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dvnll
Anmeldungsdatum: 20.03.2014
Beiträge: 4
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 dvnll Verfasst am: 20. März 2014 15:01 Titel: Fragen zu Widerstandsnetzwerk/ Knotenanalye, mglw. Wheatst. |
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Hallo,
ich habe eine konkretes Problem bei der Beschreibung eines Widerstandsnetzwerks und würde mich sehr freuen, falls mir jemand weiterhelfen kann.
Die obere der angehängten Grafiken (S21.png) ist das Original aus der Aufgabenstellung.
Diese lautet:
| Zitat: | Gegen sei das Widerstandsnetzwerk aus der Abbildung (angegeben sind die relativen Leitwerte).
Stellen sie die Potentiale in den Punkten 2 und 3,  und  , in Abhängigkeit von  dar. Verwenden sie dazu die Knotenregel. Als Bezugspotential gibt dabei der Punkt 0 mit dem Potential 0V.
Tipp: Zeichnen sie hierzu das Widerstandsnetzwerk ab und tragen sie die Ströme ein, die in oder von den Punkten 2 und 3 strömen, mitsamt der von Ihnen frei gewählten Stromrichtung. Stellen Sie anschließend die Knotengleichungen für die Punkten 2 und 3 auf und lösen Sie sie nach und . |
Ich habe das Netzwerk in der Form dargestellt, wie es in der zweiten Abbildung zu sehen ist (S21_2.png). Ist das korrekt?
Anschließend habe ich die Knotengleichungen aufgestellt:
 und  soll den Strom direkt an der Spannungsquelle bezeichnen.
Bei dem Versuch ein Gleichungssystem daraus zu bauen, indem ich aus  und  die Gleichung  folgere, scheitere ich allerdings. Das halt folgenden Grund:
Ich kann bzw nicht in der Form darstellen, weil ich dafür weder Widerstand noch Leitwert kenne.
Muss ich erst den Gesamt(ersatz)wiederstand für das Netzwerk berechnen um dann darstellen zu können?
Kann man diese Schaltung als Wheatstone-Brücke begreifen, so dass diese Gleichung gilt?
)
Falls ja, wie kann ich mit dieser Information den Widerstand für das gesamte Netz berechnen?
Ich bedanke mich schonmal fürs lesen,
dvnll
Edit: Indizes in Formel korrigiert.
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22.72 KB |
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1225 mal |
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| Angeschaut: |
1225 mal |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 20. März 2014 15:44 Titel: Re: Fragen zu Widerstandsnetzwerk/ Knotenanalye, mglw. Wheat |
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| dvnll hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
ich habe eine konkretes Problem bei der Beschreibung eines Widerstandsnetzwerks und würde mich sehr freuen, falls mir jemand weiterhelfen kann.
Die obere der angehängten Grafiken (S21.png) ist das Original aus der Aufgabenstellung.
Diese lautet:
| Zitat: | Gegen sei das Widerstandsnetzwerk aus der Abbildung (angegeben sind die relativen Leitwerte).
Stellen sie die Potentiale in den Punkten 2 und 3, und , in Abhängigkeit von dar. Verwenden sie dazu die Knotenregel. Als Bezugspotential gibt dabei der Punkt 0 mit dem Potential 0V.
Tipp: Zeichnen sie hierzu das Widerstandsnetzwerk ab und tragen sie die Ströme ein, die in oder von den Punkten 2 und 3 strömen, mitsamt der von Ihnen frei gewählten Stromrichtung. Stellen Sie anschließend die Knotengleichungen für die Punkten 2 und 3 auf und lösen Sie sie nach und . |
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Diese Aufgabenstellung enthält einen nach meiner Auffassung falschen Hinweis (rot gekennzeichnet), der Dich möglicherweise in die Irre geführt hat. Eigentlich muss da stehen Maschenregel. Der danach folgende Satz sagt Dir auch, wie Du das machen sollst, nämlich je einen Spannungspfeil von Knoten 2 und 3 zum Bezugsknoten (den mit dem Potential Null) zeichnen und dann die jeweiligen Maschengleichungen aufstellen.
