Bewegungsgleichung gekoppelter Oszillatoren

joe lando · Gast

Meine Frage:
Hi!
Wie der Titel verrät, habe ich ein problem mit gekoppeltne oszillatoren. sollte nicht weiter schwer sein, nutzt man google und guckt sich die trefferzahl an. allerdings finde ich nur lsg für gekoppelte oszillatoren, die 2 befestigte enden haben (also links und rechts z.b. an einer wand befestigt sind). in meinem fall siehts aber nun mal so aus, dass ich zwei federpendel habe, die von einer decke hängen und das 2te am ende des 1sten befestigt ist. dafür soll ich die bewegungsgleichung aufstellen (falls jemand ein bild braucht, stell ich das noch rein, denke aber, es dürfte klar sein, wie der aufbau aussieht):

Meine Ideen:
ich hab mir also erstmal die bewegungsgleichung des ersten Pendels angeschaut, weil ich dachte, die dürfte leichter sein, weil ein ende befestigt ist:
die gleichung dafür lautet ja: m1*x1''=-D1x1-m1g, und das müsste ja auch alles so erhalten bleiben, nur das auf der rechten seite jetzt noch ein teil von dem 2ten Federpendel hinzukommt, welcher die auslenkung des 1sten vergrößert. jetzt ist die frage: zieht m2 an der 2ten feder nur mit der gewichtskraft m2g die erste feder nach unten, oder mit -D2x2-m2g?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

joe lando · Gast

also meinst du, dass die erste feder folgende bewegungsgleichung hat:
m1x''=-D1x1-m1g-D2(x2-x1) ? so zumindest verstehe ich deine antwort jetzt.
warum das so sein sollte, erschließt sich mir nicht ganz. hat die masse m2 an der 2ten feder gar keine auswirkung auf die erste feder? die zieht doch die 2te feder mit m2g nach unten, und da die 2te an der 1sten hängt, müsste diese doch auch dadurch runtergezogen werden. wenn dem nicht so ist, wäre ich für eine erklärung sehr dankbar.

mfg
joe

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Am einfachsten wählst du natürlich x1 und x2 so, dass sie die Ausrenkung aus der Gleichgewichtslage beschreiben. In der Gleichgewichtslage sind die Gewichtskräfte gerade durch Federkräfte kompensiert (weswegen die Feder mit Gewicht länger ist als wenn kein Gewicht dranhängt).

joe lando · Gast

danke, aber das lässt die aufgabenstellung so nicht zu glaube ich.

mfg
joe

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

joe lando · Gast

wie soll diese gleichgewichtslage deine meinung nach den aussehen?
ich kann mir kein szenario vorstellen, bei dem eine masse an einer feder, wo nochmals eine masse an einer feder hängt, ein gleichgewicht herrscht. vor allem: gleichgewicht zwischen was?

mfg
joe

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Na, dass das Ding halt nicht schwingt, in Ruhe ist... Wieso sollte das denn nicht gehen?

Gruß
Marco

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Gleichgewicht zwischen der Federkraft und der Gewichtskraft

Geichgewichtslage heisst, dass sich beide Massen nicht bewegen. Ich kann mir das ziemlich gut vorstellen. Und wenn man sie dann anstößt fangen sie an zu schwingen. (Das geht bei einer einzelnen Masse an einer Feder genauso.)

joe lando · Gast

also in formeln ausgedrückt etwa so: -D1m1-D2m2=(m1+m2)g?

mfg
joe

joe lando · Gast

ach quatsch! so natürlich: -D1x1-D2x2=(m1+m2)g

mfg
joe

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Also... mal ganz langsam und von vorne...

