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Nachricht |
QM-Laie
Gast
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 QM-Laie Verfasst am: 06. Jan 2015 23:07 Titel: Spin, Singulett-Konfiguration |
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Meine Frage:
Hallo, liebe Physiker! :)
Ich hänge hier bei folgender Aufgabe fest:
Zwei Spin- -Teilchen befinden sich in der Singulett-Konfiguration. }) bezeichnet die Komponente des Spins von Teilchen 1 in der durch den Einheitsvektor  angegebenen Richtung, }) ist entsprechend die Komponente des Spins von Teilchen 2 in der Richtung von  . Zu zeigen ist nun, dass } \hat{S}_b^{(2)}\rangle=-\frac{\hbar^2}{4}\cos(\varphi)) gilt. ( ist der Winkel zwischen und )
Meine Ideen:
Wir hatten den Spinoperator für  :
 mit den Pauli-Matrizen  .
Aber wie ich jetzt den Erwartungswert vom Operator } \hat{S}_b^{(2)}) berechnen muss, habe ich keine richtige Idee. Muss ich dazu nicht wissen, in welchem Zustand er sich befindet?
Vielen Dank für Hinweise.  |
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QM-Laie
Gast
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| QM-Laie Verfasst am: 07. Jan 2015 19:34 Titel: |
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Keine Ideen?  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 07. Jan 2015 19:37 Titel: Re: Spin, Singulett-Konfiguration |
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| QM-Laie hat Folgendes geschrieben: | | Muss ich dazu nicht wissen, in welchem Zustand er sich befindet? |
Weisst Du doch (steht sogar schon in Deiner Ueberschrift  ). |
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QM-Laie
Gast
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| QM-Laie Verfasst am: 07. Jan 2015 20:44 Titel: |
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Stimmt, es ist wohl der Singulett-Zustand.
In der Vorlesung hatten wir gesagt, dass man bei zwei Teilchen mit Spin einen Hilbertraum mit Dimension 4 hat.
Zum Singulett-Zustand hatten wir noch ) .
Jetzt habe ich doch aber das Problem, dass die drei Komponenten des Spinoperators nur Dimension 2 haben (bzw. haben die Pauli-Matrizen Größe  ).
Das ich kann ich doch nicht mit dem obigen Vektor multiplizieren, was ich aber machen müsste, um den Erwartungswert zu berechnen; der sieht doch so aus, oder? } \hat{S}_b^{(2)}\rangle=\langle \psi| \hat{S}_a^{(1)} \hat{S}_b^{(2)} | \psi\rangle) 
( soll der betrachtete Zustand sein) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 07. Jan 2015 22:50 Titel: |
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Bei zwei Spins hast du einen Produkt-Raum. D.h.
},s_z^{(a)}, s^{(b)},s_z^{(b)}\rangle = |s^{(a)},s_z^{(a)} \rangle \,\otimes\, |s^{(b)},s_z^{(b)}\rangle)
Der durch zwei Dublets aufgespannte Raum ist offensichtlich vierdimensional; er kann in einen Singulet und drei Tripletzustände zerlegt werden:
Bei dir geht es um den Singuletzustand.
