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erik123
Anmeldungsdatum: 24.01.2009
Beiträge: 1
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 erik123 Verfasst am: 24. Jan 2009 20:56 Titel: Lorentzkraft und Heisenbergsche Bewegungsgleichung |
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hallo. folgendes problem:
 )
Hierbei ist H der Hamiltonoperator eines Elektron im Magnetfeld und Pi der dynamische Impuls. Klar, hier sollte als Ergebnis die Lorentzkraft rauskommen, so wie sie dort steht. Allerdings habe ich Probleme auf dieses Ergebnis zu kommen. Zumal ich nicht genau weiß, wie ich diesen Ausdruck auf der rechten Seite verstehen soll. Rechts sollten doch auch Operatoren stehen. Klar, A ist eine Funktion des Ortsoperators. Aber was ist j ??? j sollte die Stromdichte sein. Nicht wahr ??? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 20. März 2009 20:58 Titel: |
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Unter dem rechten Term kann ich mir nichts vorstellen. Probier doch mal folgendes:
^2)
Den Kommutator berechnest du dann gemäß
(Kettenregel bei der Anwendung des Nabla-Operators beachten!) |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 21. März 2009 06:37 Titel: |
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Mit dem kanonischen Ansatz von @TomS bist du natürlich gut beraten, selbst wenn seine scheinbar verwendete Operatorbeziehung
nicht ganz richtig ist - oder? Es müsste doch heissen
Er verwendet beim Hinschreiben offenbar schon die Tatsache, dass A mit H vertauscht.
Eine Möglichkeit ist auch:
und daraus
 \cdot [\dot x_i \dot x_i \, , \, \dot x_k] )
Wenn du nun noch weisst was
ergibt (die Geschwindigkeiten vertauschen ja nicht), bist du nach ein paar Umformungen am Ziel.
PS:
"Natürlich" ist die Stromdichte
definiert wie immer.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 21. März 2009 08:16 Titel: |
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Hallo,
nein, ich verwende nicht die Tatsache, dass  mit  vertauscht - das tut es nämlich nicht :-)
Ich bin von der Angabe ausgegangen, dass es sich bei  um den "dynamischen" Impuls handelt, das haben ich als  interpretiert.
Was zu meinst ist der kanonische Impuls. Evtl. sind die Bezeichnungen unglücklich und man sollte  und umgekehrt benennen. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 21. März 2009 09:06 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich bin von der Angabe ausgegangen, dass es sich bei um den "dynamischen" Impuls handelt, das haben ich als |
Ja, aber dann ist erst recht nicht
wenn du mit den dynamischen Impuls meinst. Genau das hat mich nämlich verwirrt.
In anderen Worten: der kanonische Impuls ist der Nabla Operator, nicht der dynamische. Der Verfasser meint mit jedenfalls den dynamischen Impuls - und da stimmt nun was nicht...
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 21. März 2009 09:53 Titel: |
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Jetzt bin ich auch verwirrt. Man müsste das ganze doch aus der Lagrangefunktion eines Teilchens im el.-mag Feld ableiten können, oder?
Ich mach das mal. |
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 21. März 2009 18:34 Titel: |
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Ich fasse mal meine Rechnung kurz zusammen. Um Verwirrung vorzubeugen, definiere ich zunächst
Die kanonischen Vertauschungsrelationen gelten für Ort und kanonischen Impuls. D.h. dass der kanonische bzw. der kinetische Impuls (da hatte ich wohl unrecht) dargestellt werden kann als
Für den kinetischen Impuls gelten jedoch andere Vertauschungsrelationen. Insbs. erhält man
)
Alle anderen Kommutatoren fallen weg.
Den letzten Term kann man umschreiben zu
wobei man die Definition des B-Feldes als Rotation des A-Feldes verwendet.
Nun betrachtet man den Hamiltonoperator
^2)
Zur Berechnung der Beschleunigung schreibt man
Zur Berechnung des letzten Terms benutzt man die Indexschreibweise, also
Nun setzt man das o.g. Ergebnis für den Kommutator ein und findet
)
Das ist aber die Komponentendarstellung von
)
Damit hat man rechts die gewünschte Form der Lorentzkraft für die Operatoren bestätigt.
Du kannst nun mit deiner Notation vergleichen.
Die Definition für j ergibt sich über die Geschwindigkeit. Ich halte dies jedoch für ungeschickt, da mit j auch die Wahrscheinlichkeitsstromdichte beeichnet wird, und die ist völlig anders definiert.
Anstelle von A habe ich mit B gerechnet, aber das ist natürlich äquivalent.
Die Ortsdarstellung des Impulsoperators benötige ich nur einmal, um den Kommutator mit A zu berechnen.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 21. März 2009 21:37, insgesamt einmal bearbeitet |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 21. März 2009 19:02 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Das ist aber die Komponentendarstellung von
)
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Irgend eine Kleinigkeit stimmt hier noch nicht, da der Klammerausdruck Null ist: AxB = - BxA. Viel kann es aber nicht sein. Irgendwo muss wohl ein Vorzeichen verlorengegangen sein.
