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JustinSane
Anmeldungsdatum: 12.12.2005
Beiträge: 4
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 JustinSane Verfasst am: 12. Dez 2005 16:12 Titel: Frage zur Herleitung der Kondensatorentladung |
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Hallo!
Ich habe mal eine Frage zur Kondensatorentladung (mit der Aufladung hab ich mich noch garnicht beschäftigt...):
Habe mit der Suchfunktion folgenden Beitrag gefunden und durchgearbeitet:
http://www.physikerboard.de/htopic,169,herleitung+kondensator.html
Ich hab das grundliegenden Verständnis der Einheiten und Größen (meiner Meinung nach zumindest 
Allerdings verstehe ich die Schritte mit dem Integrieren nicht. Wie kommt man darauf? Wohin verschwinden nachher die Betragsstriche?
Im Unterricht haben wir etwas anders hergeleitet:
U0=Ur*Uc
Ur=R*I
Uc=Q/C
=> U0=R*I+Q/C
I=Q[Punkt]
=>U0=R*Q[Punkt]+Q/C
Da es eine Entladung ist: U0 = 0, dann mit C multiplizieren
=> 0=R*C*Q[Punkt]+Q
Dann hat unser Lehrer irgendwas von Differentialgleichungen gesagt, wovon ich noch nie etwas gehört habe...
Ich weiß nicht so wirklich wie er auf das Ergebnis mit e^[alpha]*t kommt. Wie man dann mit Ln Alpha bestimmt kann ich wieder, aber könnt ihr mir erklären, woher e^x und Q0 kommen?
Danke! |
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Neko
Anmeldungsdatum: 04.07.2004
Beiträge: 526
Wohnort: Berlin
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| Neko Verfasst am: 12. Dez 2005 17:18 Titel: |
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In beiden Fällen - Auf und Entladung gehst du hiervon aus:
Das ist einfach die Krichhoffsche Maschenregel: Alle Spannungen im Schaltkreis ergeben die Gesamtspannung. Bei der Aufladung hat die Gesamtspannung irgendeinen Wert, bei der Entladung ist sie null. Wenn du die Gleichung oben ausdrückst mit:
und dann noch sagst, dass die Stromstärke der Ladungsfluss pro Zeit ist:
und dann noch durch R teilen:
dann steht da eine "lineare inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung". Homogen würde sie heißen, wenn der linke Teil der Gleichung 0 wäre, da er aber von null verschieden ist, heißt sie ebene inhomogen. Erster Ordnung deswegen, weil die höchste Ableitung, die drin vorkommt das Q-Punkt ist. Wäre es Q-2-Punkt, dann wäre sie 2ter Ordnung, usw.
Bis jetzt können wir hiermit immer noch beide Vorgänge, also Auf und Entladung beschreiben. Aber nur für die Entladung fällt die linke Seite weg (da keine Spannung mehr anliegt) und die Dfgl. wird homogen.
In der Physik hat man Differentialgleichungen sehr oft, wenn man Zerfälle, Schwingungen oder gedämpfte Schwingungen betrachtet. Taucht eine zweite Ableitung auf, dann stellt die meistens eine treibende Kraft dar (gibt dann was sinus-förmiges oder was cosinus-förmiges), eine einfache Ableitung (wie hier) ist immer eine Reibung oder ein Widerstand (die macht dann die e-Funktion aus), wenn die Funktion selber in der Dfgl auftaucht, dann ist das meistens eine rücktreibende Kraft, und eine Konstante meistens ein äußerer Einfluss.
wie kommt also die e-Funktion zu Stande?
Wenn du dir in der Herleitung der Entladung mal das hier anschaust
\,+\,\frac{1}{RC}\,Q(t)\,=\,0)
Durch ) teilen und das  auf die andere Seite
}{Q(t)}\,=\,-\,\frac{1}{RC})
Hier integriert man, weil ganz einfach die Ableitung stört. Wenn man eine Differentialgleichung lösen möchte, kommt man ums Integrieren nicht herum 
Beide Seiten Integrieren nach t:
}{Q(t)}\,dt\,=\,-\int\limits_{t_{0}}^{t}\,\frac{1}{RC}dt)
|\,]^{t}_{t_{0}}\,=\,[-\,\frac{1}{RC}]^{t}_{t_{0}})
Der ln kommt deswegen zustande, weil wenn man einen Bruch integriert, in dessen Zähler die Ableitung des Nenners erscheint, erhält man immer den Ln des Nenners. So auch bei "1/x". Wenn du "1/x" integrierst, dann siehst du ja, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht, die Stammfunktion von "1/x" ist also lnx. Die Betragsstriche dort müssen gesetzt werden, weil man den Ln von etwas negatives nicht bilden kann/darf. Da Q aber ohnehin immer positiv ist, kann man sie auch weglassen. Um nach Q aufzulösen, muss der ln verschwinden, also "erhebt man" beide Seiten in den Exponenten von "e". Linkst bei Q ist nämlich "e hoch ln Q" gerade Q und rechts bleibt das e hoch irgendwas stehen. Das war das Ziel.
