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Melvine
Gast
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 Melvine Verfasst am: 08. Feb 2015 16:09 Titel: Stromdichte mithilfe Dirac-Distribution |
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Ich habe einen Zylinder (Mittelpunkt=0, Radius R und Höhe L) mit infenitisimaler Fläche gegeben. Ich soll jetzt mithilfe der DeltaDistribution die nicht gegebene Stromdichte berechnen.
Wie macht man sowas im allgemeinen? |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 08. Feb 2015 16:12 Titel: Re: Stromdichte mithilfe Dirac-Distribution |
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| Melvine hat Folgendes geschrieben: | Ich habe einen Zylinder (Mittelpunkt=0, Radius R und Höhe L) mit infenitisimaler Fläche gegeben. Ich soll jetzt mithilfe der DeltaDistribution die nicht gegebene Stromdichte berechnen.
Wie macht man sowas im allgemeinen? |
Da fehlt die Angabe des Stromes und wie der im Zylinder verteilt sein soll. Soll der Zylinder homogen durchflossen werden? Soll der Strom I nur im Mantel fließen? |
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Melvine
Gast
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| Melvine Verfasst am: 08. Feb 2015 16:12 Titel: |
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Ich kenne die Dirac-Distribution, jedoch nur aus der Regelungstechnik/Systemtheorie als Anregung. |
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Melvine
Gast
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| Melvine Verfasst am: 08. Feb 2015 16:17 Titel: |
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Danke. Es wird erwähnt das der Strom auf der gesamten Fläche bzw. im gesamten Draht konstant ist (Hier liegen mehrere Teilaufgaben vor). Ich versuche gerade die Aufgabe mit dem ,,Hohlzylinder" zu lösen. Außerdem gibt es eine Aufgabe mit dem ,,Vollzylinder". Beim Vollzylinder sind die Stromlinien im Zylinder mit verschiedenen Längen. Beim Hohlzylinder befinden sich alle auf der Mantelfläche mit gleicher Länge. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2015 16:19 Titel: |
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Wenn der Leiter eine Querschnittsfläche A hat, dann gilt doch folgende Beziehung zwischen Stromdichte j und Stromstärke I:
)
Offensichtlich kann man auch über eine größere Querschnittsfläche integrieren, da ja j(r) außerhalb von A exakt Null ist.
Im Falle des infinitesimal dünnen Drahtes kannst du offensichtlich für j eine Deltadistribution ansetzen, z.B.
 = c\,\delta(x - x_0)\,\delta(y-y_0))
wobei c eine zu berechnende Konstante ist und der Leiter in z-Richtung die xy-Ebene bei x = x_0 und y = y_0 durchstößt.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 08. Feb 2015 16:20 Titel: |
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| Melvine hat Folgendes geschrieben: | | Ich kenne die Dirac-Distribution, jedoch nur aus der Regelungstechnik/Systemtheorie als Anregung. |
Die Deltadistribution ist definiert:
 = \begin{cases}1 & x=0\\0 & sonst\end{cases})
Für einen Vektor sieht das so aus:
 = \delta(x)\delta(y)\delta(z))
Wobei das NUR in karthesichen koordinaten gilt. in Zylinder koordinaten kommen Vorfaktoren dazu.
Wie die deine Stromdichte mit Deltadistribution aussieht hängt von der genauen Situation ab.
Es muss am Ende immer gelten:
Für die Deltadistribution gilt:
\delta(x) dx=f(0) ) |
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Melvine
Gast
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| Melvine Verfasst am: 08. Feb 2015 16:37 Titel: |
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Danke euch beiden das hat mir sehr geholfen. Mich würde nur noch interessieren wie man die Konstante c denn berechnen könnte? |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 08. Feb 2015 16:50 Titel: |
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Verstehe ich das erstmal richtig, dass also Holzylinder in dem Fall meint:
Draht mit Höhe L und Radius R. Und der Strom soll kreisförmig fließen?
Also quasi wie eine Kreisspule nur ohne Beachtung einer Windungszahl?
Dann kann man Zylinder koordinaten angeben:
)
Und dann hat die Deltafunktion die Möglichkeit von phi, r und z abzuhängen. Allerdings ist dann ein gewisser Vorfaktor zu beachten, den man über den Integralen Zusammenhang zwischen j und I herausbekommt.
