Quantenmechanik, C*-Algebren und unbeschränkte Operatoren

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Hallo!

Es gibt ja ganze Bücher, die den Formalismus der Quantenmechanik statt mit den Dirac–v.Neumann-Axiomen mit C*-Algebren aufziehen. Dann gibt es die GNS-Konstruktion, wonach man für jede C* Algebra eine Hilbertraumdarstellung

finden kann. Bekanntlich sind aber so gut wie alle Operatoren, die in der QM eine Rolle spielen, unbeschränkt.

Die Frage also: Was nutzt das? Unbeschränkte Operatoren bilden doch gar keine C*-Algebra. Was hat das also mit Quantenmechanik zu tun?

Versteht Ihr, was ich meine?

// Also möglicherweise habe ich ja auch den Sinn der GNS-Konstruktion nicht richtig verstanden. Dann würde ich mich freuen, wenn mir jemand erklären könnte, was der Sinn dahinter ist...

// Eine Idee: Kompakter Konfigurationsraum?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Ich habe mich nie ernsthaft mit AQFT befasst; irgendwie habe ich den Eindruck, das führt entweder zu identischen Resultaten, oder zu nichts.

Evtl. gibt es in deinem Fall einen Ausweg:
i) dichte Untermenge beschränkter Operatoren,
ii) Ausweg wie bei Haag's Theorem: kompakter Konfigurationsraum (deine Idee)

Oder es gibt keinen Ausweg und die AQFT liefert das Resultat, dass die QFTs streng genommen nicht existieren.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Die Weyl-Algebra wird in der LQG verwendet. Allerdings gibt es da subtile Probleme, so dass diese Quantisierung nicht unbedingt zur Standard-Quantisierung äquivalent ist. Diese Probleme müssen hier aber nicht zutreffen.

Frage: liefert das auch vernünftige Ergebnisse für die QFT? Die QM ist mathematisch wohldefiniert, die QFT nicht; also braucht man für letztere neue Methoden, oder?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

@index_razor: "Weyl algebra" scheint ein gutes Stichwort zu sein. Danke!
@TomS: Ich habe mich überhaupt nicht mit QFT befaßt.^^ So wie ich das sehe, geht der Ansatz mit den C* Algebren auf Irving Segal zurück und hat den Anspruch, die QM mathematisch rigoros zu beschreiben. Und da ich weiß, daß es ja schon eine rigorose Beschreibung der QM gibt, habe ich mich gefragt, ob die Alternative wenigstens genauso gut ist. Ästhetisch finde ich sie zugegebenermaßen reizvoller.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259