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twb8t5
Anmeldungsdatum: 10.08.2011
Beiträge: 70
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 twb8t5 Verfasst am: 27. Jan 2013 22:43 Titel: Näherung für Wurzel aus Summe |
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Auf der Suche nach einer Approximation \ Näherung für den geometrischen Abstand (Wurzel) ...
EDIT: Beitrag vom Autor zurückgezogen.
Zuletzt bearbeitet von twb8t5 am 30. Jan 2013 08:52, insgesamt einmal bearbeitet |
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ClickBox
Anmeldungsdatum: 19.02.2012
Beiträge: 124
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| ClickBox Verfasst am: 28. Jan 2013 17:10 Titel: Re: Näherung für Wurzel aus Summe |
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| twb8t5 hat Folgendes geschrieben: | Die Näherung ist nur bei x < a schlechter als:
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meinst du vielleicht nur für x > 0, x>>a schlechter als […]?? |
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twb8t5
Anmeldungsdatum: 10.08.2011
Beiträge: 70
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| twb8t5 Verfasst am: 28. Jan 2013 20:33 Titel: Re: Näherung für Wurzel aus Summe |
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| ClickBox hat Folgendes geschrieben: | | meinst du vielleicht nur für x > 0, x>>a schlechter als […]?? |
Nein. Aber {a;x}>0 muss schon gelten. Abstände sind immer positiv. Beide Näherungen darf man eigentlich nicht benutzen wenn x und a ungefähr gleich sind. Die von mir angegebene Näherung ist in dem Bereich in dem man sie beide eigentlich nicht nehmen darf nur noch schlechter als einfach nur x zu nehmen.
Für x>>a kann man der Einfachheit halber |x| nehmen da die Fehler dann eh beide sehr klein sind.
Hier noch ein anderer Trick:
Für Wurzeln von Zahlen im Bereich (1,0 ; 1,4] gilt:
1,4 -> 1,2 ; 1,3 -> 1,15 ; 1,2 -> 1,1 also:
Das sieht zwar unnütz aus, war aber historisch sehr bedeutend. (Henry Briggs) |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 28. Jan 2013 22:11 Titel: |
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Die gute Taylorreihe tut's doch auch, wenn man sie entsprechend weit fortführt!
für 
)
für den anderen Fall: einfach x<->a vertauschen. |
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twb8t5
Anmeldungsdatum: 10.08.2011
Beiträge: 70
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| twb8t5 Verfasst am: 29. Jan 2013 09:52 Titel: |
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Die von dir angegebene Entwicklung ist nicht so gut, da jedes Glied eine Division enthält. Die von mir angegebene Formel enthält nur eine Division.
In Computern sind Dividieren durch andere Zahlen als Zwei, Wurzelziehen und andere transzendente(?) Funktionen sehr langsam. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 29. Jan 2013 10:08 Titel: |
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| twb8t5 hat Folgendes geschrieben: | Die von dir angegebene Entwicklung ist nicht so gut, da jedes Glied eine Division enthält. Die von mir angegebene Formel enthält nur eine Division.
In Computern sind Dividieren durch andere Zahlen als Zwei, Wurzelziehen und andere transzendente(?) Funktionen sehr langsam. |
Die Entwicklung enthält bis zur zweiten Ordnung nicht mehr Divisionen als die von dir angegebene Formel, wobei mir bei letzterer die Gültigkeit nicht direkt ersichtlich ist. Letztendlich kannst du ja stets die Anzahl der Divisionen herabsenken, wenn du alles auf einen Nenner bringst. (Dafür steigt natürlich die Anzahl der Multiplikationen.) |
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twb8t5
Anmeldungsdatum: 10.08.2011
Beiträge: 70
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| twb8t5 Verfasst am: 29. Jan 2013 12:58 Titel: |
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| Chillosaurus hat Folgendes geschrieben: | | die von dir angegebene Formel, wobei mir ... die Gültigkeit nicht direkt ersichtlich ist. |
Sie basiert auf zwei Näherungen und ist deshalb so gut, weil eine Näherung systematisch zu groß und die andere systematisch zu klein ist.
Die eine Näherung ist |x| die andere basiert auf 1/cos(arctan()) und den zugehörigen Reihen.
| Zitat: | | Letztendlich kannst du ja stets die Anzahl der Divisionen herabsenken, wenn du alles auf einen Nenner bringst. (Dafür steigt natürlich die Anzahl der Multiplikationen.) |
Ja, das stimmt. Die Divisionen kann man auf eine begrenzen, das ist also kein Argument. Dennoch steig die Anzahl der Multiplikationen schnell (auf x^6) ohne besser zu sein.
Wenn man den gleichen Trick zu Deiner Potenzreihe hinzufügt, ist Deine Lösung besser und es reicht bis x^2 zu entwickeln. Dann hat man Fehler <2% wenn  .
Häng einfach (...)/2+x/2 an. Dann kommst Du auf:
Also war meine Näherung nicht so gut und auf einem Umweg entstanden. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 30. Jan 2013 01:54 Titel: |
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| twb8t5 hat Folgendes geschrieben: |
Wenn man den gleichen Trick zu Deiner Potenzreihe hinzufügt, ist Deine Lösung besser und es reicht bis x^2 zu entwickeln. Dann hat man Fehler <2% wenn .
Häng einfach (...)/2+x/2 an. Dann kommst Du auf:
Also war meine Näherung nicht so gut und auf einem Umweg entstanden. |
Das stimmt leider nicht. Die Näherung
ist fuer alle(!) x>a schlechter als die Taylorreihenapprximation
Am einfachsten sieht man es indem man die drei Funktionen einfach mal plottet. Aber auch analytisch laesst sich leicht zeigen, dass die Differenz zur Ursprungsfuntion in deiner Naehrung groesser ist als bei der Taylorreihe. |
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twb8t5
Anmeldungsdatum: 10.08.2011
Beiträge: 70
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| twb8t5 Verfasst am: 30. Jan 2013 08:21 Titel: Mein Fehler |
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Das stimmt leider. Mein Fehler war ein ² was beim Vergleich fehlte.
Alles was ich schrieb war Mist. 
Wenn ein Mod meinen Mist löschen mag: nur zu.
Es sind übrigens Potenzreihen. Taylorreihen haben einen flexiblen Entwicklungspunkt und sind für einen bestimmten Entwicklungspunkt (meist 0) identisch mit einer Potenz Reihe. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 30. Jan 2013 08:29 Titel: Re: Mein Fehler |
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| twb8t5 hat Folgendes geschrieben: |
Es sind übrigens Potenzreihen. Taylorreihen haben einen flexiblen Entwicklungspunkt und sind für einen bestimmten Entwicklungspunkt (meist 0) identisch mit einer Potenz Reihe. |
... und Potenzreihen sind eindeutig... |
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