Jetzt muss man sich überlegen welche einschränkungen es gibt. Gibt es eine exakte Höhe z, bei der der Strom fließt, muss ein delta(z) vorkommen, gibt es einen bestimmten radialen Abstand, dann muss delta(r) vorkommen), gibt es einen bestimmten Winkel muss delta(\phi) vorkommen.
In unserem Beispiel würde der Strom kreisförmig (unabhängig vom Winkel) in einem bestimmten radialen Abstand fließen. Die Höhe hat eine von bis Beschränkung, die man über die Thetafunktion angibt. Ergo müsste eine delta(r) und eine theta(z) funktion in der Stromdichte vorkommen. Multipliziert mit einer Konstanten, die man eben mit dem Integral bestimmt.
Für einen Strom im Zylinder gibt es dabei nur 2 Möglichkeiten für das Flächenelement, das er durchströmt.
Entweder in Richtung der Länge des Zylinders, dann gilt:
Quasi die Kreisfläche.
Oder Aber, der Strom fließt im Kreis, dann durch Strömt er rechteckige Flächen, die Senkrecht auf der Kreisfläche und der Mittelachse des Zylinders stehen:
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 08. Feb 2015 16:53 Titel: |
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Es muss richtig heißen:
| bernd12345 hat Folgendes geschrieben: |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2015 17:19 Titel: |
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| bernd12345 hat Folgendes geschrieben: | Die Deltadistribution ist definiert:
|
Das ist falsch.
| Melvine hat Folgendes geschrieben: | | Mich würde nur noch interessieren wie man die Konstante c denn berechnen könnte? |
Indem du
| bernd12345 hat Folgendes geschrieben: | Für die Deltadistribution gilt:
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auf
 = \int dx \int dy \, j(x,y))
für die x-und die y-Integration anwendest
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 08. Feb 2015 17:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | bernd12345 hat Folgendes geschrieben: | Die Deltadistribution ist definiert:
|
Das ist falsch.
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Wieso ist das falsch? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 08. Feb 2015 17:31 Titel: |
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| bernd12345 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | bernd12345 hat Folgendes geschrieben: | Die Deltadistribution ist definiert:
|
Das ist falsch.
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Wieso ist das falsch? |
1. Weil die Delta-Distribution so nicht definiert wird.
2. Weil \neq 1) . |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2015 17:43 Titel: |
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| bernd12345 hat Folgendes geschrieben: | | Wieso ist das falsch? |
Weil das Lebesgue-Integral über eine Funktion, die bis auf eine Menge von Maß Null identisch mit der Nullfunktion ist, ebenfalls Null ist.
Schau dir mal ein paar Darstellungen der Delta-Distribution an; z.B.
 = \begin{cases}\frac{1}{2\epsilon} & |x| \le \epsilon \\ 0 & \text{sonst}\end{cases})
Das Integral liefert dir
 = \int_{-\epsilon}^{+\epsilon}dx \frac{1}{2\epsilon} = 1)
Die Distribution "divergiert in einer Umgebung von Null".
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Melvine
Gast
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| Melvine Verfasst am: 08. Feb 2015 18:03 Titel: |
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Also am besten probiere ich das nun mal am Hohlzylinder.
Gegeben war ja ein Hohlzylinder mit Radius R und Länge L, Gesamtstrom I läuft auf dem Zylindermanter parallel zur Zylinderachse. Das untere Ende des Zylinders liegt in der xy.Ebene.
So jetzt möchte ich die Stromdichte hiervon berechnen. Da wir von infinitesimal dünnen Flächen ausgehen, können wir mit der Dirac Distribution arbeiten.
Du sagst es gilt allgemein:
Da ein Zylinder gegeben ist muss ich sicher Zylinderkoordinaten für (x,y,) verwenden. Es ist x=r*cosphi,y=rsinphi und z=h. Das in die Dirac Distribution einsetzen und ebenfalls x0 und y0 berechnen. x0 ist Rsinphi und y0 ist Rsinphi ebenfallst?
