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Nachricht |
Hoatzin
Gast
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 Hoatzin Verfasst am: 11. Jul 2014 19:50 Titel: Mathematischer Pendel und konservative Kraft |
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Meine Frage:
Hallo! Ich hoffe, ihr könnt mir bei der Aufgabe helfen:
Man zeige, dass die beschleunigende Kraft F= m*g*sin(a)*êt beim mathematischen Pendel konvervativ ist und dass für jede beliebige Auslenkung a gilt: E(kin)+E(p)=const.
Ich verstehe da etwas bei den Lösungen nicht. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen:
Laut Lösung ist E(kin) = m*v²/2 = m*L²*d(a²)/2
Die Bewegungsgleichung ist: m*L*d²(a)= -m*g*sin(a)
Was ich nun nicht verstehe: Als nächster Schritt wird in der Lösung die Bewegungsgleichung mit L*d(a) multipliziert, und das ergibt:
d\frac{\frac{mL²da²}{2} }{dt} = d \frac{mgLcos(a)}{dt}
Meine Ideen:
Kann mir jemand erklären, wie ich das genau rechne? Ich weiß nicht, was für Rechenoperationen dahinterstecken. Ich habe ziemliche Lücken in Mathematik.
Und was bewirkt, wenn ich die Bewegungsgleichung mit L*d(a)multipliziere, dass dann Ekin abgeleitet wird? Wie kann eine Multiplikation zu einer Ableitung führen?
Ansonsten verstehe ich im großen und ganzen die Grundgedanken der Schritte. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 11. Jul 2014 19:59 Titel: |
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Deine Gleichungen sind unheimlich schwer zu lesen.. ich hab gerade 5min gebraucht bis ich verstanden hab, dass d(a) die Ableitung von a sein soll...
--> Latex-Umgebung benutzen
| Code: |
[latex] \frac{d}{dt} ... [/latex]
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Ansonsten ist die letzte Zeile nach der Du fragst gerade
(was nicht richtig ist, da fehlt ein Minuszeichen).
Vergleich mal hiermit. Vielleicht hilft das schon:
http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel#Erhaltungss.C3.A4tze |
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Hoatzin
Gast
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| Hoatzin Verfasst am: 13. Jul 2014 07:40 Titel: |
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Tut mir leid, dass es so umständlich geschrieben war und danke für die Zeit, die du dir genommen hast. Leider konnte ich meinen Beitrag nicht mehr editieren.
Danke, mir hat der Link geholfen. Was ich nur noch nicht verstehe: Eigentlich ist die Ableitung doch  }{dt} = -mL²{\dot{\varphi }\ddot{\varphi } } ) oder? Was habe ich falsch gemacht, bzw. nicht verstanden? Wieso wird in Wikipedia und in meinem Buch der Minus weggelassen? |
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 13. Jul 2014 09:07 Titel: |
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| Hoatzin hat Folgendes geschrieben: | | Wieso wird in Wikipedia und in meinem Buch der Minus weggelassen? |
Die Frage ist vielmehr: wie kommst du auf ein Minuszeichen? |
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Hoatzin
Gast
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| Hoatzin Verfasst am: 13. Jul 2014 10:27 Titel: |
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Oh ok, ich sehe schon, wo der Fehler ist. Ich habe  geschrieben und nach t abgeleitet. Richtig wäre  oder? |
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 13. Jul 2014 10:47 Titel: |
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Mit der von dir verwendeten Schreibweise bin ich nicht vertraut.
So etwas habe ich noch nie gesehen. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 13. Jul 2014 10:47 Titel: |
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Bei mir hakt leider schon die Beschreibung der rücktreibenden Kraft (Vorzeichen beziehungsweise Richtung?); dann würde mich Dein Verständnis von konservativen Kräften interessieren. |
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Hoatzin
Gast
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| Hoatzin Verfasst am: 13. Jul 2014 12:57 Titel: |
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Ich habe es mit der Leibnizschen Schreibweise versucht. Ich kann mit  und  nichts anfangen. Was setze ich da ein? |
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Hoatzin
Gast
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| Hoatzin Verfasst am: 13. Jul 2014 13:18 Titel: |
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Ich kann konservative Kraftfelder nicht so gut beschreiben. Wenn man in einem konservativen Kraftfeld ein Wegstück geht, dann entsteht dadurch Arbeit. Und wenn du diesen Wegstück wieder zurückgehst, dann ist deine Energie wieder dieselbe. Du kannst eigentlich jeden Weg einschlagen, hauptsache ist, dass du dann zu diesem einen ursprünglichen Punkt zurückkommst. Das ist das Merkmal eines konservativen Kraftfeldes. Der Weg, den du bis zu einem Punkt eingelegt hast, ist egal, wichtig ist nur, an welchem Punkt du jetzt stehst.
Beim mathematischen Pendel stellt die potentielle Energie des Pendels beim Auslenken die gesamte Energie dar. Beim tiefsten Punkt ist die potentielle Energie komplett zu der kinetischen Energie übergegangen und diese kinetische Energie gibt dem Pendel genau die Arbeit, die gebraucht wird, um den Pendel gegen die Schwerkraft wieder hochzuheben, so dass die kinetische Energie wieder komplett in die potentielle übergeht. Das alles ist möglich, weil bei dem mathematischen Pendel alles andere, was Arbeit nehmen würde, weggelassen wird, z.B. die Reibung. Wenn keine Reibung da wäre, würde ein Pendel ewig weiterpendeln. |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 13. Jul 2014 18:48 Titel: |
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| Hoatzin hat Folgendes geschrieben: | | Oh ok, ich sehe schon, wo der Fehler ist. Ich habe geschrieben und nach t abgeleitet. Richtig wäre oder? |
Ich denke, jumi wollte damit eher zum Ausdruck bringen, dass das ziemlicher Müll ist...
Du weißt, dass:
 = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\varphi(t) = \omega(t))
ist, richtig?
Jetzt steht da:
}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\varphi(t)\right)^2)
Da brauchst Du entweder die Produkt-Regel:
 \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\varphi(t)\right) = \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d^2t}\varphi(t)\cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\varphi(t) + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\varphi(t) \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d^2t}\varphi(t))
Oder die Kettenregel, die hier noch einfacher zum Ziel führt.
In beiden Regeln kann ich nicht erkennen, wie Du zu einem Minus kommen willst...
Gruß
Marco |
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 13. Jul 2014 20:42 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: |  \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d^2t}\varphi(t)) |
???
Scheint kein Tippfehler zu sein. Hoatzin schreibt es ja ebenfalls.
Mir ist dies jedenfalls noch nie zu Gesicht gekommen!
Vielleicht:
 \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\varphi(t)) |
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Hoatzin
Gast
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| Hoatzin Verfasst am: 15. Jul 2014 08:32 Titel: |
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Okay, jetzt verstehe ich es. Danke für eure Antworten  . |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 15. Jul 2014 09:45 Titel: |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: | | as_string hat Folgendes geschrieben: | |
???
Scheint kein Tippfehler zu sein. Hoatzin schreibt es ja ebenfalls.
Mir ist dies jedenfalls noch nie zu Gesicht gekommen!
Vielleicht:
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Ja, natürlich ein Tippfehler, bzw. mit Copy&Paste sollte man vielleicht schon umgehen können.
Gruß
Marco |
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