Symmetrie der Wellenfunktion?

Felix93 · Anmeldungsdatum: 27.05.2014 Beiträge: 21

Hi,

Folgende Aussage habe ich gelesen:
Da H spiegelsymmetrisch ist, muss auch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit spiegelsymmetrisch sein, also |ψ|^2 symmetrisch, also ψ(x) gerade oder ungerade Funktion.

Ansicht ist mir das schon klar. Meine Frage ist jedoch:

Gilt dies auch für Punktsymmetrie? Also wenn H punktsymmetrisch, dann gilt dies auch für |ψ|^2 und damit ist dann ψ(x) auf jeden Fall ungerade?

Gilt dies auch für keine Symmetrie? Also wenn H nicht-symmetrisch, dann gilt dies auch für |ψ|^2. Was gilt dann im nicht-symmetrischen Fall aber für ψ(x)?

Grüße
Felix

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Ja, eine Symmetrie des Hamiltonoperators führt zu einer Symmetrie der Wellenfunktion.

Umgekehrt, zeigen Lösungen eines Problems in der Regel keine Symmetrie, wenn es das Problem selber nicht auch zeigt.

PS: Es gibt sicher Gegenbeispiele (zumindest zur zweiten Behauptung), aber das sind dann Zufälle oder speziell gewählte Bedingungen. Der Regelfall ist, dass Symmetrien miteinander korrespondieren.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18021

Ergänzend sollte man evtl. noch einige Dinge hinzufügen:

Wenn H eine Symmetrie aufweist, dann bedeutet dies, dass ein unitärer Operator U existiert, der H invariant lässt, d.h.

Ein unitärer Operator U kann immer mittels eines selbstadjungierten Operators A geschrieben werden als

Falls es sich um eine kontinuierliche Symmetrie handelt (Beispiel: Translation, Rotation), dann schreibt man dies häufig als

wobei theta für einen (oder mehrere) reelle Parameter steht. Der selbstadjungierte Operator G wird als Generator der Symmetrie bezeichnet (Beispiel: Translation – Impuls p, Rotation – Drehimpuls J). Aus der Invarianz von H bzgl. U folgt auch das Vertauschen von H mit G, d.h.

Unter Verwendung der Heisenbergschen Bewegungsgleichungen folgt, dass G eine Erhaltungsgröße ist; u.u. folgt aus der Existenz einer Erhaltungsgröße G eine Symmetrie U (das ist sozusagen die quantenmechanische Version des Noether-Theorems).

Bei Vorliegen einer Symmetrie kann man die Eigenzustände von H entsprechend der Darstellungen der Symmetrie U klassifizieren. D.h. die gemeinsamen Eigenzustände von H und G haben ein definiertes Transformationsverhalten bzgl. U.

PS: Natürlich bedeutet dies nicht, dass nur diese speziellen Zustände realisiert sein können. Es sind weiterhin beliebige Superpositionen möglich, allerdings lassen sich diese eben im o.g. Sinne nach gemeinsamen Eigenzuständen von H und G zerlegen.

Felix93 · Anmeldungsdatum: 27.05.2014 Beiträge: 21

Vielen Dank für eure Antworten. Jetzt ist es klar.