Translationsgeschwindigkeit walze und quader

wang · Gast

einen schönene abend wünsche ich allen

Wink

also, ich habe mal zur folgenden aufgabe eine frage. ich glaube ich verstehe sie nicht wirklich traurig

:

Eine Vollwalze rollt eine schiefe Ebene hinab. Ein Quader gleitet dieselbe Ebene reibungsfrei
hinunter. Die geneigte Ebene hat die Höhe h = 0,1 m und die Länge l = 1,2 m.
a) Berechnen Sie die Translationsgeschwindigkeiten mit denen die beiden Körper am Fuß der schiefen Ebene ankommen.
Betrachten Sie dabei das Rollen des Zylinders auf zwei Weisen: Erstens als eine Translationsbewegung des Schwerpunkts und eine Rotationsbewegung um den Schwerpunkt. Zweitens als eine Rotation um den Auflagepunkt als momentane Drehachse, wobei nur eine Rotation stattfindet. Zeigen Sie, dass beide Sichtweisen zum selben Ergebnis für die Translationsgeschwindigkeit der Walze führen.
b) Die jeweiligen Schwerpunkte der Körper führen eine gleichmäßig beschleunige Bewegungen aus. Wie groß sind die Beschleunigungen die die beiden Körper erfahren und wie lange dauert es bis sie jeweils unten angekommen sind?

meine momentane frage zu der aufgabe lautet, was eigentlich translation hier bedeuten soll? wie kann ich das verstehen? kann man dieses wort vielleicht auch anders definieren? so das ich das verstehe?
ich finde auch so nicht wirklich gescheites.

die zweite frage lautet: sie bezieht sich auf die a)
wie kann ich die zweite sichtweise verstehen? wie kann ich mir das mit dem auflagepunkt verstehen?

ich bin für jede hilfe sehr dankbar.

also, wenn jemand irgendwie mir weiterhelfen kann, dann poste doch bitte was hier rein Augenzwinkern

ich freu mich auf antwort. Mit Zunge

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Translation ist sozusagen das Gegenteil von Rotation. Die Bewegung eines Körpers (z. B. der Walze in Deinem Bsp.) kann man aufteilen in eine Translation, also eine Bewegung des Schwerpunktes des Körpers und eine Rotation um den Schwerpunkt, wie es auch in der Aufgabe für die Walze gemacht werden soll.
Vielleicht ist das hier http://de.wikipedia.org/wiki/Translation verständlicher...
Das mit den zwei Sichtweisen. Die erste ist vielleicht einleuchtender. Das Ding rollt die Ebene runter und dreht sich dabei um den Mittelpunkt während sicher der Mittelpunkt gleichzeitig die Ebene runter bewegt. Bei der zweiten mußt Du Dir das ganze für einen kurzen Moment vorstellen. In einem solchen Moment ist die Walze an einer Stelle fest mit der Ebene verbunden und zwar genau an der Auflagestelle. Für diesen kurzen Augenblick ist es, als würde sich die Walze um diesen einen festen Punkt drehen, wie wenn das die Drehachse der gesamten Walze wäre. Da dieser Punkt der Ebene für den Beobachter stehen bleibt (die Ebene ist ja fest), ist die Gesamtenergie der Walze genau die Rotationsenergie der Walze um diesen Punkt. Da die Walze ja rund ist, ist der Auflagepunkt zu jeder Zeit auch gleich weit vom Mittelpunkt entfernt, so dass Du dafür dann den Steiner'chen Satz anwenden kannst.
Naja, ich kann's irgendendwie nicht besser erklären... Vielleicht hilft es ja, wenn Du Dir das mal aufzeichnest.

Gruß
Marco

wang · Gast

hi, ich bins nochmal Wink

also, ich glaube ich habe das wohl verstanden mit der translation und rotation. schon mal danke marco Prost

.
nun wollte ich auch die aufgabe lösen Big Laugh

.

ich bin vorerst soweit gekommen:

die translationsgeschwindigkeit des quaders beträgt:

also das war ja noch ganz einfach Augenzwinkern

.