Ersteinmal betrachten wir vielleicht am besten die Gleichgewichtslage. Stell Dir vor Du hast zwei Federn und zwei Massen, hängst an die eine Feder eine Masse daran die zweite Feder und ganz unten die zweite Masse. Alles soll zuerst einfach in Ruhe so da hängen
Welche Kräfte wirken auf die untere Masse? Einmal die Gewichtskraft und einmal die Kraft von der zweiten Feder, zusammen müssen die 0 ergeben, es soll ja noch alles in Ruhe sein. Also ist die Federkraft gleich der Gewichtskraft nur in die andere Richtung.
Aber auch die Feder ist unbeschleunigt, also muss an ihrem anderen Ende eine Kraft nach oben wirken, die sie "hält". Die Gegenkraft zu dieser Kraft zieht an der oberen Masse jedoch, so dass auf diese Masse sowohl eine Kraft der Größe entsprechend der Gewichtskraft auf die untere Masse, plus der eigenen Gewichtskraft nach unten wirkt und das alles muss von der Feder oben drüber getragen werden.
Also ist die Kraft in Ruhelage in der oberen Feder g*(m1+m2) und die in der untern Feder g*m2.
Die Federn werden sich entsprechend ausdehnen, so dass sie diese Kräfte jeweils aufbringen können und fertig.

Allerdings: Das alles interessiert überhaupt gar nicht die Bohne! Wir wissen, dass in der Ruhelage so wie so alle Kräfte ausgeglichen sein müssen, sonst wäre es ja keine Ruhelage. Wir wissen aber auch, wenn die Feder aus dieser Ruhelage heraus mehr oder weniger gedehnt wird, wirkt eine größere oder kleinere Kraft und zwar proportional zu dem Ausdehnungsunterschied. Wir sind also nur an Auslenkungen aus dieser Ruhelage heraus interessiert, nicht an der Vorspannung und absoluten Auslenkung in der Ruhelage!

Du hast bei diesem Problem letztlich also zwei generalisierte Koordinaten x1 und x2. Das sind aber die Auslenkungen von m1 und m2 aus ihrer jeweiligen Ruhelage heraus! Wenn x2 festgehalten wird und Masse 1 nach oben bewegt wird, wird die Kraft, die die obere Feder ausübt geringer werden, dafür die Kraft in der unteren größer. Also hast Du, nachdem die Ruhelagekräfte alle einfach ignoriert werden (weil sie sich so wie so alle gegenseitig aufheben) nur noch:
F1 = -D1*x1+D2*(x2-x1)
Und bei der unteren:
F2 = +D2*(x1-x2)
(hoffentlich habe ich die Vorzeichen jetzt richtig... bitte nochmal überprüfen!)

Gruß
Marco

joe lando · Gast

hmm ok, klingt nachvollziehbar.
dann ersetze ich F1 mit m1x1'' und F2 mit m2x2'' und habe für beide die bewegungsgleichung gegeben komplett ohne schwerkräfte?

mfg
joe

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Genau, weil die Schwerkräfte eben durch die Vorspannungen in den Federn schon "neutralisiert" sind. Deshalb betrachtet man ja auch nur Auslenkungen aus der Ruhelage.

Gruß
Marco

PS: Übrigens machst Du das bei einem einfachen hängenden Federpendel doch genau so, dass Du nicht die gesamte Dehnung der Feder nimmst und dann dagegen aber wieder die Gewichtskraft stellst, sondern gehst auch von der Ruhelage/Gleichsgewichtslage aus und von Auslenkungen weg von dieser Ruhelage. Sonst werden die Gleichungen doch nur unnötig kompliziert!

joe lando · Gast

also die formel für ein einfaches hängedes federpendel kenn ich nur als: mx''=-Dx-mg und da spielt die gewichtskraft ja eine rolle. deswegen konnte ich mir das nicht erklären, wieso hier auf einmal alle gewichtskräfte wegfallen sollten (was ich immer noch nicht so richtig verstehe wieso das so ist, aber ich akzeptier das jetzt mal).
aber wenn die bewegungsgleichungen wirklich nur m1x1''=-D1x1+D2(x2-x1) bzw. m2x2''=D2(x1-x2) sind, dann betrachte ich die aufgabe mal als gelöst.
danke!

mfg
joe

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg