Dynamik: 2 Massen verbunden mit einer Feder

Levaru · Gast

Meine Frage:
Zwei Massen m1 = 4,6 kg und m2 = 3,8 kg liegen auf einer reibungsfreien horizontalen Unterlage und sind durch eine leichte (= masselose) Feder mit der Federkonstanten c = 200 N/m verbunden. Die Masse m1 werde mit einer Beschleunigung a = 2,6 m/s2 horizontal beschleunigt. Die Feder wird dabei gedehnt.
a) Wie groß sind die Kräfte auf m1 und m2?
b) Um wieviel dehnt sich die Feder?

Im Seminar wurde es einfach folgendermaßen gerechnet:
a) F1=m1*a F2=m2*a => Fgesamt= F1 + F2

Da hab ich das auch so hingenommen. Als ich es nun neu rechnen wollte ohne dabei die Lösung in Erinnerung zu haben bin ich nicht weitergekommen.

Die Masse m1 wird ja beschleunigt und verspürt ja deshalb neben der Antriebskraft auch eine Trägheitskraft. Die wird hier aus irgendeinem Grund garnicht berücksichtigt und ich verstehe nicht warum. Die Aufgabe a) wäre ja nur komplett mit der Berücksichtigung der Trägheitskräfte, Gewichtskräfte, Federkräfte und zuletzt der Antriebskräfte.

Ebenfalls verstehe ich nicht ganz die Wirkung der Kräfte innerhalb der Feder. Auf die Masse m1 wirkt doch einmal die Antriebskraft in eine Richtung. Dann wirkt noch die Trägheitskraft in die andere Richtung. Zusätzlich dazu zieht doch noch die Feder an m1 in die gleiche Richtung wie die Trägheitskraft?

Hier ein Bild von dem wie ich mir das Kräftesystem vorstelle:

http://i.imgur.com/12YOsBQ.jpg

Und zuletzt(glaub da liegt bei mir das größte Verständisproblem) wie kann sich das System überhaupt bewegen wenn entgegen den Antriebskräften die Trägheitskräfte wirken?

Meine Ideen:
siehe oben

Levaru · Gast

Ich hab noch ein wenig nachgedacht und glaub ich habs verstanden bin mir aber nicht ganz sicher.

Die einzige Trägheitskraft die hier eine Rolle spielt ist die von m2. m1 wird ja beschleunigt und solange es kein Stoff mit sehr geringer Festigkeit ist der durch die Beschleunigung sich selbst zerreist kann man hier die Trägheitskraft vernachlässigen.

Die einzige Kraft die an m1 entgegengesetzt der Beschleunigung wirkt ist die Federkraft. Diese wiederrum entspricht der Trägheitskraft der Masse m2.

Dann ist aber die Lösung aus dem Seminar nicht ganz korrekt. Während an m2 nur die Federkraft wirkt, wirkt an m1 aber die Federkraft und die Antriebskraft oder nicht?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Also erstmal: Die Kräfte auf m1 und m2 sind offenbar jeweils die resultierenden Kräfte. Die resultierende Kraft ist die Summe aller angreifenden Kräfte. Die resultierende Kraft ist auch die Ursache, die zu einer Beschleunigung nach F=ma führt.
Wenn Du die Beschleunigung einer Masse kennst, kannst Du also direkt über letzteren Zusammenhang die resultierende Kraft ausrechnen, die auf diese Masse wirken muss. Sonst würde sie ja nicht in dieser Art beschleunigen! Das ist es, was offenbar in Deiner Musterlösung gemacht wurde. Das stimmt immer (in einem Inertialsystem zumindest), gibt Dir aber auch wirklich nur die resultierenden Kräfte.

Du versuchst "irgendwie" den umgekehrten Weg, der normalerweise ja auch verwendet werden muss. Normalerweise kenne ich ja Einzelkräfte, die auf eine Masse wirken, muss die vektoriell addieren, um auf die resultierende Kraft zu kommen, und anschließend berechne ich daraus die Beschleunigung.
Warum geht das hier so nicht (zumindest für die m1)? Das Problem ist: Du kennst die von außen angreifende Kraft auf m1 gar nicht! Du kennst die Federkraft, weil die direkt vom Abstand der beiden Massen abhängt, aber nicht die Kraft, die von außen an m1 "zieht". Die muss sich nämlich ständig so anpassen, dass sie zusammen mit der Federkraft zu einer resultierenden Kraft führt, die wiederum zu der angegebenen konstanten Beschleunigung führt.