| Zitat: | | Ich habe das Netzwerk in der Form dargestellt, wie es in der zweiten Abbildung zu sehen ist (S21_2.png). Ist das korrekt? |
Ja. Es wäre aber nicht nötig gewesen. Ein Eintragen der Ströme in die originale Schaltskizze hätte ausgereicht.
| Zitat: | Anschließend habe ich die Knotengleichungen aufgestellt:
und soll den Strom direkt an der Spannungsquelle bezeichnen. |
In dem in der Aufgabenstellung gegebenen Tipp steht explizit, dass Du die Knotengleichungen für die Knoten 2 und 3 aufstellen sollst. Sonst keine.
| Zitat: | Bei dem Versuch ein Gleichungssystem daraus zu bauen, indem ich aus und die Gleichung folgere, scheitere ich allerdings. Das halt folgenden Grund:
Ich kann bzw nicht in der Form darstellen, weil ich dafür weder Widerstand noch Leitwert kenne. |
Das ist doch nicht weiter schlimm. Wenn Du mit dem hier vorgeschlagenen Verfahren (Knotenspannungsanalyse) die einzelnen Zweigströme bestimmt hast, ergibt sich der Gesamtstrom automatisch.
| Zitat: | | Muss ich erst den Gesamt(ersatz)wiederstand für das Netzwerk berechnen um dann darstellen zu können? |
Nein, Du sollst das vorgeschlagene Verfahren durchführen.
| Zitat: | Kann man diese Schaltung als Wheatstone-Brücke begreifen, so dass diese Gleichung gilt?
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Ja, es handelt sich um eine Brückenschaltung. Nein, diese Gleichung gilt nicht. Sie würde nur gelten, wenn der Brückenquerwiderstand, hier der Widerstand zwischen Knoten 2 und 3 unendlich groß wäre. Das ist aber nicht der Fall.
| Zitat: | | Falls ja, wie kann ich mit dieser Information den Widerstand für das gesamte Netz berechnen? |
Überhaupt nicht. Wozu willst Du das auch tun? Du sollst hier das Knotenspannungsverfahren (auch Knotenpotentialverfahren genannt) anwenden, basta.
| Zitat: | Ich bedanke mich schonmal fürs lesen,
dvnll
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Bitteschön.
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dvnll
Anmeldungsdatum: 20.03.2014
Beiträge: 4
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| dvnll Verfasst am: 20. März 2014 19:41 Titel: |
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Hallo GvC,
vielen Dank für deine Antwort.
| Zitat: | | Diese Aufgabenstellung enthält einen nach meiner Auffassung falschen Hinweis (rot gekennzeichnet), der Dich möglicherweise in die Irre geführt hat. Eigentlich muss da stehen Maschenregel. Der danach folgende Satz sagt Dir auch, wie Du das machen sollst, nämlich je einen Spannungspfeil von Knoten 2 und 3 zum Bezugsknoten (den mit dem Potential Null) zeichnen und dann die jeweiligen Maschengleichungen aufstellen. |
Ich würde folgende Maschengleichungen aufstellen
und weiterhin
verwenden.
Die Ströme  bzw.  lassen sich darstellen.
Sind weiterhin auch folgende Gleichungen korrekt?
Darf ich nun, da  , durch Einsetzen in die Kontengleichungen auf Folgendes schließen?
Edit: Zeichen korrigiert.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 21. März 2014 09:21 Titel: |
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Das geht wie Kraut und Rüben durcheinander und ist zum größten Teil auch falsch. Außerdem verwendest Du verwirrenderweise neue "Namen" für die Potentiale der Knoten 2 und 3. Das ist zwar nicht verkehrt, laut Aufgabenstellung sollen sie aber U2 und U3 genannt werden.
Die relevanten Maschengleichungen sind
und
Knotenpunktgleichungen für
Knoten 2:
Knoten 3:
Die Zweigströme werden jetzt per ohmschem Gesetz durch die Knotenspannungen und die Zweigleitwerte ausgedrückt:
\cdot 4G)
\cdot 3G)
\cdot G)
Das Einsetzen in obige Knotengleichungen und Ordnen nach den Spannungen kannst Du mal alleine vornehmen.
