Fragestellung mit Vektoren

breznsepp · Gast

Meine Frage:
Hallo, ich verstehe folgende Fragestellung nicht:

"Seien u, v, w paarweise orthogonale Vektoren im R3, die alle Betrag 5 haben.."

Meine Frage ist, wie soll ich das deuten ?! Wie sehen die Vektoren aus ?

Meine Ideen:
Da ja in der Fragestellung vom R3 ausgegangen wird denke ich dass es vektoren mit folgendern Form sein müssen:

(5; 5; 5)^T

aber irgendwie verstehe ich nicht warum ! Würden die Vektoren wenn es hiesse: "Paarweise orthogonale Vektoren im R2" dann so aussehen:

(5; 5)^T

?!

Vielen Dank für die Hilfe ! Hab bald Klausur

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Es bedeutet, dass gelten muss

und

,

da die Vektoren im dreidimensionalen Raum drei Komponenten haben müssen.

Oders anders formuliert:

Es seien die Vektoren u,v,w im dreidimensionalen Raum (mit drei Komponenten) so beschaffen, dass jeder orthogonal zum jeweils anderen ist und 5 Einheiten lang ist.
Damit hast du übrigens ein Koordinatensystem gegeben.

Ich würde so eine Frage eher im Matheboard stellen, aber ich hoffe, die Antwort hilft dir^^

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

breznsepp · Gast

Hallo,

Danke euch beiden erstmal!

Zu Yellowfur´s Antwort tut sich gleich die nächste Frage auf:

Ist die LÄNGE eines Vektors das gleiche wie der BETRAG ?

Im Lehrbuch steht, dass der Betrag nach der obigen Formel mit der Wurzel berechnet wird.

Ich sehe schon, ich habs noch nicht verstanden.

Wenn ich jetzt u = ( 5; 5; 5)^T habe, habe ich EINEN von drei Vektoren die mit Länge 5 einen Raum auf X, Y, Z Koordinaten aufspannen, meiner Ansicht nach spannt dieser eine Vektor ja schon einen Raum im R3 auf. Heisst das, dass die anderen Vektoren V und W die genau gleichen sind ?!

oder heisst dass folgendes:

u = ( 5 )
V = ( 5 )
W = ( 5 )

Gibt es solche Vektoren überhaupt ? Das sind ja nur einzelne Zahlen

?!

Vielen Dank für die Hilfe !

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Vektoren im R3 haben drei Komponenten. Können drei solcher Vektoren identisch und gleichzeitig zueinander orthogonal sein? Versuch doch erstmal dir das anschaulich vorzustellen. Und der Vektor (5,5,5) hat natürlich nicht die Länge 5. Das kannst du doch leicht nachrechnen.

breznsepp · Gast

Hi,

Danke für die Antwort,

selbstverständlich versuche ich schon seit längerem das Problem selbst zu lösen, weil es meiner ansicht nach mehr Lerneffekt bringt. Leider komme ich eben nicht weiter und finde nichts in Büchern dass mir den Sachverhalt erläutern könnte. Fragen ist für mich immer letzte option !!

OK, 3 gleiche Vektoren können natürlich nicht kollinear sein ! Stimmen also

v = (5)
u = (5)
w = (5)

?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Du verwechselst noch ein paar grundlegende Dinge. Eine ungerichtete Größe, eine Zahl, auch Skalar genannt, besteht nur aus einem Wert.
Deswegen kann dein Vorschlag u = 5 kein Vektor im dreidimensionalen Raum sein.

Ein Vektor hat zwei besondere Eigenschaften: Eine Länge und eine Richtung (und meinetwegen noch einen Ursprungspunkt).
Je mehr Dimensionen, desto mehr Komponenten brauchst du.
Deswegen muss ein Vektor im Dreidimensionalen drei Komponenten haben, zum Beispiel

.

Richtig, der Betrag eines Vektors ist die Länge des Vektors und bedeutet etwas anderes als der Betrag eines Skalars, das ist eine mathematische Definition und sehr wichtig.

Und für deine Frage, wie die Vektoren jetzt angeordnet sein können:

Entweder, du rechnest das aus mit den Formeln, die ich dir gezeigt habe, oder du kannst drei Zahnstocher nehmen und dir überlegen, wie die relativ zueinander liegen können im Raum.

Ach ja: Oft hat man in der Zeile mehr Platz als in der Spalte (zum Beispiel in einem Buch), also schreibt man gerne auch

aus Platzgründen, wobei T der Transponierungsoperator ist, der sagt, dass man jede Zeile in eine Spalte und jede Spalte in eine Zeile verwandeln soll.