Wie ich c bestimmen soll ist immer noch sehr unverständlich. /: Ein Beispiel eventuell ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2015 18:07 Titel: |
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| Melvine hat Folgendes geschrieben: | Da wir von infinitesimal dünnen Flächen ausgehen, können wir mit der Dirac Distribution arbeiten.
Du sagst es gilt allgemein:
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Sorry, da haben wir aneinander vorbeigeredet. Ich gehe zunächst mal von einem infinitesimal dünnen Draht aus:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Im Falle des infinitesimal dünnen Drahtes kannst du offensichtlich für j eine Deltadistribution ansetzen, z.B.
. |
Damit sollte das Prinzip klar sein.
Für den nächsten Schritt einer infinitesimal dünnen Fläche wird dann offensichtlich nur noch eine Deltadistribution für eine Koordinate auftreten. Und die Konstante ist komplizierter zu berechnen.
Hast du denn den einfachen Fall des Drahtes verstanden?
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 08. Feb 2015 18:14 Titel: |
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| Melvine hat Folgendes geschrieben: | Also am besten probiere ich das nun mal am Hohlzylinder.
Gegeben war ja ein Hohlzylinder mit Radius R und Länge L, Gesamtstrom I läuft auf dem Zylindermanter parallel zur Zylinderachse. Das untere Ende des Zylinders liegt in der xy.Ebene.
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Das wäre besser gewesen, wenn man es gleich vorher angegeben hätte.
du musst jetzt ansetzen:
\theta(z)\theta(L-z))
Jetzt in das Integral einsetzen und c bestimmen.
Beachten, dass der Strom in Richtung der Kreisfläche (Deckfläche) fließt und entsprechend das richtige Flächenelement verwenden. |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 08. Feb 2015 18:19 Titel: |
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| bernd12345 hat Folgendes geschrieben: |
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Zur Theta-Funktion: Einfach mal "Heaviside-Funktion" googlen.
Das erste Theta ist dabei dafür gedacht, das z>=0 sein muss, das zweite sagt, dass z<=L |
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Melvine
Gast
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| Melvine Verfasst am: 08. Feb 2015 18:52 Titel: |
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Ich habe das jetzt denke verstanden. Jetzt stellen sich jedoch noch 2 Fragen.
1. Wieso nennt ihr die von euch genannte Distribution? Auf Wiki sehe ich unter Beispiele bei Delta-Distribution eine andere Formel (noch verständlichere). Oder darf man die hier nicht verwenden? Da ist die rede von krummligen koordinatensysteme, eventuell macht das ein unterschied aus.
2. Wie integriere ich denn solche Funktionen die Teil von Funktionen sind? Ich mache das nämlich zum ersten Mal und habe sowas ehrlich gesagt noch nie gesehen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2015 18:59 Titel: |
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| Melvine hat Folgendes geschrieben: | Gegeben war ja ein Hohlzylinder mit Radius R und Länge L, Gesamtstrom I läuft auf dem Zylindermanter parallel zur Zylinderachse. Das untere Ende des Zylinders liegt in der xy.Ebene.
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Das bedeutet, in z-Richtung
(natürlich ist das physikalisch blödsinnig; der Strom kann nicht einfach bei z=0 aus dem Nichts beginnen und dann bei z=L im Nichts verschwinden)
Im Stromdichtevektor
| bernd12345 hat Folgendes geschrieben: |
Jetzt in das Integral einsetzen und c bestimmen. |
Fehlt noch der Einheitsvektor
\theta(z)\theta(L-z)\vec{e}_z)
Die Fläche A liegt jetzt in der xy-Ebene und enthält den Kreis mit Radius R. Die verwendest Polarkoordinaten in der Ebene.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2015 19:10 Titel: |
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| Melvine hat Folgendes geschrieben: | | Wieso nennt ihr die von euch genannte Distribution? Auf Wiki sehe ich unter Beispiele bei Delta-Distribution eine andere Formel (noch verständlichere). Oder darf man die hier nicht verwenden? Da ist die rede von krummligen koordinatensysteme, eventuell macht das ein unterschied aus. |
Es hängt einfach davon ab, wieviele Dimensionen dein Raum hat, und auf wieviele Dimensionen du mit de Delta-Distribution einschränken willst. Bei n Dimensionen liefern n eindimensionale Distributionen n - n = 0, also einen Punkt, n-1 Distributionen dagegen n - (n-1) = 1 also eine Linie usw. bei dir ist n=3 und es liegt eine eindimensionale Distribution in einer Koordinate r vor, also 3 - 1 = 2 und das entspricht einer Fläche.