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TomS
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| TomS Verfasst am: 21. März 2009 21:37 Titel: |
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Stimmt! Ich hab das Minus vor dem ersten B korrigiert.
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| bottom Verfasst am: 21. März 2009 23:48 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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kann man das nicht noch weiter zusammenfassen zu
) |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 22. März 2009 07:47 Titel: |
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ja, das war ja der Zweck der Übung.
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TomS
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| TomS Verfasst am: 22. März 2009 09:09 Titel: |
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Nein, kann man so nicht zusammenfassen, da  eigentlich ein Operator ist, in dem  drinsteckt.
D.h. zum Einen muss man berüksichtigen, dass der Nablaoperator sowohl auf B als auch auf die Wellenfunktion wirkt; zum Anderen muss man, wenn man so zusammenfassen möchte, durch  durchtauschen; dabei entsteht ein Kommutator (so wie oben bei der Rechnung mit , in dem wohl ein Term  auftritt.
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| bottom Verfasst am: 22. März 2009 11:35 Titel: |
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ok, thx |
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 22. März 2009 16:06 Titel: |
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Zur Erläuterung: derartige "symmetrisierte" Formen findet man häufig in der QM. Hintergrund ist, dass man dem Operator sofort ansieht, dass er selbstadjungiert ist.
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 22. März 2009 18:07 Titel: |
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Diese symmetrische Form verwirrt mich einigermassen.
Ich kann zwar rechnerisch nachvollziehen, dass B und v nicht vertauschen, sehe aber aus physikalischer Sicht nicht ein, weshalb dies so sein sollte.
X und Y nicht vertauschbar heisst doch, dass man keine gemeinsamen Eigenfunktionen von X und Y finden kann.
Nun kann ich doch eine scharfe Geschwindigkeitsmessung am Teilchen machen. Was hindert mich nun daran, auch das B gleichzeitig scharf zu messen? Das B ist ja von aussen vorgegeben.
Oder hat es damit zu tun, dass durch die Geschwindigkeitsmessung der Ort des Teilchens völlig undefiniert ist, und damit auch der Ort, an dem ich das B messe? Das würde ja erklären, weshalb der Kommutator [B, v] für homogene B-Felder verschwindet - denn dann wäre es egal, an welchem Ort ich das B messe.
Was sagt mir eine solche symmetrisierte Form aus? Seltsamerweise habe ich in einem QM Buch, auf das ich bisher viel gehalten habe, eine nicht symmetrisierte Version der Lorentzkraft gefunden (was mich zu meiner voreiligen Aussage hingerissen hat...). Die Herleitung ist ganz ähnlich wie oben, jedoch kommt am Ende etwas raus, wo nur vxB steht. Ist es üblich, diese Symmetrisierung "kurz" anzuschreiben, oder sollte ich "Schwabl - Quantenmechanik" in die Rundablage versenken?
Bin nun total verwirrt und nicht im Bilde...
Bitte um Aufklärung - Danke!
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 22. März 2009 18:58 Titel: |
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| Zitat: | | ... dass durch die Geschwindigkeitsmessung der Ort des Teilchens völlig undefiniert ist, und damit auch der Ort, an dem ich das B messe |
Genau das ist der Grund!
| Zitat: | | ... der Kommutator [B, v] für homogene B-Felder verschwindet - denn dann wäre es egal, an welchem Ort ich das B messe |
In diesem Fall wird der Kommutator auf eine Term der Form  führen; dieser Term ist aber für homogene Magnetfelder identisch Null.
Außerdem gilt gemäß der Maxwellgleichungen
Die rechte Seite verschwindet, wenn nur ein zeitlich konstantes elektrisches Feld vorliegt und wenn der elektrische Strom verschwindet.
Ich habe den Schwabl selbst nicht daheim; trotzdem: nicht wegwerfen, sondern nochmal nachsehen, ob da eine zusätzliche Argumentation versteckt ist.
Eine Kurzschreibweise für diese symmetrisierte Form lautet oft
 + (\dots)^\dagger = (\dots) + h.c.)
Dabei steht  für hermitesch konjugiert, so dass insgs. wieder ein hermitescher = selbstadjungierter Operator entsteht.
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 22. März 2009 20:53 Titel: |
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Leider hab ich den Schwabl im Büro - ich schau morgen mal nach. Mir ist diese Symmetrierung schon mal in der QED begegnet. Da wurde ein Ausdruck ellenlang hergeleitet. Und als alles fertig dortstand, wurde gesagt, dass man noch einen h.c. Teil dazu geben muss, um physikalisch sinnvolle Resultate zu erhalten. Fand ich sehr motivierend... Naja, muss ich mir nochmal anschauen...
Ich habe den Verdacht, dass der Schwabl von einem konstanten Feld ausgegangen ist. Oder (ich hab es noch nicht nachgerechnet) wenn der Kommutator tatsächlich auf rot B führt, dann ist dieser Ausdruck für statische Felder, die durch Spulen erzeugt werden sowieso immer Null. Möglicherweise ist das die implizite Annahme...
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