Bei m2 ist es etwas anders. Da wirkt nur eine Kraft beschleunigend (die Schwerkraft wird ja immer kompensiert, so dass sie im Weiteren keine Rolle mehr spielt). Du musst also hier die Beschleunigung so wie so erst aufgrund der Federkraft ausrechnen und hast deshalb den Zusammenhang auch direkt.

Übrigens: Du kannst das mal mit einem "normalen" hängenden Federpendel vergleichen: Wenn eine Masse m1 an der Decke befestigt wäre und die andere nach unten hinge, dann wäre das (laut Einstein...) nicht davon unterscheidbar, als wenn m1 ständig mit g nach oben beschleunigt werden würde aber kein Gravitationsfeld vorhanden wäre. Du müsstest also bei der Aufgabe auf eine harmonische Pendelbewegung des Abstands zwischen m1 und m2 kommen.
Auch wenn Du so ein Pendel an die Decke hängst, wird sich die auf die Aufhängung wirkende Kraft ständig verändern. Auf die Masse wirkt trotzdem resultierend nur die Gewichtskraft.

Gruß
Marco

Systemdynamiker · Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 594 Wohnort: Flurlingen

Da liegt einiges im Argen:
1. Kräfte sind äussere Einwirkungen, welche in ihrer (Vektor) Summe die Beschleunigung bewirken. Vertikal wirken auf beide Körper eine Gewichtskraft und eine Normalkraft ein. Die halten die beiden Körper vertikal im Gleichgewicht. Bei der Skizze fehlen die Normalkräfte!
2. Woher rührt die Beschleunigung des einen Körpers? Von der Federkraft oder von einer weiteren Kraft? Weil weitere Angaben fehlen, kann man annehmen, dass die Feder den Klotz beschleunigt. Dann ist die Kraft auf den andern Körper entgegengesetzt gleich gross (3. Newtonsches Gesetz).
3. Teilt man die Federkraft durch die Federkonstante, erhält man die aktuelle Dehnung der Feder. Wie weit sie sich noch dehnen wird, hängt von den Geschwindigkeiten ab. Aber die sind hier gar nicht gegeben.
4. Das Konzept der Trägheitskraft sollte hier nicht eingesetzt werden. In der Physik benutzt man die Trägheitskraft im Sinne einer verallgemeinerten Gravitation, um Probleme in beschleunigten Bezugssystemen zu lösen. In der technischen Mechanik führt man die Dynamik mit Hilfe der Trägheitskraft auf Statik zurück (d'Alembert).
5. Ich kann mir nicht vorstellen, dass man in einem wissenschaftlichen Seminar die Wechselwirkungskräfte betragsmässig zusammenzählt und dann als Federkraft deklariert.
6. Ich bin der festen Überzeugung, dass man diesen Zweimassenschwinger viel besser versteht, wenn man vom Impuls als Grundmenge der Mechanik ausgeht. Dazu eine verwandte Aufgabe Link gelöscht. Bitte das Forum nicht für Werbung missbrauchen. Steffen

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Levaru · Gast

@as_string
Ich glaub es ist mir endlich klar geworden. Ich hab die Antriebskraft irgendwie mit der Beschleunigung verwechselt.

Wenn man das Beispiel mit der Aufhängung nimmt dann ist es doch praktisch so oder nicht?

m1 hängt an der Decke auf einem Planeten mit einem g von 2,6 m/s^2. m2 hängt darunter verbunden mit einer Feder. Die beiden Kräfte F1 und F2 sind dann im Grunde die Gewichtskräfte und die Federkraft entspricht der Gewichtskraft von m2.

Ist für mich eigentlich das gleiche Beispiel. Hier wirkt auf m2 nur die Beschleunigung auf m1 aber die Beschleunigung UND die Federkraft bzw. die Gewichtskraft von m2 oder nicht?

Wie kann dann, laut der Lösung, die Summe der Kräfte nur die Beschleunigung von m1 und m2 beinhalten wenn doch auf m1 auch noch die Beschleunigung von m2 wirkt?

Muss es dann nicht so aussehen?
F1+ 2*F2 = Fgesamt

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Du vermischst immer Einzelkräfte und Beschleunigungen.

