Ableitung Bessel-Funktion mit Integral gesucht!

oh20elyf · Anmeldungsdatum: 09.09.2015 Beiträge: 3

Meine Frage:
Im Rahmen meiner Bachelor Thesis muss ich die 2. Ableitung der folgenden Funktion bestimmen:

Kann mir jemand sagen ob/wie das möglich ist?

Meine Ideen:
Meine Idee war, zuerst die Stammfunktion nach t zu bilden um das Integral weg zu bekommen und anschließend 2 mal nach r abzuleiten.

Leider weiß ich nicht ob/wie das funktioniert. :/
Hat jemand Ideen?

LG Thilo

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Für Integrale über derartige Funktionen hilft evtl. Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions oder Mathematica. Ob dein Integral dort verzeichent ist, kann ich aber nicht sagen.

Alternativ kannst du auch prüfen, ob du die Differentation nach r unter das Integral ziehen kannst, d.h.

(zunächst solltest du mal x = r/l substitieren)

Für die Ableitung kannst du folgende Identität benutzen:

Weitere Möglichkeiten findest du, in dem du im Integral mögliche Integraldarstellungen der Besselfunktionen J einsetzt und anschließend (wenn erlaubt) die Integrationsreihgenfolge vertauschst, d.h. zuerst über t integrierst. Evtl. erhältst du dann besser hantierbare Integrale.

oh20elyf · Anmeldungsdatum: 09.09.2015 Beiträge: 3

Erstmal danke für die schnelle Antwort!

Also ich bilde erstmal die 2. Differentation von r ohne das Integral zu berücksichtigen und integriere das Ergebnis über t? Ist das zulässig?

Das ergibt laut wolframalpha.com:

Eine Idee wie ich überprüfen kann ob das Ergebnis korrekt bzw. das Verfahren zulässig ist?

LG =)

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

M.E. lohnt es sich, mal die Integraldarstellung

zu betrachten: