Probleme bei Berechnung der Planetenbahnen

Ric · Anmeldungsdatum: 03.02.2005 Beiträge: 182

Folgende Formeln gelten für den zurückgelegten Weg eines Körpers im Gravitationsfeld, zerlegt in die einzelnen Komponenten (zweidimensional):

Die zugehörigen Geschwindigkeitskomponenten berechnen sich laut Metzler Physik (S. 93) wie folgt:

Wie kann es sein, dass beides gilt, wenn im ersten Fall eine konstante Geschwindigkeit vorliegt, im zweiten Fall allerdings von einer Beschleunigung die Rede ist?

Es ist sehr wichtig, muss zu morgen fertig sein.

EDITed by dachdecker2: ich war mal so frei, das "[dringend!]" aus dem Titel zu entfernen.

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Okay - erstmal: schön dass das dringend hinten im Titel steht, ganz weglassen wäre aber auch nicht schlecht. Augenzwinkern

Zu deinem Problem: Was heißt im ersten Fall und im zweiten Fall? Die oberen beiden Ausdrücke beschreiben rekursiv den Ort des Planeten in Abhängigkeit von Zeit und Geschwindigkeit. Die unteren beiden beschreiben rekursiv die Geschwindigkeitskomponenten des Planeten in Abhängigkeit von der Zeit und der Beschleunigung. Du näherst also die Bewegung an, indem du immer für einen Zeitabschnitt Delta t die Beschleunigung als konstant annimmst, die damit verbundene Geschwindigkeitsänderung berechnest und dann die Wegänderung für den Zeitabschnitt Delta t ausrechnest.

Oder was war jetzt deine Frage? grübelnd

Ric · Anmeldungsdatum: 03.02.2005 Beiträge: 182

Erster Fall bezieh sich auf x(t), letzterer auf v(t).

Tut mir leid, aber ich verstehe deine Ausführungen leider nicht.

Was nähert sich an wen/was an? Ist die (Tangential-)Beschleunigung nicht immer konstant (a=0)?

Bitte erläutere mir deine Gedanken etwas ausführlicher. Hilfe

Ich bin nur ein ahnungsloser Schüler Augenzwinkern

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as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Ich weiß nicht, ob die Formeln überhaupt die sind, die Du verwenden möchtest, aber hier nochmal was die bedeuten:
Wenn Du z. B. ein Simulationsprog auf einem Computer machen möchtest kannst Du so vorgehen:
Du hast eine bestimmte Position und Geschwindigkeit für jeden zu simulierenden Körper gegeben, und Kräfte zwischen den Körpern definiert (z. B. Gravitationskraft).
Jetzt kannst Du aus der Kraft, die auf einen einzelnen Körper wirkt (in Abhängigkeit seiner Position im Verhältnis zu den anderen Körpern), die Beschleunigung ausrechnen für diesen Körper. Daraus kannst Du eine Geschwindigkeitsänderung in einem Zeitintervall ausrechnen, das klein sein sollte. Dabei nimmst Du an, dass die Beschl. für dieses Intervall konstant ist, was aber im Grenzfall delta t gegen 0 (kleines Zeitintervall) auch richtig ist.
Danach machst Du das selbe für den Ort. Du nimmst an, dass Deine neue Geschwindigkeit für das Zeitintervall konstant ist und rechnest damit die Änderung in den Koordinaten aus. Jetzt hast Wenn Du das mit allen Körpern gemacht hast, hast Du eine neue Position der Körper zueinander und kannst wieder die Kräfte ausrechnen. Damit beginnt das Spiel dann wieder von neuem.

Hilft Dir die Erklärung vielleicht?

Gruß
Marco.

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Bei einer Kreisbahn ist die Tangentialbeschleunigung immer 0, richtig. Da du hier aber in karthesischen Koordinaten (x,y) rechnest macht sich das nicht weiter bemerkbar oder nützlich.

Wie im Metzler steht, ist "der Grundgedanke eines solchen Verfahrens [...] dass man den Ort des Planeten [...] nach den Gesetzen der gleichförmigen Bewegung [...] näherungsweise berechnet". Das heißt obwohl der Körper sich die ganze Zeit verschiedenartig beschleunigt bewegt, nimmt man an, dass er sich immer für einen (kleinen) Zeitintervall mit der gleichen Beschleunigung bewegt. (Obwohl man ja das Dilemma hat, dass die Beschleunigung ortsabhängig und der Ort beschleunigungsabhängig ist.)

Ich mache es mal 1-dimensional, bei 2D überlappt sich ja alles ungestört.

Wenn sich ein Körper zum Zeitpunkt t mit der Anfangsgeschwindigkeit v(t) die Zeit Delta t mit der Beschleunigung a(t) bewegt, ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit:

Das ist genau die Geschwindigkeit, die der Körper nach den Gesetzen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung nach der Zeit Delta t / 2, also in der Mitte eines gewählten Intervalls hat. Daher gilt für den Weg nach Ende des Intervalls:

Da die Beschleunigung aber ortsabhängig ist, muss man diese auch noch berechnen. Dafür nimmt man genähert die Beschleunigung, die in der Mitte des Intervalls liegt. Die Geschwindigkeitsänderung im Zeitraum Delta t bei konstant angenommener Beschleunigung von a(t) ist dann:

Wegen der Mitte des Intervalls ergibt sich dann für die Geschwindigkeit:

Das Prinzip des Kleinschrittverfahrens ist also, dass man immer annimmt, dass sich der Körper auf ganz kleinen Schritten mit konstanter Beschleunigung bewegt. Man berechnet also zunächst für den Ort x eine Beschleunigung, nimmt diese dann als konstant an und schaut wo sich der Körper zur Zeit Delta t später befindet. Dort berechnet man die neue Beschleunigung um den Planeten anschließend wieder Delta t weiterrücken zu lassen - usw. Dieses wechselseitige (rekursive) Ausrechnen von Ort und Beschleunigung wird durch die beiden Formeln ausgedrückt, nichts anderes.

Ich hoffe damit war es halbwegs zu verstehen. Wink