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Upside down Quark
Anmeldungsdatum: 13.04.2016
Beiträge: 66
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 Upside down Quark Verfasst am: 23. Jun 2016 23:31 Titel: Wurzel 2 als konkrete Länge |
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Meine Frage:
Hallo,
kurze Frage, welche mich gerade überfordert (es ist spät..): Angenommen ich zeichne ein exaktes (rechtwinkliges) Dreieck mit zwei (gleichschenkligen) Katheten der Seitenlänge 1cm. Nach Pythagoras ist die Seitenlänge der Hypotenuse wurzel {2}. Nehmen wir aber weiter an, dass ich über ein ebenfalls 100% exaktes Lineal verfüge und ich mit diesem jene Hypotenuse messen würde, würde ich dann nicht zumindest einen konkreten Wert vor bzw. nach der o.g. Seitenlänge wurzel {2} haben? Und das Lineal müsste, so meine ich, einen klar definierten Wert (wenn man Unschärfe etc. vernachlässigt) anzeigen?
Da der Betrag dieser Länge jedoch irrational ist, gibt es nach Definition keine Zahl darüber oder darunter (oder?).
Wo ist der Logikfehler?
Meine Ideen:
Praktisch ist der Ansatz offensichtlich nicht durchführbar und villt. scheitert es tatsächlich auch daran, dass kein derartiges Lineal existieren kann...
Ich weiß es nicht und das setzt mir zu, da die Frage relativ banal aussieht.
Grüße
P.S. Ich sehe ein, dass die Frage evtl. etwas sehr wenig mit Physik zu tun hat, das Grundproblem war aber durchaus ein physikalische Aufgabe  . |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 24. Jun 2016 00:46 Titel: |
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Die Messung einer Strecke hat damit unmittelbar nichts zu tun. |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3390
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| ML Verfasst am: 24. Jun 2016 09:49 Titel: Re: Wurzel 2 als konkrete Länge |
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Hallo,
| Upside down Quark hat Folgendes geschrieben: | | würde ich dann nicht zumindest einen konkreten Wert vor bzw. nach der o.g. Seitenlänge wurzel {2} haben? |
Direkte Nachbarn kannst Du nicht angeben. Denn wenn Du zwei Zahlen  und  auswählst (als vermeintlich direkte Nachbarn), so kannst Du immer noch beliebig viele Zahlen angeben, die zwischen diesen beiden liegen, z. B.
) .
| Zitat: |
Und das Lineal müsste, so meine ich, einen klar definierten Wert (wenn man Unschärfe etc. vernachlässigt) anzeigen? |
Die Zahl  ist klar definiert. Du kannst sie (wie von Franz beschrieben) bloß nicht als Bruch natürlicher Zahlen hinschreiben und auch nicht als Dezimalzahl mit endlich vielen Ziffern.
Es ist aber problemlos möglich, die Zahl als oder als  zu notieren. Auch als Reihe ist die Darstellung möglich, oder eben als )
Viele Grüße
Michael
Zuletzt bearbeitet von ML am 24. Jun 2016 10:05, insgesamt einmal bearbeitet |
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USDQ
Gast
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| USDQ Verfasst am: 24. Jun 2016 09:53 Titel: |
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Aber Wurzel {2} hat keine periodische Dezimaldarstellung - wie kommt es dann, dass ich mit einem ausreichend exakten Lineal eine solche Länge präzise bestimmen kann? Wie kann ein praktisch messbarer Wert nicht genau mathematisch bestimmbar sein? |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3390
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| ML Verfasst am: 24. Jun 2016 10:08 Titel: |
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Hallo,
| USDQ hat Folgendes geschrieben: | | Aber Wurzel {2} hat keine periodische Dezimaldarstellung |
Ja, und?
| Zitat: |
wie kommt es dann, dass ich mit einem ausreichend exakten Lineal eine solche Länge präzise bestimmen kann? |
Kannst Du das? Ganz ohne Fehler? Mich würde da mal die Breite des Linealstriches interessieren, und ob Du ihn sehen kannst.
| Zitat: |
Wie kann ein praktisch messbarer Wert nicht genau mathematisch bestimmbar sein? |
Was heißt für Dich "mathematisch bestimmbar"?
Ich denke, die Zahl ist eindeutig definiert. Und wenn ich darüber sprechen will, schreibe ich sie einfach hin -- mit endlich vielen Zeichen, nämlich als .
Viele Grüße
Michael |
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USDQ
Gast
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| USDQ Verfasst am: 24. Jun 2016 10:37 Titel: |
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Ok, d.h. die Tatsache, dass Wurzel {2} unendlich Nachkommastellen ist daher unerheblich, da a) kein derartig genaues Messinstrument existieren kann und b) dass Wurzel {2} unbeeinflusst davon, dass sie nicht als Dezimalzahl dargestellt dargestellt werden kann, klar definiert ist?
