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Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeit
 
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Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 09. Apr 2015 12:20    Titel: Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeit Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

ein quantenmechanisches Teilchen befinde sich auf der x-Achse. Sein Zustand werde durch die Wellenfunktion

beschrieben, wobei a eine reelle Konstante ist.

a) Berechne die Normierungskonstante N1. Hierbei soll die Bedingung genutzt werden, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen irgendwo auf der x-Achse anzutreffen, 1 beträgt.

b) An welchem Ort ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des teilchens am größten?

c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall [-a,a] anzutreffen?

Meine Ideen:
Zu a): Mir ist die Prozedur zur Ermitlung von N1 bekannt, nur wie berechne ich das Integral der e-Funktion?? Darf ich hier einfach die Gammafunktion zur numerisch exakten Berechnung dieses Integrals verwenden??

Zu b): Die aufenthaltsw.keit wird doch durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion beschrieben, oder??? Muss ich diese Funktion dann auf Extremstellen untersuchen?? Es handelt sich hierbei um eine Gaußsche Glockenfunktion, hat diese Funktion ihrMaximum nicht bei x = 0 ??? Oder irre ich mich??

Zu c): Erfolgt die Berechnung analog zu a)??? Aber das kann ich mir nicht vorstellen, da die Gammafunktion immer auf dem reellen Intervall (0,inf.) definiert ist. Wie gehe ich bei einem endlichen Intervall vor?

Viele Grüße
Widderchen
yellowfur
Moderator


Anmeldungsdatum: 30.11.2008
Beiträge: 804

Beitrag yellowfur Verfasst am: 09. Apr 2015 13:49    Titel: Antworten mit Zitat

Das Integral über exp(-x^2) von minus unendlich bis unendlich ist ein spezielles Integral, dessen Lösung du entweder kennst oder ich glaube, es geht, indem du den Integrationsweg ins Komplexe erweiterst und dann den Residuensatz anwendest.

Es gilt:

für Re(a)<0.

Mit der Gammafunktion hat das direkt nichts zu tun, die allgemeine Lösung ohne Grenzen gibt die Errorfunktion.
Das Integral über alle x von minus unendlich bis unendlich gibt dir, wenn du vorher das Betragsquadrat angewandt hast, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im gesamten Gebiet und daher kannst du N bestimmen.

Die höchste Wahrscheinlichkeit, das Teilchen anzutreffen, ist das Maximum der Funktion, aber da diese um irgendeinen Faktor mal a verschoben ist, liegt das Maximum nicht bei null.

Für die Teilwahrscheinlichkeit zwischen -a und a integrierst du nochmal mit diesen Grenzen und bekommst direkt eine Zahl < 1 heraus.

_________________
Wenn du einen Traum hast, dann folge ihm. Wer weiß, wo er dich hinführen könnte.
Widderchen



Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193

Beitrag Widderchen Verfasst am: 09. Apr 2015 20:51    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

den Parameter N habe ich ermittelt. :punk:
Muss ich nun die Ausgangsfunktion oder das Betragsquadrat der Funktion auf Extremstellen untersuchen? Ich hätte jetzt, da die Wahrscheinlichkeitsverteilung betrachtet wird, die zweite Funktion auf Extrema untersucht. Aber vermutlich ist es gleichgültig, welche Funktion ich betrachte, da nur quadriert wird.

Mir ist klar, dass bei einem symmetrisch gewählten Intervall [-a,a] ein Wert kleiner 1 herauskommen wird, aber erfolgt die Berechnung des Integrals dann erneut mittels Residuenkalküls?? Residuenkalkül über ein symmetrisches reelles abgeschlossenes Intervall zu betreiben, kann äußerst schwierig werden, oder übersehe ich irgendetwas?

Viele Grüße
Widderchen
yellowfur
Moderator


Anmeldungsdatum: 30.11.2008
Beiträge: 804

Beitrag yellowfur Verfasst am: 10. Apr 2015 09:59    Titel: Antworten mit Zitat

Du musst erst das Betragsquadrat für die Wahrscheinlichkeitsdichte nehmen, dann musst du darüber integrieren, das macht schon einen Unterschied:

http://de.wikipedia.org/wiki/Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Es gibt mehrere Wege, exp(-x^2) zu integrieren, hier sind ein paar aufgelistet:

http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral

Am einfachsten erscheint mir das Umschreiben in Polarkoordinaten.

Die Lösung mit Cauchys Integraltheorem erfordert eben das Finden eines Weges in der komplexen Ebene, aber das braucht man hier eigentlich nicht.

Mit bestimmten Grenzen bekommst du die Errorfunktion heraus:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28exp%28-x^2%29%29

_________________
Wenn du einen Traum hast, dann folge ihm. Wer weiß, wo er dich hinführen könnte.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 10. Apr 2015 10:21    Titel: Antworten mit Zitat

yellowfur hat Folgendes geschrieben:

Die Lösung mit Cauchys Integraltheorem erfordert eben das Finden eines Weges in der komplexen Ebene, aber das braucht man hier eigentlich nicht.

... und der Weg (und die zu integrierende Funktion), den ich kenn dafür, ist alles andere als offensichtlich .. aber vllt gibt es geschicktere Lösungen smile
bassiks



Anmeldungsdatum: 11.08.2010
Beiträge: 194

Beitrag bassiks Verfasst am: 10. Apr 2015 10:49    Titel: Antworten mit Zitat

Evt. ohne rechnen?

Schau dir das an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung#Definition

identifiziere dabei die Größen (Standardabweichung...).
Schau dir dann mal das an

http://de.wikipedia.org/wiki/Standardabweichung#Streuintervalle

EDIT: Beim ersten link beim Vergleich, vergiss nicht dass du Psi^2 betrachten musst beim Vergleich mit der Verteilung! Du hast also kein 1/4 sondern ein 1/2 im exponenten deiner e-Fkt.
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