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dvnll
Anmeldungsdatum: 20.03.2014
Beiträge: 4
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| dvnll Verfasst am: 21. März 2014 14:10 Titel: |
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Hallo,
danke, Du hast mir beim Verstehen dieses Verfahrens sehr geholfen.
Ich habe eine Lösung erhalten, bei der allerdings ein Potential negativ ist. Das ist doch nicht sinnvoll, oder? Ich habe die Lösung mehrfach geprüft, allerdings keinen Rechenfehler gefunden. Vielleicht kannst Du dir das noch einmal anschauen.
Setze ich die Gleichungen in die Knotengleichungen ein erhalte ich
 \cdot 4G + (U_2 -U_3)\cdot 3G + U_2\cdot 2G & = & 0
<br />
U_2\cdot (4G+ 3G+2G) - U_3\cdot 3G-U_1\cdot 4G & = & 0
<br />
U_2\cdot 9G-U_3\cdot 3G-U_1\cdot 4G & = & 0
<br />
)
und
 \cdot G - (U_2 - U_3)\cdot 3G + U_3\cdot 2g & = & 0
<br />
U_2\cdot 3G + U_3\cdot (G+3G+2G) - U_1\cdot G & = & 0
<br />
U_2\cdot 3G + U_3\cdot 6G - U_1\cdot G & = & 0
<br />
)
Stelle ich die zweite Gleichung nach um erhalte ich  . Nach einsetzen in Gleichung eins erhalte ich
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 21. März 2014 16:19 Titel: |
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| dvnll hat Folgendes geschrieben: | | ... Du hast mir beim Verstehen dieses Verfahrens sehr geholfen. |
Na ja, wenn du es bis hierher verstanden hast, ist es ja schon mal gut. Allerdings ist diese Vorgehensweise erst die Vorstufe zu dem eigentlichen "automatisierten" Verfahren, die Dir zeigen soll, wie das zu lösende Gleichungssystem entwickelt wird. Nach einiger Übung wirst Du all diese Schritte nicht mehr durchführen, sondern nur noch schauen, wie groß die Summe der am jeweiligen Knoten anliegenden Leitwerte ist und welches der sog. Koppelleitwert zwischen zwei Knoten ist. Ich komme weiter unten nochmal drauf zurück.
| dvnll hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe eine Lösung erhalten, bei der allerdings ein Potential negativ ist. Das ist doch nicht sinnvoll, oder? |
Nein, das ist bei nur einer Spannungsquelle (hier U1) auch gar nicht möglich.
| dvnll hat Folgendes geschrieben: | Ich habe die Lösung mehrfach geprüft, allerdings keinen Rechenfehler gefunden. Vielleicht kannst Du dir das noch einmal anschauen.
Setze ich die Gleichungen in die Knotengleichungen ein erhalte ich
und
 \cdot G - (U_2 - U_3)\cdot 3G + U_3\cdot 2g & = & 0
<br />
U_2\cdot 3G + U_3\cdot (G+3G+2G) - U_1\cdot G & = & 0) |
Hier ist der Fehler: Vor U2*3G fehlt ein Minuszeichen. Die endgültige Knotenpunktgleichung für Knoten 3 muss also lauten
Du hast also das folgende Gleichungssystem zu lösen:
=U_1\cdot 4G)
+U_3\cdot 6G=U_1\cdot G)
Wie Du siehst, habe ich das jeweilige Vorzeichen den Koeffizienten der gesuchten Knotenspannungen U2 und U3 zugeordnet. Jetzt solltest Du eine gewisse Systematik erkennen:
In der Knotengleichung für den Knoten 2 ist der Koeffizient von U2 gleich der Summe der am Knoten 2 anliegenden Leitwerte. In der Knotengleichung für den Knoten 3 ist der Koeffizient von U3 gleich der Summe der am Knoten 3 anliegenden Leitwerte. Der Koeffizient der jeweils anderen Spannung ist der negative "Koppelleitwert" zwischen den beiden Knoten, also der (negative) Leitwert zwischen Knoten 2 und 3, der die beiden Knoten sozusagen miteinander "verkoppelt".