Das Gebilde heißt Distribution, weil es eben keine Funktion ist. Streng genommen existiert es nur unter dem Integral.
Ja, für krummlinige Koordinaten wird das kompliziert. Aber in deinem Fall kann man mit Symmetriebetrachtungen die richtige Form erschließen. Innerhalb 0 < z < L liegt Translationssymmetrie vor und j kann nicht von z abhängen. Ebenso kann j nicht von phi abhängen. D.h. auch dass deine Integrationskonstante nur von R abhängen wird.
Schreib' einfach mal deinen Ansatz hin.
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Melvine
Gast
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| Melvine Verfasst am: 08. Feb 2015 19:19 Titel: |
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Ok danke sehr TomS. Also wie gesagt ich denke ich hab es verstanden. Das jetzt in I=SSJdA einsetzen und das Integral berechnen. Danach nach der Konstante c auflösen. Kannst du mir aber bitte noch die 2 Fragen beantworten, also
1. Wie löst man solche Integrale? Die einzelnen Integranden sind ja Funktionen die abhängig von Parameter sind. Hier habe ich nicht wirklich eine Idee.
2. Wie leite ich solche Delta-Distributionen selbst her, also vor allem in Polar-,Kugel und Zylinderkoordinaten. Für kartesische habe ich das schon verstanden. Einfach als Multiplikation einzelner Distributionen mit den Koordinaten x0,y0 und z0. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 08. Feb 2015 20:06 Titel: |
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Ich weiß nicht, welche Integrale du genau meinst.
Es geht doch um
 = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\infty} dr \, r \, c \delta(r-R))
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Melvine
Gast
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| Melvine Verfasst am: 08. Feb 2015 20:22 Titel: |
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Können sie mir eine Lektüre nennen die sowas ganz gut und nicht zu ausführlich erklärt? Ich wollte eigentlich die DeltaDitributionen in Kartesischen, Polar, Zylinder- und Kugelkoordinaten beherrschen.
Melvine |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 08. Feb 2015 20:27 Titel: |
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| Melvine hat Folgendes geschrieben: | Ok danke sehr TomS. Also wie gesagt ich denke ich hab es verstanden. Das jetzt in I=SSJdA einsetzen und das Integral berechnen. Danach nach der Konstante c auflösen. Kannst du mir aber bitte noch die 2 Fragen beantworten, also
1. Wie löst man solche Integrale? Die einzelnen Integranden sind ja Funktionen die abhängig von Parameter sind. Hier habe ich nicht wirklich eine Idee.
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Ganz normales Flächenintegral. Das heißt, je nach Art der Koordinaten, das Flächenelement dA einsetzen und ganz normal nach den üblichen Regeln integrieren.
| Zitat: |
2. Wie leite ich solche Delta-Distributionen selbst her, also vor allem in Polar-,Kugel und Zylinderkoordinaten. Für kartesische habe ich das schon verstanden. Einfach als Multiplikation einzelner Distributionen mit den Koordinaten x0,y0 und z0. |
Nochmal, TomS hat versucht es dir zu erklären. Es ist so, dass du deine Stromdichte mit Deltadistributionen Ausdrücken kannst. Dabei kann dein j theoretisch immer von 3 Distributionen (3 Raumkoordinaten) abhängen, je nachdem wie der Strom verteilt sein soll.
Ist die Stromdichte punktförmig, dann brauchst du die angabe eines direkten Orts, also 3 Deltadistributionen. Bei einer Linie entsprechend 2, bei einer Fläche 1.
Jetzt musst du noch entscheiden, welche Koordinaten du verwendest und welche Fläche durchflossen wird.
Machen wir das in deinem konkreten Beispiel:
(i) es geht um einen Zylinder --> Zylinderkoordinaten bieten sich an.
