoffe es ist zumindest ein bißchen klar geworden welches Transformationsgesetz richtig ist und warum. |
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