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Hängemathe
Anmeldungsdatum: 08.12.2014
Beiträge: 12
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 Hängemathe Verfasst am: 30. Jan 2015 17:33 Titel: Elektrischer Schwingkreis |
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Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei folgende Aufgabe zu rechnen:
Wir betrachten die Spannungen und Ströme in einer Reihenschaltung eines Kondensators, einer Spule und eines Wiederstandes. Zum Zeitpunkt t=0 sei der Kondensator mit Kapazität C auf die Spannung =U_{0}) aufgeladen und der Stromfluss sei I(t=0)=0.
Nun wird sich der Kondensator über Spule und Wiederstand entladen. Die Änderung des Stromflusses ruft in der Spule eine Induktionsspannung  hervor und der Strom im Wiederstand führt zu einem Spannungsabfall  . Der Stromfluss wiederum führt zu einer Änderung der Kondensatorspannung gemäß
 oder =\frac{1}{C} \int_{-\infty}^t \! I(t^{'}) \, \dd t^{'})
Vernachlässigen Sie zunächst den Wiederstand und zeigen Sie, dass Sie eine Schwingungsgleichung erhalten. Was ergibt sich für die Eigenfrequenz  des ungedämpften LC-Schwingkreises. Wie lautet die Lösung bei der gegebenen Anfangsbedingung.
Ich habe die Aufgabe folgendermaßen gerechnet:
Durch Differentation nach der Zeit ergibt sich
Lösungsansatz:
Dadurch ergibt sich:
Da R=0 gilt ergibt die p-q-Formel:
Als Endlösung ergibt sich dann:
=C_{1}\cdot e^{\omega t}+C_{2}\cdot e^{-\omega t}) mit 
Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob meine Berechnungen korrekt sind und mir einen Tipp geben könnte,wie man  und  mittels der Anfangsbedingungen berechnet.
Für Eure Antworten bedanke ich mich im Voraus recht herzlich.
LG Hängemathe
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 31. Jan 2015 10:51 Titel: |
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Kleiner Nachtrag:
| Zitat: | | Die Änderung des Stromflusses ruft in der Spule eine Induktionsspannung hervor |
Das ist halt bei der Einhaltung der üblichen (**) Zählpfeilkonventionen einfach falsch, wird aber immer noch an den Schulen unterrichtet, da man meint, der Lentz'schen Regel dadurch Tribut zu zollen.
Man muss sich lediglich merken:
Wenn man die Zählpfeile von  und  in die gleiche Richtung zeigen lässt, dann gilt (ohne Minus)
(**)
Begriffe wie EMK (Elektro-Motorische-Kraft) als negatives U_L sind in der heutigen Zeit entbehrlich und gehören ins Museum.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 31. Jan 2015 16:03 Titel: |
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Hier geht es mit den Vorzeichen ja kunterbunt durcheinander. Wenn schnudl die Stromrichtung schon so vorgibt, wie er sie vorgegeben hat, dann muss an dem ebenfalls vorgegebenen Spannungspfeil am Widerstand -I*R stehen (also negatives Vorzeichen), denn der Strom durch den Widerstand fließt - von schnudl selbst vorgegeben - von unten nach oben. Der Maschensatz würde bei den vorgegebenen Pfeilrichtungen also lauten:
=0)
Ich persönlich hätte ja von Vornherein berücksichtigt, dass der Strom aufgrund der gegebenen Anfangsbedingung uc(0)=U0 zunächst entgegen der eingezeichneten Richtung fließt (Kondensatorentladung, der Kondensator ist der Energielieferant). Dann würde bei den vorgegebenen Richtungen der Spannungspfeile der Maschensatz lauten
Das ist genau dieselbe Gleichung wie die erstgenannte, während die von schnudl und die von Hängemathe aufgestellte schlicht falsch sind.
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 31. Jan 2015 16:29 Titel: |
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...ja, da sieht man, wie schnell man Schwachsinn schreiben kann.
Da das Bild doch recht oft angeklickt wird, hab ich es korrigiert.
Sorry für die Verwirrung 
@GvC: Übrigens stimmt(e) deine Gleichung auch nicht ganz. Der Faktor ist 1/C.
Ich habe es gleich korrigiert - hoffe es ist OK.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 31. Jan 2015 16:51 Titel: |
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Danke, schnudl! Ich war auf das für mich Wesentliche konzentriert, und das waren die Vorzeichen.
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Hängemathe
Anmeldungsdatum: 08.12.2014
Beiträge: 12
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| Hängemathe Verfasst am: 01. Feb 2015 20:37 Titel: |
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Erstmal vielen Dank Ihr Beiden für Eure Antworten.
Ich habe jetzt mal die Aufgabe gerechnet und bekomme dann folgendes raus:
^{2}-\frac{1}{CL}})
Da R=0 ist gilt:
Die Gleichung lautet dann:
=E\cdot \cos(\omega t)+D\cdot \sin(\omega t)) mit
Da I(t=0)=0 gilt ergibt dies:
=E=0 \to I(t)=D\cdot \sin(\omega t))
Ich habe jetzt versucht D mit Hilfe von  \, \dd t^{'}) auszurechnen, da gilt aber das hat nicht so richtig geklappt, da ich ein falsches Ergebnis rausbekommen habe.
Könntet Ihr mir bitte sagen, ob die Rechnung bis dahin stimmt und mir einen Tipp geben, wie ich noch D berechnen kann.
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Hängemathe
Anmeldungsdatum: 08.12.2014
Beiträge: 12
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| Hängemathe Verfasst am: 02. Feb 2015 15:35 Titel: |
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Ich habe versucht D nochmal auszurechnen und kam auf folgendes Ergenbnis:
=D\cdot \sin(\omega t))
=\frac{1}{C}\int_{-\infty}^t \! I(t^{'}) \, \dd t^{'})
 \, \dd t^{'})
\right]_{-\infty}^{t})
=\frac{D}{\omega C}\cdot \cos(\omega t))
=\frac{D}{\omega C}=U_{0} \to D=U_{0}\omega C )
=\frac{U_{0} \omega C}{\omega C}\cdot \cos(\omega t)=U_{0}\cos(\omega t))
Da gilt, ergibt dies für I(t):
=-U_{0}\cdot C\cdot \omega\cdot \sin(\omega t))
Könnte mir bitte jemand sagen, ob die Rechnung so richtig ist.
Bereits im Voraus vielen Dank für Eure Antwort.
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