(ii) dein Zylinder wird im Radius R vom Strom I durchflossen und zwar in z-Richtung.
--->Zylindermantel wird durchflossen, das entspricht einer Fläche--->nur eine Deltadistribution
(iii) Dein Strom fließt überall auf dem Zylinder im Radius R---> abhängig von R unabhängig von \phi. Auch von z ist der Strom nicht abhängig, aus dass der Zylinder von 0 bis L geht, was wir eben über die Thetafunktion angeben.
(iv) Stromdichte angeben:
\theta(z)\theta(z-L))
R-r, weil der Strom eben im Anbstand R fließt. Die Theta-Funktionen sind Beiwerk und sagen z>=0 und z<=L
jetzt einsetzen in
mit
Und dann die entsprechende Regel für die Integration der Delta-Distribution die weiter oben steht verwenden.
Und jetzt versuch es mal |
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bernd12345
Gast
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| bernd12345 Verfasst am: 08. Feb 2015 20:29 Titel: |
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Wobei die Thetafunktion auch weggelassen werden kann, das es lediglich um die Stromdichte im Zylinder geht und nicht im ganzen raum!
TomS hat die das Integral ja schon eingesetzt hingeschrieben, jetzt ist es an dir, die Regel für die Integration der Distribution anzuwenden. |
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Melvine
Gast
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| Melvine Verfasst am: 09. Feb 2015 16:48 Titel: |
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hmm ich versuche seit gestern zu verstehen wie das nun funktioniert, also wie man eine stromdichte als deltadistribution schreiben kann. verstanden habe ich folgendes:
Die Anzahl der Distributionen um J zu beschreiben hängt davon ab, wie viele Veränderliche Raumpunkte bzgl. J und dessen Körper (z.b. Zylinder) vorkommen
Punkt: 3 Distributionen
Linie: 2 Distributionen
Fläche: 1 Distribution
So damit ich das nun ganz verstehen kann, wie beschreibt man die Stromdichte allgemein für alle beliebigen Koordinatensysteme?
J=c*delta(x-x0)*delta(y-y0)*delta(z-z0), wobei c 0 ist wenn ich kartesische Koordinaten nutze. Was passiert wenn ich das nun als Zylinderkoordinaten ausdrücken will (rcosphi,rsinphi,z). Wieso kann ich dafür nicht einfach (x,y,z)=(rcosphi,rsinphi,z) setzen? Bitte um jegliche korrekturen, wenn das möglich wäre ...
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Melvine
Gast
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| Melvine Verfasst am: 09. Feb 2015 16:56 Titel: |
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Ich meine c=1 im Falle von kart. Koordinaten. |
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Melvine
Gast
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| Melvine Verfasst am: 14. März 2015 16:56 Titel: |
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Etwas länger her, aber wieso gilt nun eigentlich bei
Machen wir das in deinem konkreten Beispiel:
(i) es geht um einen Zylinder --> Zylinderkoordinaten bieten sich an.
(ii) dein Zylinder wird im Radius R vom Strom I durchflossen und zwar in z-Richtung.
--->Zylindermantel wird durchflossen, das entspricht einer Fläche--->nur eine Deltadistribution
(iii) Dein Strom fließt überall auf dem Zylinder im Radius R---> abhängig von R unabhängig von \phi. Auch von z ist der Strom nicht abhängig, aus dass der Zylinder von 0 bis L geht, was wir eben über die Thetafunktion angeben.
(iv) Stromdichte angeben:
R-r, weil der Strom eben im Anbstand R fließt. Die Theta-Funktionen sind Beiwerk und sagen z>=0 und z<=L
jetzt einsetzen in
mit
das dort drei Distributionen vorkommen oder was immer das Theta sein soll? Das ist mir noch nicht ganz klar, kann man die nicht einfach weglassen oder so ? Es handelt sich ja um eine Fläche und demnach sollte nur eine Distribution vorkommen.
Diese Distribution macht mich echt fertig, wirklich das einzige wo ich so lange brauche um den Zusammenhang zu verstehen. Gottsei dank haben wir damit auch nur wenig zu tun (Dichtenberechnung - kommt selten vor wie diese Aufgabe...) |
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