Mich hat nur überrascht, dass man (wenn man unrealistisch genau zeichnen könnte) ein Zähl mit nicht-endlichen Nachkommerstellen zeichnen kann. |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3390
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| ML Verfasst am: 24. Jun 2016 10:49 Titel: |
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Hallo,
| USDQ hat Folgendes geschrieben: | Ok, d.h. die Tatsache, dass Wurzel {2} unendlich Nachkommastellen ist daher unerheblich, da a) kein derartig genaues Messinstrument existieren kann
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Ich denke nicht, dass sich die mathematische Theorie am Vorhandensein oder Fehlen eines Messinstrumentes stört.
| Zitat: |
Mich hat nur überrascht, dass man (wenn man unrealistisch genau zeichnen könnte) ein Zähl mit nicht-endlichen Nachkommerstellen zeichnen kann. |
Wenn man könnte, könnte man. Man kann aber nicht.
Du hast doch im Grunde immer die gleichen Probleme, wenn Du eine Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen (sagen wir z. B. die Zahl 1,414213562373095048801688724209) durch eine Zeichnung darstellen willst. Das geht prinzipiell nicht mehr und nicht weniger genau als bei .
Es ist m. E. nur die Skalierung des Lineals, die den Unterschied macht. Wenn Du ein Lineal hast, das in Vielfachen von e eingeteilt ist statt in Vielfachen von 1, erscheint es plötzlich einfacher, die irrationale Zahl e zu zeichnen als die 1. Bei den üblichen Linealen ist es umgekehrt.
Viele Grüße
Michael |
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.:markus:.
Anmeldungsdatum: 10.03.2014
Beiträge: 6
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| .:markus:. Verfasst am: 24. Jun 2016 11:14 Titel: |
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Wie soll man das messen können?
Wie ja Franz schon schrieb heißt Irrational, das die Zahl nicht in der Form p/q darstellbar ist, p und q sind ganze Zahlen, q ungleich null
Ein Lineal ist aber nichts anderes als eine Abbildung p/q. Wobei q die Auflösung des Lineals ist und p die Anzahl der Striche. Da du aber keine ganzzahlige Auflösung für das Lineal angeben kannst, kann es ein solches Lineal auch nicht geben. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Jun 2016 13:32 Titel: |
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| Upside down Quark hat Folgendes geschrieben: | | Da der Betrag dieser Länge jedoch irrational ist, gibt es nach Definition keine Zahl darüber oder darunter (oder?). |
Natürlich gibt es beliebig viele Zahlen, die darüber oder darunter liegen. Zum Beispiel liegt die Zahl 1,41421356237309504880168 unter , die Zahl 1,4142135623730950488016 darüber.
Oder was hast Du mit Deiner Behauptung gemeint? |
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Upside down Quark
Anmeldungsdatum: 13.04.2016
Beiträge: 66
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| Upside down Quark Verfasst am: 24. Jun 2016 13:42 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Oder was hast Du mit Deiner Behauptung gemeint? |
Ich bezog mich auf mein imaginäres Messinstrument und der Tatsache, dass  ebenfalls irrational ist. Und da ein Lineal zB ja in gleichmäßige Abschnitte skaliert ist, kann folglich ein solcher Wert nicht (genau) abgelesen werden. Ich gehe aber auch davon aus, dass wenn sowohl das gezeichnete Dreieck, wie auch das Instrument selber, exakt sind, das Messinstrument einen konkreten Wert für die Länge der Hypotenuse anzeigen müsste. Ich ging dabei davon aus, dass ein konkret definierter Wert nicht irrational sein kann.
Zuletzt bearbeitet von Upside down Quark am 24. Jun 2016 13:51, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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PhyMaLehrer
Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 1085
Wohnort: Leipzig
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| PhyMaLehrer Verfasst am: 24. Jun 2016 13:47 Titel: |
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Ich weiß nicht, ob das folgende das Problem ist oder ob etwas anderes gemeint ist:
Eine Strecke der Länge "Wurzel aus 2" (bezogen auf irgendeine Einheit) kann konstruiert werden, eben als Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1, obwohl Wurzel aus 2 eine irrationale Zahl ist. Das Lineal kann also an dieser Stelle einen exakten Teilstrich haben.
Mit Pi sähe es da schon viel schlechter aus... |
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PhyMaLehrer
Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 1085
Wohnort: Leipzig
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| PhyMaLehrer Verfasst am: 24. Jun 2016 13:47 Titel: |
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Ich weiß nicht, ob das folgende das Problem ist oder ob etwas anderes gemeint ist:
Eine Strecke der Länge "Wurzel aus 2" (bezogen auf irgendeine Einheit) kann konstruiert werden, eben als Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1, obwohl Wurzel aus 2 eine irrationale Zahl ist. Das Lineal kann also an dieser Stelle einen exakten Teilstrich haben.
Mit Pi sähe es da schon viel schlechter aus... |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3390
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| ML Verfasst am: 24. Jun 2016 13:59 Titel: |
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| Upside down Quark hat Folgendes geschrieben: | | Und da ein Lineal zB ja in gleichmäßige Abschnitte skaliert ist, kann folglich ein solcher Wert nicht (genau) abgelesen werden. |
Wieso? Dann nimmst Du eben ein Lineal, das ) Längeneinheiten lang ist. |
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Upside down Quark
Anmeldungsdatum: 13.04.2016
Beiträge: 66
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| Upside down Quark Verfasst am: 24. Jun 2016 14:05 Titel: |
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| PhyMaLehrer hat Folgendes geschrieben: |
Mit Pi sähe es da schon viel schlechter aus... |
Könnte ich auch nicht gleichen Gedankengang auf Pi anwenden?
