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Herr Kleinlaut
Anmeldungsdatum: 30.07.2012
Beiträge: 7
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 Herr Kleinlaut Verfasst am: 19. Okt 2014 10:59 Titel: Schulphysik: Heisenbergsche Unschärferelation: Ortsunschärfe |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zur Heisenbergschen Unschärferelation (HUR), die in den meisten Schulbüchern mit folgender Formulierung (wahrscheinlich vereinfacht) angegeben ist:
In Beispielen und Aufgaben in verschiedenen Büchern und Internetquellen wird z.B. die Ortsunschärfe "etwas uneinheitlich" behandelt:
Als anschauliches Beispiel wird gerne ein Elektron (o.ä.) durch einen Spalt der Breite B fliegen lassen und diese Situation mit der HUR interpretiert. Hierbei werden zwei Varianten genutzt.
1.) Die gesamte Spaltbreite B wird als Ortsunschärfe  verwendet.
2.) Die halbe Spaltbreite wird als Ortsunschärfe verwendet.
Man findet aber beide Varianten, die übrigens zu unterschiedlichen Ergebnissen für die Impulsunschärfe führen.
Ein einem anderen Beispiel betrachtet man ein Elektron in einem Atom mit einem gewissen Radius R und geht wohl davon aus, dass es sich "innerhalb dieses Radius" befindet. Müsste man hier =2R oder =R setzen?
Meine Ideen:
Die zweite Variante ist mir im Moment etwas sympathischer, der Ort x liegt quasi im Intervall von x- bis x+.
Vielen Dank für eure "Meinungen" bzw. die Klärung dieses kleinen Interpretationsproblems! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 19. Okt 2014 11:38 Titel: |
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Die Formel ist exakt.
Die weiteren Interpretationen und Beispiele sind es dagegen nicht. Die Formel gilt nicht für eine experimentell vorgegebene Ortsunschärfe; letztere muss aus der Wellenfunktion berechnet werden. Z.B. wird die berechnete Unschärfe für das Atom tatsächlich in der Größenordnung des Atomradius liegen; aber die Berechnung selbst ist mathematisch exakt, während die Angabe des Radius, Durchmessers o.ä. nur eine Schätzung ist.
Kennt ihr die Idee der Wellenfunktion schon?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 19. Okt 2014 12:29 Titel: |
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Das sind alles nur heuristische Abschätzungen, die bestenfalls bis die Größenordnung liefern.
Man kann z.B. davon ausgehen, daß beim Durchfliegen des Spalts ein Zustand präpariert wird, in dem die Aufenthaltswahrscheinlichkeit nur auf der Breite der Öffnung wesentlich von null verschieden ist. Wie groß die Unschärfe genau ist, hängt aber von der Aufenthaltswahrscheinlichkeit innerhalb des Spaltes in diesem Zustand ab. Wenn sie näherungsweise konstant ist, wäre z.B.
| Zitat: |
Man findet aber beide Varianten, die übrigens zu unterschiedlichen
Ergebnissen für die Impulsunschärfe führen.
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Die Unschärferelation liefert in jedem Fall zu gegebener Ortsunschärfe nur eine Untergrenze der Impulsunschärfe. Das Gleichheitszeichen in der HUR liefert die größte dieser unteren Grenzen. Man kann sich relativ leicht klar machen, daß zu gegebener Ortsunschärfe , die Wellenfunktion mit der geringsten Impulsunschärfe  \propto e^{-\frac{x^2}{4 \Delta x^2}}) ist. Das liefert allerdings immer noch nicht ohne weiteres einen Zusammenhang zur Spaltbreite B. Hierfür müßte man z.B. vorgeben, wie schnell die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte innerhalb der Blende abklingt oder etwas in der Art.
Dasselbe gilt für das Elektron im Atom. Die Ortsunschärfe ist eine Eigenschaft des Zustands. Im H-Grundzustand entspricht sie z.B. dem  -fachen des Bohrschen Radius. Sie ist allerdings in keinem der Elektronenzustände des Atoms minimal, d.h. man kann die zugehörige Impulsunschärfe nicht nach der Formel
berechnen. (Man weiß nur, daß sie größer sein muß.) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 19. Okt 2014 12:37 Titel: |
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Stimmt alles, aber ...
