Condon Shortley Konvention, Clebsch Gordon

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Meine Frage:
Hey zusammen,

ich steh vor dem Problem, dass ich nicht weiß, wie ich die Condon Shortley Konvention anwende. Beispiel Spin 1/2 und Spin 1 Teilchen, bestimme alle CGK. Gut wir arbeiten das Schema ab, funktioniert super, bis wir beim Zustand 1/2 1/2 landen (j, mj). Dieser muss orthogonal zu 3/2 1/2 sein und normiert. Die Condon shortly konvention sagt dann, dass < j, mj | j1, mj1 = j1, j2, mj2 = j-j1 > größer als 0 ist (und reel). Jetzt hängt das doch vollkommen davon ab, was mein j1 und was mein j2 ist. Nehmen wir an, ich rechne die ganze Zeit mit j1 = s1 = 1/2 und j2=s2 = 1, dann hätte ich (für den j=1/2 mj = 1/2 Zustand)

< 1/2, 1/2| 1/2, 1/2, 1, mj2 = 1/2 - 1/2 = 0 > größer 0, also der Vorfaktor des Zustands |1/2, 0 > größer 0.

Nehme ich das jetzt anders rum, also j1 = s2 = 1 und j2 = s1 = 1/2 so haben wir:

< 1/2, 1/2 | 1, 1, 1/2 , 1/2 - 1 = -1/2 > größer 0,
also der Zustand | 1, -1/2 > hat einen positiven Vorfaktor. Und nun? Was mache ich jetzt? Bzw. was mache ich falsch?

Meine Ideen:
.

dookie · Anmeldungsdatum: 23.03.2023 Beiträge: 2

Servus,

ich denke dass du die Condon Shortley Konvention in beiden Fällen richtig verwendest. Es gilt die Symmetrierelation

(Symmetry Properties of Clebsch—Gordan Coefficients - K. T. Hecht, S. 269)

Wie kommst du darauf, dass deine Zustände |1/2, 0 > und | 1, -1/2 > einen identischen Vorfaktor haben sollen? Die Condon Shortley Konvention gilt für die CGKen und in denen ist die Permutation der Quantenzahlen

mit

"vermerkt", sodass die Aussage der Konvention nach wie vor eindeutig ist.

Dem stimmt auch Mathematica (unter Verwendung der Condon Shortley Konvention) zu:

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Dass die beiden Zustände einen identischen Vorfaktor haben sollen, habe ich nicht gesagt, mir ging es wirklich nur um das Vorzeichen. Die Werte entsprechen natürlich denen, welche du auch bei mathematica rausbekommst.
Ich finde es halt nur ein bisschen lost, das man da so eine "schöne" Konvention sich ausdenkt, die dann die Studierenden immer ausrechnen/anwenden lässt, aber jeder unterschiedlich seine Drehimpulse nummeriert und dadurch die Zustände so wirken, wie wenn sie negatives voneinander sind. Man müsste irgendwie eine Konvention einführen, dass man bei den Produktzuständen mit steigendem Drehimpuls nummeriert oder sowas. Aber ich bin wohl zu unbekannt um sowas durchzusetzen Big Laugh

Wenn man das aber nochmal durchdenkt, dann hätten wir ja (wurzeln im Kopf):

|1/2 1/2> = 2/3 |1, -1/2> - 1/3 |0,1/2>

und
|1/2, 1/2> = -2/3 |-1/2, 1> + 1/3 |1/2, 0>

Jetzt kenne ich mich leider gar nicht mit dieser Definition von Produktzuständen aus, weil meine Profs da reichlich wenig Wert drauf gelegt haben das zu erklären, aber meines Wissens, sollte das doch symmetrisch sein und nicht antisymmetrisch, wie es jetzt zu sein scheint. Also

|1> x |-1/2> = |-1/2> x |1> aber nicht |1> x |-1/2> != - |-1/2> x |1>

Das würde dann aber doch bedeuten, dass die erste Darstellung des Zustands eben das negative der zweiten Darstellung. Was ist hier schiefgelaufen?[/list]

dookie · Anmeldungsdatum: 23.03.2023 Beiträge: 2

Das Tensorprodukt kommutiert i.A. nicht.

https://de.wikipedia.org/wiki/Tensorprodukt#Kommutativität_nicht_gegeben

Da die Hilberträume der beiden Drehimpulse eine endliche Dimension haben müsste auch das Beispiel zum Kronecker-Produkt bei endlicher Dimension aus Wikipedia auf den Fall hier direkt übertragbar sein.

(Mit Notation

)

in den Basen

Die beiden Vektoren sind in Basen

gegeben, deren Basisvektoren in unterschiedlicher Reihenfolge auftreten. Ich würde dann annehmen dass das Minus durch Permutation der Basisvektoren entsteht.

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Ah cool, danke dir! Wenn das alles Sinn macht ist super. Dann kann ich mich da noch ein bisschen einlesen👍