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Quetzalcoatl
Anmeldungsdatum: 16.09.2014
Beiträge: 29
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 Quetzalcoatl Verfasst am: 18. Sep 2014 10:31 Titel: Radiales G-Feld, Zeitspanne für die Strecke s |
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Hey Leute:
Ich habe ein Problem, das mich schon seit einiger Zeit beschäftigt.
Und zwar geht es um folgendes:
Man hat einen Stein, den man aus einer bestimmten Höhe h herunterfallen lässt.
Wie ihr ja wisst, ist ja das Gravitationsfeld der Erde nicht homogen sondern radialsymmetrisch. (Ja ich will es jetzt ganz exakt ermittelt haben, und nicht die Näherung, dass bis zu einer bestimmten Höhe, am Beispiel der Erde, g = 9,81 m/s² ist.)
Also das Problem ist ja, dass man mit jeden infinitesimal kleinen Stück, mit welchem der Abstand r der beiden Massenschwerpunkte kleiner wird, ja die Beschleunigung größer wird. Dadurch wird ja auch die Geschwindigkeit größer.
Wenn man jetzt aber die Zeit ermitteln will, wie lange es unter diesen Bedingungen allgemein dauert, bis man am Boden angekommen ist.
Das mit der Geschwindigkeit v(h) ist ja noch recht logisch, da ja die Potentialdifferenz gleich der kinetischen Energie ist.
Bei der Strecke geht es halt nicht mehr so einfach, weil man halt zwei Variablen gleichzeitig behandeln muss, nämlich r und t. (Denn mit jeder infinitesimal kleinen Zeit hat man ja wieder r um ein unendlich kleines Stück verkleinert.)
An der Verkleinerung von r sieht man ja auch, dass r nicht konstant abnimmt, denn, wie oben schon beschrieben, wird die Beschleunigung immer größer, aber aufgrund des inversen-Quadratgesetzes nicht linear.
Also wie kann man es in eine allgemeine Formel fassen?
Quetzalcoatl |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 18. Sep 2014 10:48 Titel: |
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Von Integralen oder Differentialgleichungen hast Du schonmal gehört? Du kannst ältere Themen mit ähnlicher Fragestellung überfliegen (mit "Fall aus großer Höhe" oben), wobei die Luftreibung üblicherweise ausgeblendet wird. |
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Quetzalcoatl
Anmeldungsdatum: 16.09.2014
Beiträge: 29
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| Quetzalcoatl Verfasst am: 18. Sep 2014 12:50 Titel: |
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@franz: Ich hab zwei Semester Physikstudium hinter mir! Ja ich habe schon davon gehört!
Nur wenn du meine Frage etwas genauer durchgelesen hättest, wüsstest du, was mein eigentliches Problem ist, danke!  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 18. Sep 2014 13:27 Titel: |
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1. Energieerhaltung für Starthöhe und beliebige Höhe hinschreiben.
2. Nach Geschwindigkeit bei beliebiger Höhe auflösen.
3. Seperation der Variablen -> Integrieren
=> Ergebnis in der Form t-t0 = f(r,r0) |
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Quetzalcoatl
Anmeldungsdatum: 16.09.2014
Beiträge: 29
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| Quetzalcoatl Verfasst am: 18. Sep 2014 16:17 Titel: |
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@jh8979: Du hast ja eben keine Konstante Energie! Das ist ja eben das Problem! Denn die Potetielle Energie nimmt ja nach unten hin zu! (GMm/r = E_pot(r))
Das ist ja eben das Problem! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 18. Sep 2014 16:31 Titel: |
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Sofern keine Reibung wirkt (ich hätte erwähnen sollen, dass ich das annehme), ist die Gesamtenergie erhalten. Die potentielle alleine natürlich nicht.
PS: Die potentielle Energie nimmt nach unten hin ab! Sonst würden Gegenstände ja nicht nach unten fallen, sondern nach oben fliegen. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 18. Sep 2014 16:33 Titel: |
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Natürliche hat man eine konstante Gesamtenergie. Potentielle Energie und kinetische Energie ändern sich, aber ihre Summe bleibt erhalten. Das solltest du eigentlich wissen.
