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Nicht stetige Wellenfunktion bei Deltapotential
 
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Namenloser324
Gast





Beitrag Namenloser324 Verfasst am: 28. Apr 2014 14:38    Titel: Nicht stetige Wellenfunktion bei Deltapotential Antworten mit Zitat

Hi,

hatten auf dem Übungszettel eine Aufgabe bei welcher ein Potential als Deltafunktion gegeben war d.h. V(x) = a*delta(x).
Man sollte zeigen, dass die Ableitung der Wellenfunktion bei x = 0 unstetig ist.
Wie man das macht ist mir klar, aber wie kann eine derartige Wellenfunktion die Schrödingergleichung lösen? Eine unstetige Funktion ist nicht differenzierbar, also kann sie auch nicht die Schrödingergleichung, welche die zweite Ableitung benötigt, lösen.

Analog ist mir auch unklar, wieso man im Skript zeigt, dass die Wellenfunktion bei Kastenpotentialen endlicher Ausdehnung (also der Länge L) an den Übergängen stetig in der ersten Ableitung ist. Wäre das nicht der Fall könnte die Wellenfunktion die SG auch nicht erfüllen.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 28. Apr 2014 14:45    Titel: Antworten mit Zitat

In deinen Beispielen ist gemeint, dass die Wellenfunktion die SG löst in allen Punkten ausser den Unstetigkeitsstellen/Undefiniertheitsstellen des Potentials.

Dadurch dass Du für dein Potential zB die Deltafunktion angenommen hats, oder ein Stufenpotential, kannst DU nicht mehr annehmen, dass die SG in diesen Punkten erfüllt ist, sondern nur abseits der Punkte.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 28. Apr 2014 15:34    Titel: Antworten mit Zitat

Der selbe Einwand gilt auch für weniger pathologische Fälle, z.B. ein Kastenpotential endlicher Tiefe.

Tatsächlich werden dadurch die Operatoren teilweise nicht selbstadjungiert, sondern nur noch symmetrisch und im "Gut-Fall" selbstadjungiert-erweiterbar; aber das muss in einer Einführungsvorlesung nicht interessieren.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Namenloser324
Gast





Beitrag Namenloser324 Verfasst am: 28. Apr 2014 16:04    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für eure Antworten smile
Mir ist eingefallen, dass es für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ja ohnehin egal ist, was an isolierten Punkten passiert. (Da dafür ja integriert wird) Dann ist das sowieso unkritisch.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 28. Apr 2014 16:07    Titel: Antworten mit Zitat

Namenloser324 hat Folgendes geschrieben:
Danke für eure Antworten smile
Mir ist eingefallen, dass es für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ja ohnehin egal ist, was an isolierten Punkten passiert. (Da dafür ja integriert wird) Dann ist das sowieso unkritisch.

Sofern Deine Wellenfunktion in diesen Punkten endlich ist und/oder das Integral über die divergenten Punkte endlich ist.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 28. Apr 2014 16:07    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, du hast schon recht, man bekommt evtl. Probleme mit Impuls und kinetischer Energie. Man sollte da schon mal drüber nachdenken.
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Henri



Anmeldungsdatum: 08.02.2014
Beiträge: 82

Beitrag Henri Verfasst am: 30. Mai 2014 23:16    Titel: Antworten mit Zitat

Vielleicht kann mir kurz jemand beim Verständnig auf die Sprünge helfen. Woraus ergibt sich bei dem Deltafunktionspotential (in meinem Fall mit negativem Vorzeichen), dass die Ableitung der Wellenfunktion nicht stetig ist? Ein endlicher Potentialkasten hat ja auch im Grunde ähnliche Potentialstufen und trotzdem ist die Ableitung der Wellenfunktion stetig, woran sehe ich das also grübelnd

Lg
Namenloser324
Gast





Beitrag Namenloser324 Verfasst am: 30. Mai 2014 23:28    Titel: Antworten mit Zitat

In dem du über den Ort der Deltafunktion integrierst und den Bereich gegen Null gehen lässt.
Dann erhälst du auf der linken Seite die Differenz der rechts und linksseitigen Limiten der Ableitung der Wellenfkt. an dieser Stelle. Wenn dann Psi an der Stelle nicht identisch null ist müssen die Limiten verschieden sein -> unstetig.
Henri



Anmeldungsdatum: 08.02.2014
Beiträge: 82

Beitrag Henri Verfasst am: 31. Mai 2014 17:36    Titel: Antworten mit Zitat

Aha ich glaube das leuchtet mir ein. Ich betrachte also z.B.



Der ganze Term ist 0? Dann wäre die Ableitung links und rechts verschieden und somit unstetig.

Lg
Namenloser324
Gast





Beitrag Namenloser324 Verfasst am: 31. Mai 2014 17:52    Titel: Antworten mit Zitat

Genau!
Henri



Anmeldungsdatum: 08.02.2014
Beiträge: 82

Beitrag Henri Verfasst am: 01. Jun 2014 21:59    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt habe ich doch noch eine Frage Hammer Die Bedingung, die ich aus der SGL erhalte, lautet ja eigentlich nicht:



sondern:



Was passiert also mit dem E? Es verschwindet aufgrund der Stetigkeit der Wellenfunktion? Wieso verschwindet dann aber nicht αδ(x)?

Lg
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 02. Jun 2014 10:36    Titel: Antworten mit Zitat

Es gilt

aber
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