Nun bin ich am berechnen der translationsgeschwindigkeit des Zylinders:

erste weise:

wobei

ist, richtig?

und

so und nun habe ich irgendwie ein problem. diesen ansatz habe ich aus dem internet und da wurde dann gesagt das folgendes gilt:

(

+

*

)

und J soll der Trägheitsmoment sein. woher kommt das böse

???

Wie wurde das plötzlich in diese gleichung hineingezaubert ??

kann mir das bitte jemand verraten Gott

Und bei der zweiten weise komme ich mit dem steinerschen satz überhaupt nicht weiter. könntet ihr mir da bitte auch auf die sprünge helfen?

vielen dank schon mal im voraus smile

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

ok, der erste Teil sieht ja schon mal sehr gut aus (hab's jetzt allerdings nicht nachgerechnet, also eingesetzt, aber ich vertraue Dir mal Big Laugh

)
Beim zweiten Teil isse allerdings etwas durcheinander, glaub ich. Mal sehen, also:
Die Walze hat eine "Translationsenergie" und eine Rotationsenergie, wenn sie unten ist. Rotationsenergie ist:

übrigens: Eigentlich ist die Rotationsenergie auch eine kinetische Energie. Deshalb sind die Bezeichnungen hier etwas gefährlich, aber egal.
Tja, woher kommt nun das J? Ok, ich glaube, das kann ich Dir jetzt nicht so schnell beantworten. Ich versuchs aber trotzdem mal:
Stell Dir vor Du hast einen Körper, der aus verschiedenen Massepunkten besteht. Der rotiert jetzt um eine Achse. Jetzt greifen wir mal einfach einen Massepunkt raus und versuchen die kin-Energie für den aus zu rechnen. Da gilt dann, wie immer:

Was ist jetzt aber v? Sagen wir, der Körper dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit omega. Dann ist die Geschwindigkeit gerade:

Das kann man auch alles mit Vektoren machen, aber das will ich mir hier mal sparen...
Jetzt definiert man für einen einzelnen Massepunkt:

dann kannst Du schreiben:

Das sieht ja schon mal ganz nett aus, gilt aber bisher nur für den einzelnen Massepunkt, wie gesagt. Jetzt muß man das für alle Massepunkte machen un bekommt dann einfach ein Integral, wenn es keine einzelnen Massepunkte, sondern eine Masseverteilung ist.

Damit gilt dann die obige Formel immer noch.
Wie komme ich jetzt aber auf das v der Walze:

Das kannst Du wieder in die Formel mit der Rotationsenergie einsetzen und noch die Translationsenergie dazu addieren und schon hast Du die gesamte kinetische Energie. Das sollte dann auch Deiner Formel entsprechen. Probier das mal aus, ich hab's nämlich jetzt nicht überprüft!
Wobei, wenn ich mir das anschaue... woher kommt eigentlich die

Bei mir kommt die nicht raus!
Egal, auf jeden Fall brauchst Du aber dann noch das J für die Vollwalze:

Wobei ich hier die Buchstaben anders hab. Also M ist die Masse der Walze und R deren Radius.

Probier mal, ob Du damit was anfangen kannst!

Gruß
Marco

wang · Gast

moien,

ich bins nochmal Big Laugh

.

ich konnte deinen beitrag einigermaßen nachvollziehen. habe das nochmal mit meinen sachen verglichen aus den bbüchern. und ich glaube ich habe es verstanden.

nur irgendwie weiß ich nicht wie ich b) berechnen soll. wie kann ich die beschleunigung und zeit berechnen?