Überhaupt bei jeder Differentialgleichung: du hast irgendeine Gleichung, in der eine Funktion y in Abhängigkeit von irgendeiner Variablen - meinetwegen x - auftaucht. Neben dieser Funktion tauchen aber noch Ableitungen dieser Funktion auf. Das Problem ist dann immer, eine Lösung zu finden, also die Funktion y(x) die diese Differentialgleichung erfüllt
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Prefect:"ich habe dich von der Erde gerettet"
Dent:"Und was ist mit der Erde passiert?"
"Och,...die wurde zerstört"
"Ach ja"
"Ja, sie ist einfach ins Weltall verdunstet"
"Weißt du, das nimmt mich natürlich ein bißchen mit" |
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JustinSane
Anmeldungsdatum: 12.12.2005
Beiträge: 4
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| JustinSane Verfasst am: 14. Dez 2005 15:55 Titel: Aufladung? |
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Danke erstmal!
Hab ich auch soweit verstanden.
Ich frage mich nur gerade, wie ich zur Aufladung komme. Der Anfang müsste ja gleich sein, nur dass ich dann nicht sage, dass U[null]=0 ist, sonder?
Vielen Dank schonmal in Voraus an jeden, der sich die Zeit nimmt, mich von meiner Unwissenheit zu befreien |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 14. Dez 2005 16:30 Titel: |
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Es gilt da sinngemäss das gleiche.
Man kann immer sagen
 = U_{anfang} + (U_{ende}-U_{anfang})(1-e^{-t/\tau}) )
mit 
und t = 0 am Anfang des Lade/Entladevorgangs |
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Intehää
Anmeldungsdatum: 13.11.2006
Beiträge: 1
Wohnort: Göttingen
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| Intehää Verfasst am: 13. Nov 2006 17:51 Titel: |
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hey...ich bräucht ma nen bisschen hilfe.
genau das machen wir auch grade in physik!
is zwar noch nen bisschen älter der thread aber meine frage passt hier gut rein...
Warum ist Q(punkt) = I?
wir haben erklärt gekriegt das Q(punkt) die ableitung von Q ist. aber für nich hat immer ableitung sowas bedeutet f(x) -> x^2 f'(x) -> 2x. könnte mir das jemand erklären??
Und dann wäre da noch der Begriff: Integralrechnung mit dem kann ich leider reichlich wenig anfangen..  ! was bedeutet das? kann mir ein vielleicht das mal an einem einfachem beispiel deutlich machen, so dass ich es auf die herrleitung der dfg zur kondensatorentladung anwenden kann? 
ich sag dann schonmal danke im vorraus.. ? |
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BobbyJack
Anmeldungsdatum: 04.11.2008
Beiträge: 112
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| BobbyJack Verfasst am: 26. Apr 2009 00:47 Titel: @ Intehää |
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Die Stromstärke ist definiert als Anzahl der Ladungen (meist Elektronen), die in einer bestimmten Zeit bewegt werden - oder anschaulicher: Du stellst dich an einen Querschnitt deies Drahtes und guckst, wieviele Elektronen in einer bestimmten Zeit vorbei kommen - du bekommst als Einheit also Ladungen/Zeit.
Mit der Ableitung einer Funktion f(x) kannst du immer die Steigung der Tangente an der Stelle x bestimmen, oder die Änderung an der Stelle x.
Wenn du nun Q(t) nach t ableitest, bestimmst du, wieviele Ladungen sich zur Zeit t ändern oder bewegen - und das ist genau die Stromstärke I.
Und das ) ist nur ne andere schreibweise für ) . Da der Physiker an sich faul ist, hat er sich den Strich gespart und macht bei Ableitungen nach t nur einen Punkt.
Zusammengefasst:  = \dot{Q}(t) = I(t))
Und zur zweiten Frage:
Integration ist das Gegenteil von Ableiten.
Die Integration wird häufig zur Flächenberechnung benutzt. Für ) gilt dann  = \int f(x) \, dx)
In Worten: Du suchst eine Funktion ) , deren Ableitung ist. Aber da Integration ein gewaltiger Bereich der Mathematik ist, will ich hier nicht zu weit vom ursprünglichen Threadthema abdriften.
Das braucht man hier, da es ein Lösungsverfahren zum Lösen einer DGL ist.
Als wir das in der Schule hatten, haber wir das ein wenig unsauber gemacht - da DGLs nicht behandelt werden mussten haben wir das mehr oder weniger durch überlegen und ausprobieren und Anstöße durch unsern Lehrer gelöst. Wenn man in seinen Erinnerungen kramt fällt einem ein, dass die Ableitung von e-Funktionen sich selber mit einem Vorfaktor ergeben.
Wenn man das also bis
 + \frac{1}{RC}Q(t) = 0)
umgeformt hat - und sich dann daran erinnert, dass die Ableitung von
ist, dann erkennt man, dass
 = e^{-\frac{1}{RC}\cdot t})
sein muss.
Da das aber für alle  als Ergebnis  ergeben würde, muss man sich noch den Starwert reinmogeln:
 = Q_0\cdot e^{-\frac{1}{RC}\cdot t})
Zur überprüfung des Ergebnisses muss man ableiten und und in die DGL einsetzen.
Das  fällt zugegebenermaßen ein wenig vom Himmel - es ergibt sich aber bei der Integration und ist auch sinnvoll dort wo es steht ^^ |
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