Tensorprodukt vs direkte Summe

Clemens · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 40

Meine Frage:
Hallo zusammen,

mir ist zwar der formale Unterschied zwischen dem Tensorprodukt zweier Vektorräume und der direkten Summe bekannt (bzw. eher die oberflächlichere Rechnerei), allerdings erschließt sich mir nicht, wann welche Kombination verwendet wird.

Spezieller in der Quantenmechanik:
Spin- mit Ortsvektorräumen sowie Einteilchen- zu Vielteilchenräumen werden mit dem Tensorprodukt kombiniert, Hilberträume verschiedener Teilchenzahlen werden mit der direkten Summe zum Fock-Raum kombiniert.

Wieso so und nicht anders?

Grüße,
Clemens

Meine Ideen:
Wieso kann ich nicht per direkte Summe (Spin up),(Spin down),(Ort)
zu einem (Dimension Ort)+2 dimensionalen Raum kombinieren und die Wellenfunktion hiermit beschreiben?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Das Tensorprodukt ist linear in jedem Faktor. Das ist eben der Witz: Man gibt eben nicht zwei unabhängige Wellenfunktionen für zwei Teilchen an (das entspräche der direkten Summe), sondern Wahrscheinlichkeiten, Teilchen 1 bei X und gleichzeitig Teilchen 2 bei Y zu finden (etwas grob gesprochen).
Solche Kombinationen kann man auch addieren. Bei der direkten Summe wäre das etwas sinnlos (man könnte ja komponentenweise zusammenfassen).

Anders gesagt: Ein allgemeines Element

ist von der Form

, dagegen ist ein allgemeines Element

von der Form

.