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Chris2293
Anmeldungsdatum: 15.12.2014
Beiträge: 5
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 Chris2293 Verfasst am: 15. Dez 2014 15:36 Titel: Gravitationsenergie außerhalb der Erde |
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Meine Frage:
Aufgabe:
Wie groß ist die Potentielle Energie der
Gravitation außerhalb der Erdkugel?
Meine Ideen:
Hallo erstmal. Ich suche nicht nach der Lösung für die Frage, denn die kenne ich.
 )
Die oben gezeigte Lösung beruht allerdings auf eine Herleitung, die mit eine Kraft beginnt, die mir nicht schlüssig ist.
)
oder auch:
)
Die Kraft F wird in folgender Formel eingesetzt.
 ,
wobei R = Radius Erde und r = Abstand der beiden Massen darstellt.
Anschließend substituiert man F und knackt das Integral und erhält die oben genannte Lösung. Nur die Kraft F wird ja nicht aus dem Himmel gefallen sein. Ideen wie man sie herleiten kann? Habe bereits versucht sie aus dem zweiten newtonschen Axiom herzuleiten, erhalte da aber eine ähnliche, aber nicht identische Gleichung. Setzt man für die obere Grenze unendlich ein, erhält man die potentielle Gravitation in Bezug auf unendlich. Entspricht diese nicht der pot. Energie außerhalb der Erde?
Kann mir jemand sagen, wo die Formel für F herkommt? Speziell R²(Erde) gibt mir Rätsel auf.
Zuletzt bearbeitet von Chris2293 am 16. Dez 2014 13:26, insgesamt 6-mal bearbeitet |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3405
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| ML Verfasst am: 15. Dez 2014 16:13 Titel: Re: Gravitationsenergie außerhalb der Erde |
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Hallo,
in der Formel
)
steht drin, dass die Erdanziehung mit dem Abstandsquadrat r^2 abnimmt und proportional zur Masse m (außerhalb der Erde) ist. Für r=R kommt gerade die Gewichtskraft m*g heraus. Das sieht vernünftig aus.
Was Dich vermutlich stört ist die Tatsache, dass die Konstanten problemangepasst miteinander vermischt wurden. Statt der Gravitationskonstante  und der Masse  der Erde findest Du so die Erdbeschleunigung  auf der Erdoberfläche und den Radius  der Erde in der Formel wieder.
Viele Grüße
Michael |
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Chris2293
Anmeldungsdatum: 15.12.2014
Beiträge: 5
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| Chris2293 Verfasst am: 16. Dez 2014 13:02 Titel: Re: Gravitationsenergie außerhalb der Erde |
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| ML hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
in der Formel
steht drin, dass die Erdanziehung mit dem Abstandsquadrat r^2 abnimmt und proportional zur Masse m (außerhalb der Erde) ist. Für r=R kommt gerade die Gewichtskraft m*g heraus. Das sieht vernünftig aus.
Was Dich vermutlich stört ist die Tatsache, dass die Konstanten problemangepasst miteinander vermischt wurden. Statt der Gravitationskonstante und der Masse der Erde findest Du so die Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche und den Radius der Erde in der Formel wieder.
Viele Grüße
Michael |
Hallo, danke für die schnelle Antwort :-)
Ich hab mir jetzt nochmal ein Blatt Papier geschnappt und ein paar Gedanken gemacht. Also ist
eine Variable, die je nach Abstand r die dazu passende Gravitationsbeschleunigung g liefert. Da die Gravitationsbeschleunigung im Abstand zum Quadrat abnimmt, leuchtet dies auch ein. Gibt man also die Gewichtskraft in Abhängigkeit zur Entfernung an, erhält man aus der Formel
die Formel
)
Somit ist die Gewichtskraft abhängig vom Abstand (zum Quadrat) der Erde
Nun enthält die Gleichung aber kein negatives Vorzeichen, wie es sein müsste. Meine Idee wäre entweder, das Minus aus der Gravitationsbeschleunigung zu ziehen ( g = - 9,81 ), indem ich g als negativ ansehe, oder wenn ich das Integral aufstelle, die untere Grenze auf
r setze, die obere Grenze auf Re und dann die Grenzen vertausche, um so das negative Vorzeichen zu bekommen.
Ich habe beide Varianten durchgerechnet. Es trägt vielleicht zum Verständnis bei.
1. Die richtige Lösung mit negativem Vorzeichen:
1.1 Die Formel für F:
1.2 F integrieren:
1.3 Ergebnis:
 )
2. Lösung ohne negatives Vorzeichen:
2.1 Formel für F: )
2.2 F integrieren:
2.3 Ergebnis:  )
Wie man sieht sind die Faktoren in der Klammer vertauscht. Die zweite Lösung ergäbe auch keinen Sinn, da das Produkt der Klammer negativ wäre, wenn r gegen Unendlich geht.