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | ... letztere [die Ortsunschärfe] muss aus der Wellenfunktion berechnet werden. |
Das gilt sowohl für Orts- als auch die Impulsunschärfe. Beide sind bei bekannter Wellenfunktion exakt berechenbar. D.h. auch das Produkt ist exakt berechenbar.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 19. Okt 2014 12:46 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Stimmt alles, aber ...
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | ... letztere [die Ortsunschärfe] muss aus der Wellenfunktion berechnet werden. |
Das gilt sowohl für Orts- als auch die Impulsunschärfe. Beide sind bei bekannter Wellenfunktion exakt berechenbar. D.h. auch das Produkt ist exakt berechenbar. |
Klar, ich wollte auch nichts anderes behauptet haben. Was ich sagen wollte ist, daß die Formel
nur exakt ist, wenn es sich um Zustände minimaler Unschärfe handelt, also wenn die Wellenfunktion  \propto \exp(-x^2/4\Delta x^2)) ist. In allen anderen Fällen, insbesondere für Elektronenzustände im Atom liefert sie bestenfalls eine Abschätzung der Größenordnung. Wenn man es genauer wissen will, muß man beide Unschärfen aus der Wellenfunktion berechnen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 19. Okt 2014 12:55 Titel: |
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Da sind wir uns einig.
Mein Beitrag war eher als ergänzende Bemerkung gemeint. Sorry, wenn das missverständlich war.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 19. Okt 2014 13:46 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Da sind wir uns einig.
Mein Beitrag war eher als ergänzende Bemerkung gemeint. Sorry, wenn das missverständlich war. |
Wieso, ist doch in Ordnung. Ich wollte auch nur nochmal sichergehen, keine Mißverständnisse verursacht zu haben. |
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Herr Kleinlaut
Anmeldungsdatum: 30.07.2012
Beiträge: 7
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| Herr Kleinlaut Verfasst am: 26. Okt 2014 16:20 Titel: |
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Sorry, dass ich mich als Fragesteller erst so spät zurückmelde!
Vielen Dank für eure schnellen und ausführlichen Antworten, aus denen allerdings deutlich wird, dass in der Schulphysik z.T. nur sehr überblicksartig und vereinfachend gerechnet wird.
Die Wellenfunktion kommt im Unterricht eher nur als Begrifflichkeit vor.
Sie wird eingeführt bei der Besprechung von Interferenz-Phänomenen von Elektronen oder anderen Quanten und immer mal wieder "hervorgeholt", wenn es für eine Erklärung notwendig erscheint. (Andeutung der Schrödingergleichung, Berechnung von Orbitalen, ...)
Ein echtes, systematisches Rechnen mit der Wellenfunktion findet nicht statt. (Leider bzw. Gottseidank  ) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 28. Okt 2014 08:29 Titel: |
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Wenn ihr Wellenfunktion als Konzept einführt, interpretiert und versteht, dann ist das schon ein wichtiger Schritt. Die Wellenfunktion ist die vollständige Beschreibung eines Quantensystems, d.h. alles physikalisch relevanten Größen sowie die Zeitentwicklung des Systems lassen sich exakt aus der Wellenfunktion berechnen, z.B. Ort und Impuls bzw. deren Erwartungswerte und Unschärfen, Energie, ... im höherdimensionalen Fall Drehimpulse etc. Nur leider ist das Rechnen mit den Wellenfunktionen i.A. ziemlich kompliziert; zur Bestimmung der Wellenfunktion musst du eine Differentialgleichung lösen, zur Berechnung der o.g. Erwartungswerte und Unschärfen Integrale.
Frage: wie wurde denn das Konzept des Orbitals erklärt?
Schau' mal hier: http://www.physikerboard.de/forum,13,-faq.html
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