Auf m1 wirken eine externe antreibende Kraft, die wir nicht kennen, und eine Federkraft. Auf m2 nur eine Federkraft. (Ich lasse die Gewichtskraft mal außer Acht, die wird ja durch den Tisch kompensiert und soll hier keine weitere Rolle spielen). Du hast eine Beschleunigung vor gegeben und kannst daraus die resultierende Kraft auf m1 errechnen. Damit weißt Du aber noch nicht, wie sich diese auf die beiden Einzelkräfte aufteilt!
Durch die Beschleunigung von m1 ändert sich der Abstand zwischen m1 und m2 und die Feder wird gespannt. Dadurch übt die Feder auch jeweils eine Kraft auf die beiden Massen aus, in entgegen gesetzter Richtung zueinander. Die extern angreifende Kraft an m1 muss sich immer derart anpassen, dass sie die Federkraft kompensiert, so dass die resultierende Kraft konstant gleich bleibt, um die Beschleunigung auch konstant zu halten. Wieder ist die resultierende Kraft umgekehrt gerade F=ma.

Übrigens stimmt es nicht, bei dem hängenden Beispiel, dass die Kraft auf die Feder der GeWichtigkeit von m2 entspräche! Das ganze führt nämlich eine Pendlern aus und die Federkraft ändert sich deshalb periodisch!

Übrigens habe ich nicht verstanden, was bei Dir F1 und F2 ist. Aber auf Deine letzte Frage: die Summe der Kräfte ist immer genau die Beschleunigung mal die Masse! Das ist doch das Newtonsche Gesetz! Wenn Dir das nicht einleuchtet, dann musst Du erst noch wieder ein paar Schritte zurück und Dir die Grundlagen der Newtonschen Theorie anschauen!

Gruß
Marco

Levaru · Gast

Jetzt seh ich mein Problem LOL Hammer

Ich hatte Dynamik früher noch nie(bzw. unser Lehrer in der Schule hat es irgendwie überflogen) und war mit dem Kopf komplett noch in der Statik und Kräftegleichgewichtberechnung usw.

Bei der Frage "a) Wie groß sind die Kräfte auf m1 und m2?" wird nicht nach den einzelnen Reaktionskräften gefragt sondern nach der resultierenden Kraft des ganzen Systems. Also wäre die korrekte Lösung folgende:

Dann beim zweiten Teil der Aufgabe bei Berechnung der Dehnung wird die (Beschleunigungs?)kraft von m2 genommen da, diese die Feder aufbringen muss um m2 bei 2,6m/s^2 zu halten, richtig? Dann wird die Formel einfach nach s aufgelöst.

Also um nochmal alles zusammen zu fassen Lehrer

:
a) Feder spielt keine Rolle, Massen werden zusammengefasst und es wird nach der resultierenden Kraft gefragt die das System beschleunigt.

b) m2 wird gezogen von der Feder um a beizubehalten, Gleichgewicht aufstellen und nach s auflösen

Richtiiiig? grübelnd

Ich merk ich werde sehr große Schwierigkeiten haben von der Statik auf die Dynamik umzusteigen.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Nein, es gibt nicht nur eine Beschleunigung! Die beiden Massen beschleunigen doch unterschiedlich! Insbesondere wird nicht die Beschleunigung von m2 sondern die von m1 konstant gehalten.
Wie oft noch: auf die m2 wirkt nur die Federkraft und ist damit auch die resultierende und gibt damit dann auch die Beschleunigung von m2 vor. Da die Federkraft nach dem Hookschen Gesetz aber nur von der Dehnung der Feder abhängt und die wiederum nur von dem Abstand zwischen m1 und m2, kannst Du sie auch berechnen. Die Kraft verändert sich dabei auch periodisch und bleibt eben nicht konstant.

Ich weiß nicht, was ich dazu noch schreiben soll. Ich wiederhole mich ja jetzt schon ständig.

Gruß
Marco

Levaru · Gast

Aber m2 muss doch die gleiche Beschleunigung wie m1 haben! Diese wird dann durch die Feder übertragen und deshalb wirkt auf m2 eine kleinere Kraft als auf m1 weil ja die Beschleunigung konstant bleibt aber m2 leichter ist.

Wenn die Beschleunigung von m2 aber ne andere ist als m1 wie kann man den dann die Federkraft berechnen? Man hat doch dann 2 Unbekannte: einmal die Beschleunigung und einmal die Länge der Dehnung.

Das ist doch eine einfache Aufgaben wo im ersten Teil das 2. Axiom und im zweiten Teil das 3. Axiom abgefragt wird.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Nein, eben nicht. Zuerst ist die Feder entspannt und es wirkt keine Kraft auf m2 dann wird m1 konstant beschleunigt und der Abstand und damit die Federkraft wächst an. Damit beschleunigt m2 auch, aber zuerst nur gering, so dass der Abstand immer größer wird. Wenn der Abstand groß genug ist, wird die Beschleunigung von m2 sogar größer als die konstante von m1 werden und irgendwann auch die Geschwindigkeit, so dass m2 wieder aufholt. Das ganze führt zu einer Pendelbewegung des Abstands der beiden Massen, die sogar harmonisch ist.
Dazu musst Du aber schon eine Differentialgleichungen lösen, wenn auch eine eher einfache...