Meine Idee mit den Grenzen vertauschen:
Grenzen tauschen:
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 17. Dez 2014 02:36 Titel: Re: Gravitationsenergie außerhalb der Erde |
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Der Ortsfaktor g (Fallbeschleunigung) wird sinnvollerweise nur in der Nähe der Erdoberfläche angewendet oder entsprechende bei der Oberfläche anderer Himmelskörper (oder auch als anschauliche Vergleichsgröße). Im allgemein würde ich deshalb eher beim Gravitationsgesetz bleiben  . Damit ergibt sich die potentielle Energie bezüglich  als ) , wobei zweckmäßigerweise \overset{!}{=}0,~ E_{pot}(r)=-\frac{GMm}{r}) geschrieben wird.
Daraus könnte man spaßenshalber F = mg oder E = mgh ableiten. |
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Chris2293
Anmeldungsdatum: 15.12.2014
Beiträge: 5
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| Chris2293 Verfasst am: 17. Dez 2014 12:27 Titel: Re: Gravitationsenergie außerhalb der Erde |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | Der Ortsfaktor g (Fallbeschleunigung) wird sinnvollerweise nur in der Nähe der Erdoberfläche angewendet oder entsprechende bei der Oberfläche anderer Himmelskörper (oder auch als anschauliche Vergleichsgröße). Im allgemein würde ich deshalb eher beim Gravitationsgesetz bleiben . Damit ergibt sich die potentielle Energie bezüglich als , wobei zweckmäßigerweise geschrieben wird.
Daraus könnte man spaßenshalber F = mg oder E = mgh ableiten. |
Hallo franz, danke für die Antwort!
Ein paar Fragen hätte aber noch.
Erste Frage:
 Dies ist ein Einheitsvektor, der die Richtung der Kraft vorgibt, oder?
Zweite Frage:
F wird substituiert:
Dann erhalte ich doch:
Oder ist das Minus vor dem Integral bereits aus dem F gezogen worden und vor das Integral gestellt worden?
Dritte und letzte Frage:
Ich weiß nach wie vor nicht wo die Formel
herkommt. Die Herleitungen für die Gravitationsbeschleunigung und für die wirkenden Anziehungskräfte zwischen zwei Massen (in Ruhe) in Abhängigkeit von deren Abstand und Gewicht sind alle nachvollziehbar.
Ist es möglich, dass meine Grundannahme falsch ist ?
Die von dir aufgeführte Formel
)
kann mann ja auch so umstellen (oder?):
)
Ich tausche die beiden Faktoren in der Klammer und das Minus vor dem G verschwindet.
Diese Formel wäre ja nah an die von mir gesuchte Formel dran.
.
Eine Idee? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 17. Dez 2014 15:49 Titel: Re: Gravitationsenergie außerhalb der Erde |
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Hallo Chris2293,
mit der Anmerkung oben wollte ich eigentlich nur vorschlagen, das Newtonsche Gravitationsgesetz als Basis entsprechender Überlegungen anzuwenden
1. | Zitat: | | Dies ist ein Einheitsvektor, der die Richtung der Kraft vorgibt, oder? |
Mit der "großen" Zentralmasse M im Zentrum ist  der Radiusvektor in Richtung der "kleinen" Masse m. Die Kraft auf m zeigt zu M, also entgegen  .
2. Was das Vorzeichen angeht: Die potentielle Energie hängt zusammen mit der Eigenschaft solcher konservativer Kräfte, daß es für sie ein Potential gibt  , oder anders: Das Wegintegral der Kraft ist wegunabhängig, oder: die potentielle Energie entspricht der "Hubarbeit" am Körper gegen die Schwerkraft (also das "minus" Schwerkraft!) =-\int^{\vec r}\vec F ~d\vec r) .
Durch das Integral kommt noch ein drittes Minus dazu, von denen aber nur eins überlebt. :-)
3. Die Schwerkraft der Erde an der Oberfläche: Nach dem G.gesetz ist ihr Betrag dort gleich und zum Zentrum gerichtet. Bequemerweise definiert man als Beschleunigungswert g, also F = m * g.
Der Zusammenhang zu Erdmasse M und Erdradius R ist also (betragsmäßig)  .
In der Nähe der Erdoberfläche könnte man die Schwerkraft also schreiben  .
Und die potentielle Energie dort, meinetwegen mit E(R) = 0 :
=-GMm\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)=-mgR^2\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)\cdots \approx mg(r-R)=mgh) |
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Chris2293
Anmeldungsdatum: 15.12.2014
Beiträge: 5
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| Chris2293 Verfasst am: 18. Dez 2014 18:24 Titel: |
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Danke vielmals, du hast mir sehr geholfen! :-)
Ich habs jetzt verstanden und zu Papier gebracht!
Der Thread kann jetzt geschlossen werden.
Frohes Fest!
Christian |
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