Hier findest du eine recht ausführliche Lösung der Differentialgleichung:
http://www.physikerboard.de/htopic,31241,.html |
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Quetzalcoatl
Anmeldungsdatum: 16.09.2014
Beiträge: 29
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| Quetzalcoatl Verfasst am: 20. Sep 2014 18:59 Titel: |
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@Huggy: Nein hast du ja eben nicht! Die Potentielle Energie nimmt nach unten hin zu! Das ist es ja eben! (E_pot(r) = GMm/r)
Sonst wäre die Aufgabe natürlich ziemlich leicht, aber du hast eben keine konstante Energiemenge in deinem System, denn je näher der Stein dem Boden, also dem Massenmittelpunkt der großen Masse kommt, desto mehr Energie kommt in das System, weil ja dein Abstand r kleiner wird (siehe Formel). |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 20. Sep 2014 19:02 Titel: |
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=-\frac{GMm}{r}) Mit üblichen =0)
In welchem Studienjahr kommt der Energiesatz heuzutage?  |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Sep 2014 19:26 Titel: |
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| Quetzalcoatl hat Folgendes geschrieben: | | @Huggy: Nein hast du ja eben nicht! Die Potentielle Energie nimmt nach unten hin zu! |
Sie nimmt ab. Die kinetische Energie nimmt zu. Die Summe ist erhalten. Damit (plus Drehimpulserhaltung) löst du praktisch das gesamte Keplerproblem. Der senkrechte Fall ist nur ein Spezialfall davon. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 20. Sep 2014 20:38 Titel: |
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Quetzalcoatl, v(s) kann man also aufgrund der Energieerhaltung bestimmen:
)
dann ist
)
und
)
Das hat jh8979 oben gemeint (nur falls es nicht klar war: es ist die allgemeine "Formel" die du suchst)
Der Energiesatz selbst wiederum ist natürlich nur eine einfache Konsequenz aus dem dynamischen Grundgesetz und keine mystische Beilage:
 \dd t = g(s) \dd s / v)
bzw. integriert
 \dd s)
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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Quetzalcoatl
Anmeldungsdatum: 16.09.2014
Beiträge: 29
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| Quetzalcoatl Verfasst am: 21. Sep 2014 09:46 Titel: |
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@schnudl: Aber ich suche ja eben nicht v(s) sondern s(t)! Wie man die geschwindigkeit errechnet ist mir schon klar!
Aber trotzdem danke für deine Antwort! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 21. Sep 2014 10:04 Titel: |
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| Quetzalcoatl hat Folgendes geschrieben: | @schnudl: Aber ich suche ja eben nicht v(s) sondern s(t)! Wie man die geschwindigkeit errechnet ist mir schon klar!
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Und was ist dir nicht klar? Daß man das Problem im Prinzip mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes lösen kann, der entgegen deiner Behauptung hier selbstverständlich gilt. Oder wie man die dabei auftretenden Integrale berechnet? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 21. Sep 2014 10:11 Titel: |
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| Quetzalcoatl hat Folgendes geschrieben: | | @schnudl: Aber ich suche ja eben nicht v(s) sondern s(t)! Wie man die geschwindigkeit errechnet ist mir schon klar! |
v(s) als notwendige Zwischenrelation dient eben dazu, s(t) oder t(s) (beides ist ja letztlich das gleiche) zu bestimmen:
 = \int_0^s \frac{\dd s'}{v(s')})
Und genau das hab ich oben geschrieben...Sorry, wenn ich dich verwirrt habe.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18111
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| TomS Verfasst am: 21. Sep 2014 10:22 Titel: |
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| Quetzalcoatl hat Folgendes geschrieben: | | @schnudl: Aber ich suche ja eben nicht v(s) sondern s(t)! Wie man die geschwindigkeit errechnet ist mir schon klar! |
Nachdem, was du bisher geschrieben hast, ist uns das hier nicht so klar.
Es gilt
Diese DGL in v = dr/dt kannst du mittels Trennung der Variablen für gegebenes E lösen. Letzteres bestimmst du aus den Anfangsbedingungen.
Die Zeit berechnest du wie folgt:
 = \int_0^T dt = \int_{r_0}^{r} \frac{dr}{v(r)})
Dabei wurde im Integral wieder v dt = dr substituiert. Du musst also r(t) selbst gar nicht explizit kennen.
)
bestimmst du durch Auflösen der o.g. Gleichung für E, wobei E bzw. r_0 als Parameter auftaucht.
Das alles haben meine Vorredner auch schon geschrieben. Jetzt ist's an dir, mal einen Ansatz zu versuchen ...
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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