Ein einzelner Spinoperator ist zu lesen als
} = S^{(a)}\,\otimes\,1^{(b)})
Das Produkt zweier Spinoperatoren ist zu lesen als
} \, S^{(b)} = S^{(a)}\,\otimes\,S^{(b)})
Diese Operatoren wirken wie folgt auf die Zustände:
} \, S^{(b)} \, | s^{(a)},s_z^{(a)}, s^{(b)},s_z^{(b)}\rangle = S^{(a)}\,|s^{(a)},s_z^{(a)}\rangle \, \otimes\,S^{(b)} \, |s^{(b)},s_z^{(b)}\rangle)
Für den Erwartungswert gilt das analog, d.h. ein Operator bzgl. (a) wird zwischen den (a)-Zuständen gesandwiched, ein Operator bzgl. (b) analog:
},s_z^{(a)}, s^{(b)},s_z^{(b)}| \, S^{(a)} \, S^{(b)} \, | s^{(a)},s_z^{(a)}, s^{(b)},s_z^{(b)}\rangle = \langle s^{(a)},s_z^{(a)}| \, S^{(a)}\,|s^{(a)},s_z^{(a)}\rangle \, \cdot\,\langle s^{(b)},s_z^{(b)}| \, S^{(b)} \, |s^{(b)},s_z^{(b)}\rangle)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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QM-Laie
Gast
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| QM-Laie Verfasst am: 07. Jan 2015 23:48 Titel: |
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OK, wenn ich das richtig verstanden habe, meinst du folgendes:
}\hat{S}_b^{(2)}\rangle = \langle 0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}|\hat{S}_a^{(1)}\hat{S}_b^{(2)}|0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle =\langle 0,0|\hat{S}_a^{(1)}|0,0\rangle \cdot \langle \frac{1}{2},\frac{1}{2}|\hat{S}_b^{(2)}|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle)
Jetzt muss ich ja noch die Komponente des Spin in Richtung von bzw. berechnen. Dazu würde ich einen Projektor benutzen:
}=\sum_{i=1}^3\vec{a}\cdot \vec{a}^T\cdot \hat{S}_i)
}=\sum_{i=1}^3\vec{b}\cdot \vec{b}^T\cdot \hat{S}_i)
Aber so wirklich überzeugt bin ich davon nicht... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2015 00:46 Titel: |
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| QM-Laie hat Folgendes geschrieben: | Zum Singulett-Zustand hatten wir noch
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Ich verstehe nicht, was der linke Zustand sein soll. Was sollen die vier Quantenzahlen bedeuten? Die zwei Spins mit ihrer z-Kompente? Dann verstehe ich die Null nicht, denn die kann es nicht geben. Der Singulet-Zustand? Dann verstehe ich die vier Zahlen nicht.
Der Singulet-Zustand ist exakt das, was du rechts hinschreibst, also
(ohne Normierung)
Diesen Zustand musst du zwischen den Operatoren sandwichen; das ergibt insgs. vier einzelne Terme.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2015 01:12 Titel: Re: Spin, Singulett-Konfiguration |
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| QM-Laie hat Folgendes geschrieben: | | bezeichnet die Komponente des Spins von Teilchen 1 in der durch den Einheitsvektor angegebenen Richtung, ... |
Ist das wirklich exakt die Aufgaben? Ich bin nicht sicher, ob ich das richtig interpretiere.
Sind für die zwei Teilchen unterschiedlich z-Achsen a und b gegeben? Dann wäre das kein Singulet-Zustand.
Oder sollen statt der drei üblichen Operatoren neue Operatoren angegeben werden, wobei die z-Achse nach a bzw. b rotiert wurde?
Die Formulierung "bezeichnet die Komponente ... in der durch den Einheitsvektor ... angegebenen Richtung, ..." ist missverständlich; gegeben sind drei Komponenten, aber ein Einheitsvektor zeichnet nur eine aus.
Ich vermute, dass die Spinoperatoren so rotiert werden sollen, dass zwei neue z-Richtungen definiert werden, also a für das erste und b für das zweite Teilchen. Dann musst du zwei Rotationsoperatoren definieren, die genau das leisten; d.h. du benötigst
}\vec{S}})
} = U \, \vec{S} \, U^\dagger)
mit geeigneten Rotationswinkeln (b analog).
Ich habe übrigens (1) mit (a) und (2) mit (b) identifiziert; die vielen Indizes sind doof zu tippen.
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QM-Laie
Gast
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| QM-Laie Verfasst am: 08. Jan 2015 01:21 Titel: Re: Spin, Singulett-Konfiguration |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ist das wirklich exakt die Aufgaben? Ich bin nicht sicher, ob ich das richtig interpretiere.
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Ja, genau so lautete die Aufgabe.
Naja, ich werde mir das demnächst nochmal angucken, jetzt wird's zu spät.
Vielen Dank! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2015 10:15 Titel: |
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Die Formulierung ist wirklich ungeschickt:
| QM-Laie hat Folgendes geschrieben: | | bezeichnet die Komponente des Spins von Teilchen 1 in der durch den Einheitsvektor angegebenen Richtung, ... |
Nein, das bezeichnet nicht die Komponente des Spins eines Teilchens, weil es ein Operator ist.
Aber du könntest mit der Idee, dass du den Vektor der Operatoren auf diese Richtung a projizieren sollst, recht haben. Ich gehe davon aus, dass das ein Teil aus der Rechnung zur Bellschen Ungleichung (in deinem Fall für Spin 1/2) ist.
Frag' mal nach, was wirklich gemeint ist. Und schau dir mal ein paar Rechnungen zur Bellschen Ungleichung an, da kommen ähnliche Terme vor.
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