Gruß
Marco

Levaru · Gast

Das Thema der Pendelbewegungen haben wir aber noch garnicht angesprochen und ich hab auch nur hier davon erfahren. Wenn man dies vernachlässigt ist der andere Vorgang aber so richtig oder nicht?

Ansonsten ist so eine Aufgabe von uns Erstsemester schlecht zu lösen.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Die Aufgabe sagt eindeutig, dass die Feder durch die einsetzende Beschleunigung gedehnt wird. Also bleibt der Abstand doch offenbar nicht konstant.
Außerdem: Für was bräuchtest Du sonst die Feder konstante und so.

Jetzt lass uns doch einfach mal ein paar Gleichungen hinschreiben:

Die Kraft auf die erste Masse m1 ist ja quasi durch die konstante Beschleunigung gegeben und auch nicht weiter interessant.

Du kannst für die Masse m1 eine x-Koordinate angeben, nennen wir sie

Ich lasse die mal bei t=0 mit

beginnen.
Genauso auch für die zweite Masse. Der Einfachheit halber lasse ich deren x-Koordinate

auch bei 0 beginnen. Damit ist die Federlänge dann zwar auch 0, aber da uns nur immer Differenzen letztlich interessieren, spielt das keine Rolle, wie lange die Feder im entspannten Zustand tatsächlich ist. Man müsste sonst immer noch eine Konstante dazu addieren (bzw. abziehen), die nachher so wie so raus fällt...

Also kannst Du schon schreiben:

Weil m1 ja der Aufgabe entsprechend einer gleichmäßigen Beschleunigung unterliegt.
Bei der zweiten Masse wird es komplizierter. Da kennst Du nur die Kraft in Abhängigkeit des Abstands zwischen den beiden Massen. Die ist:

[<-- edit korrigiert, die 0,5 war verloren gegangen!]
Nach dem Newtonschen Gesetzt hast Du daraus eine Beschleunigung, was ja die zweite zeitliche Ableitung der x-Koordinate von m2 ist:

Wenigstens das solltest Du schon hin schreiben. Als nächstes muss man diese Differentialgleichung auch noch lösen. Aber das lasse ich jetzt mal sein.

Wie auch immer: Die Aufgabe verlangt das schon, auch wenn Ihr das noch nicht hattet. Es kann natürlich sein, dass es ein Fehler war des Profs oder desjenigen, der die Aufgaben auswählt, diese Aufgabe überhaupt zu stellen. Auf der anderen Seite bekommt man im Studium nicht einfach alles in der Vorlesung vorgekaut. Es kann schon auch sein, dass der Prof davon ausgegangen ist, dass Ihr da selbst etwas rausfinden solltet. Letztlich macht man ja harmonsiche Schwingungen normalerweise auch schon in der Schule (wenn auch nur sehr rudimentär), so dass es eigentlich auch nicht komplett fremd sein sollte...

Gruß
Marco

Levaru · Gast

Ich versteh aber nicht ganz warum das 0,5 in der zweiten Gleichung verschwunden ist.

Abgesehen davon möchte ich mich erstmal für deine Geduld und Hilfe bedanken! Ich hätte nie vermutet das sich im "realen" Fall eine Pendelbewegung vorkommt.

Leider wurde diese Aufgabe von unserem Professor so gelöst wie ich hier beschrieben habe:

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3249

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo VeryApe!

Naja, in der Aufgabe ist ja auch schon vieles idealisiert, da gleiten die Massen schon reibungsfrei und die Feder ist masselos. Die Verluste in der Feder selbst sind normalerweise auch wieder nicht sooo groß, aber hängt natürlich von der jeweiligen Feder ab. Allerdings gibt es ja auch keine masselose Feder.

Die Annahme, dass der Abstand die ganze Zeit gleich bliebe, ist, wie wenn man ein senkrecht hängendes Federpendel hätte, das ständig in ihrem Ruhezustand hängt. Da brauche ich dann auch keine Feder sondern könnte gleich einen Faden nehmen.

Aber ja, wenn der Prof das so haben wollte. Mir ist das am Ende ja auch irgendwo egal. Hauptsache die Zusammenhänge sind letzten Endes klar geworden. Den Eindruck habe ich dann schon, von daher: Alles gut! Rock

Gruß
Marco