und vielen dank für die bemühungen Gott

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Das ist schon mal sehr gut, wenn Du das verstanden hast! Dass Du das mit der Zeit noch nicht hin bekommst ist kein Wunder. Bis jetzt hatte ich ja auch nur von der Energie geredet und bei wenn man Erhaltungssätze anwendet bekommt man natürlich erstmal keine Aussage über die Zeit.
Wenn man das mit Trägheitsmoment und Drehbewegungen allgemein herleitet, geht man wahrscheinlich nicht über die Energie. Man kann das auch ganz normal über Bewegungsgleichungen mit Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung machen und über das F = m * a Gesetz kommt man dann noch auf ein Drehmoment M und so weiter. Unterm Strich kommt man dann auf ähnliche Gleichungen für die Rotation, wie vorher schon für die Translation. Man muß nur das hier quasi "austauschen":
Strecke/Postition s mit Winkel Phi
Geschwindigkeit v mit der Winkelgeschwindigkeit Omega
Beschleunigung a mit der Winkelbeschleunigung Alpha
Kraft F mit dem Drehmoment M
(Träge-)Masse m mit dem Trägheitsmoment I (oder J)
etc...
Dann kannst Du wieder genau wie bei gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung die Gleichungen auch auf die Rotation übertragen. Sogar auf die Rotationsenergie kommst Du so, wenn Du einfach die Ersetzung so machst, wie ich geschrieben habe. Dass das alles dann noch stimmt kann man leicht überprüfen, wenn man wieder von einem einzelnen Massepunkt in festem Abstand von der Drehachse betrachtet und das dann auf unendlich viele Massepunkte bzw. eine kontinuierliche Dichteverteilung um die Drehachse herum verallgemeinert.
Leider bin ich im Augenblick etwas knapp mit der Zeit. Vielleicht komme ich heute abend dazu, das noch etwas genauer auch auf die Aufgabe bezogen zu schreiben, aber Du kannst ja trotzdem schon mal probieren, ob Du damit schon was anfangen kannst.

Gruß
Marco

wang · Gast

ich habe mir den weg von as_string mal angeschaut. und da dachte ich: "sieht ja garnicht so schwer aus. müsste ja machbar sein".

puste kuchen. wenn ich das versuche, mit meinen formeln da was zu basteln, habe ich irgendwie immer 2 unbekannte oder nicht die werte dafür. traurig

achso ja, habe ich vergessen zu sagen, ich bin bei der aufgabe b) mit der berechnung der beschleunigung und zeit von quader und zylinder Klo

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

OK, ich habe mir die Aufgabe erst nochmal angeschaut. Da ist es wohl am einfachsten, wenn man wieder von der "Rollersatzmasse" ausgeht. Wenn Du die kin. Energie in Translationslations- und Rotationsanteil aufteilst hast Du ja die Energie:

Aber v und Omega hängen ja zusammen, weil die Walze ja gerade so schnell rotiert, dass ihre Unterkante immer auf der Ebene "aufliegt". Also ist:

wobei r der Radius der Walze sein soll.
Dann ist die kin. Energie:

mit

Das nennt man dann die Rollersatzmasse oder so (weiß nicht, ob das der offizielle Ausdruck dafür ist). Du kannst jetzt als Trägheit diese Masse annehmen und dann gilt auch wieder:

Allerdings ist die Schweremasse immer noch die selbe, also die Gewichtskraft immer noch gm und nicht gm'!
Wenn Du für J das für die Walze einsetzt (1/2 m r^2) dann kommt dabei das hier raus:

Ich persönlich finde das zwar immer etwas gefährlich, wenn man da mit "Pseudomassen" rumrechnet, aber die Rechnung wird deutlich einfacher dadurch. Nur muß man höllich aufpassen, damit man mit den Massen nicht durcheinander kommt! Außerdem sieht das Newton'sche Gesetz dann auch irgendwie komisch aus... aber rechnen kann man das schon.

Klappt's damit?

Andere Möglichkeit wäre wieder das zweite Bild von a) zu nehmen. Da hast Du dann nur eine Rotation, allerdings um den Auflagepunkt. Dadurch wird das Drehmoment dann größer (Steiner'che Satz) und es kommt dann alles wieder auf das selbe raus.
Noch einfacher geht es vielleicht so: Du hast doch in der a) eine Geschwindigkeit raus am Ende der schiefen Ebene. Dann weißt Du ja den Weg und Anfangsgeschwindigkeit (=0) und Endgeschwindigkeit. Also kannst Du dann wieder ganz normal eine Beschleunigung, Zeit etc. ausrechnen, wie wenn es einfach nur eine Translation wäre. Vielleicht ist die Aufgabe auch so gedacht?
Probier' einfach mal aus. Je mehr man sich damit beschäftigt, desto mehr lernt man auch!

Gruß
Marco