Kann man hier davon ausgehen, dass 2.221... ebenfalls irrational ist?
| ML hat Folgendes geschrieben: |
Dann nimmst Du eben ein Lineal, das ) Längeneinheiten lang ist. |
Würde man damit nicht vor dem Problem wegducken? Mein Problem ist ja eben, dass ich meine, dass nicht (genau) als Länge dargestellt werden kann - folglich gilt das auch für das Lineal. |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3390
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| ML Verfasst am: 24. Jun 2016 14:09 Titel: |
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| Upside down Quark hat Folgendes geschrieben: | | ML hat Folgendes geschrieben: |
Dann nimmst Du eben ein Lineal, das Längeneinheiten lang ist. |
Würde man damit nicht vor dem Problem wegducken? Mein Problem ist ja eben, dass ich meine, dass nicht (genau) als Länge dargestellt werden kann - folglich gilt das auch für das Lineal. |
Es ist ja auch keine Länge, sondern eine Zahl. |
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Upside down Quark
Anmeldungsdatum: 13.04.2016
Beiträge: 66
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| Upside down Quark Verfasst am: 24. Jun 2016 14:10 Titel: |
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| PhyMaLehrer hat Folgendes geschrieben: |
Eine Strecke der Länge "Wurzel aus 2" (bezogen auf irgendeine Einheit) kann konstruiert werden, eben als Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1, obwohl Wurzel aus 2 eine irrationale Zahl ist. |
Das ist wohl der entscheidende Punkt. |
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Upside down Quark
Anmeldungsdatum: 13.04.2016
Beiträge: 66
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| Upside down Quark Verfasst am: 24. Jun 2016 14:11 Titel: |
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| ML hat Folgendes geschrieben: | | Upside down Quark hat Folgendes geschrieben: | | ML hat Folgendes geschrieben: |
Dann nimmst Du eben ein Lineal, das Längeneinheiten lang ist. |
Würde man damit nicht vor dem Problem wegducken? Mein Problem ist ja eben, dass ich meine, dass nicht (genau) als Länge dargestellt werden kann - folglich gilt das auch für das Lineal. |
Es ist ja auch keine Länge, sondern eine Zahl. |
Aber wenn ich ein Lineal skaliert mit dieser Zahl nehme, wird es dann nicht zur Länge? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 25. Jun 2016 22:25 Titel: |
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Ich verstehe ehrlich gesagt dein Problem überhaupt nicht.
Wenn ich ein Lineal hernehme, eine Einheitslänge definiere und je weiterer Einheit einen Strich mache, dann wirds immer unendlich viele Punkte geben die innerhalb dieser Einheitslänge liegen und somit nicht einen Strich treffen.
Das heißt aber noch lange nicht das innerhalb der Striche keine Punkte exisitieren können bzw nicht bis zu diesen Punkten gezeichnet werden kann, es heißt nur das nicht alle Punkte dann auf den Lineal mit dem exakten Strichwerten beschrieben werden können.
Ich kann nach den Dezimalsystem die Einheiten verkleinern, auf 1/10 1/100 solange aber meine Einheit eine gewisse Länge beschreibt gibts immer unendlich viele Punkte die immer noch zwischen diesen Strichen liegen selbst wenn die einheitslänge 1/10000000000000000000000000000000000000 oder mehr ist.
Wurzel 2 ist eine Länge die leider immer innerhalb der Einheitsstriche liegen wird und somit keinen Strich genau trifft, egal wie klein die Schrittweite wird, aber das ist doch kein Problem oder? |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 26. Jun 2016 01:59 Titel: |
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Anderes Problem: Nimm ein Lineal, das auf die Diagonale skaliert ist. Dann kannst Du auch keinen exakten Wert für die Länge 1.0 in dieser Einheit aufschreiben.
Was Du mit einem Lineal machst, ist im wesentlichen eine Intervallschachtelung. Die reellen Zahlen zeichnen sich den rationalen gegenüber dadurch aus, daß jede Intervallschachtelung konvergiert. Sie sind praktisch so konstruiert. Dabei handelt es sich zunächst um ein technisches Hilfsmittel. Ich glaube nicht, daß die Struktur der reellen Zahlen in irgendeiner Weise unseren physikalischen Raum abbildet. Genauso ist unklar, was in unserem Raum ein perfektes Dreieck sein soll. Innerhalb dieser Fiktion, des Raumes der reellen Zahlen, sind jedoch auch die irrationalen Zahlen wie pi, e, oder eben die Wurzel aus 2 wohldefiniert. Wie man genau diese angeben kann, wurde hier bereits genannt. Allerdings fehlt die wichtigste Methode, die in jeder Analysis1-Vorlesung diskutiert wird: Man kann die Wurzel aus 2 über eine Intervallschachtelung konstruieren! |
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