Die beiden Knotengleichungen lassen sich folgendermaßen interpretieren: Es handelt sich jeweils nur um eine andere Formulierung des Kirchoffschen Knotenpunktsatzes, nämlich:
Die Summe aller vom Knoten weg fließenden Teilströme infolge der einzelnen Knotenspannungen ist gleich der Summe der zufließenden eingeprägten Teilströme infolge der vorgegebenen Spannung(en). Dabei werden auf der linken Seite der Gleichung die vom Knoten weg fließenden Ströme positiv, die zum Knoten hin fließenden Ströme negativ gezählt. Auf der rechten Seite der Gleichung natürlich genau umgekehrt.
Das Knotenspannungsverfahren ist also ein Überlagerungsverfahren, bei dem die eigentlichen Zweigströme sich aus der Überlagerung der einzelnen Teilströme infolge einzelner Teilursachen zusammensetzen. Die Teilursachen sind die Knoten- und die eingeprägten Spannungen. Wie beim Überlagerungsverfahren üblich, wird zur Bestimmung eines Teilstromes immer nur eine Ursache betrachtet, während alle anderen zu Null gesetzt werden.
Als Beispiel betrachte mal den Knoten 2 (und zwar nur den Knoten 2) in Deiner (zweiten) Schaltskizze.
Erste Ursache U2
Teilströme infolge U2, dabei alle anderen Spannungen Null, d.h. Potential des Knotens 1 und das des Knotens 3 jeweils null, das des Knotens 0 ist sowieso Null. Dann fließt ein Strom infolge U2 nach links durch 4G, nach rechts durch 2G und nach unten durch 3G. Alle drei Teilströme fließen vom Knoten 2 weg sind also positiv zu zählen. Ihre Summe ist U2*(4G+2G+3G)=U2*9G, also U2 mal der Summe der anliegenden Leitwerte.
Zweite Ursache U3
Teilstrom infolge U3, dabei alle anderen Spannungen Null, auch das Potential des Knotens 2. Der Teilstrom infolge U3 fließt nach oben durch 3G, hat also die Größe U3*3G und fließt zum Knoten 2 hin, ist demzufolge negativ zu zählen.
Dritte Ursache U1
Teilstrom infolge U1, alle anderen Spannungen Null. Der Teilstrom infolge U1 hat die Größe U1*4G, fließt zum Knoten 2 hin und ist deshalb negativ zu zählen. Als eingeprägte Größe wird er auf die andere Seite der Gleichung gebracht und ändert damit sein Vorzeichen.
Entsprechend lässt sich die Knotengleichung für Knoten 3 interpretieren.
Der Vorteil dieses Formalismus ist, dass Du auch leicht das Gleichungssystem für ein Netzwerk mit mehr als zwei unabhängigen Knoten aufstellen und mit Hilfe von Determinanten oder des Gaußschen Algorithmus lösen kannst. Auch alle Computerprogramme zur Netzwerkberechnung basieren auf dem Knotenspannungsverfahren, welches sich sehr viel einfacher programmieren lässt als beispielsweise das Maschenstromverfahren.
Zurück zur hier vorliegenden Aufgabe: Bevor Du die beiden Gleichungen nach den beiden unbekannten Spannungen U2 und U3 auflöst, kürzt Du beide Gleichungen natürlich noch durch G und erhältst
und
Das lässt sich nun mit Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren oder mit Determinanten oder mit Gaußschem Algorithmus oder was einem sonst noch einfallen mag lösen. Das Ergebnis ist (bitte nachrechnen):
und
Mehr war in dieser Aufgabe nicht verlangt. Eigentliches Ziel solcher Aufgaben ist es jedoch, die unbekannten Zweigströme zu berechnen. Das geschieht mit Hilfe der aus dem Maschensatz ermittelten Bestimmungsgleichungen (s.o.), z.B. für
\cdot 4G=\left( U_1-\frac{3}{5}U_1\right) \cdot 4G=\frac{8}{5}U_1\cdot G)
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dvnll
Anmeldungsdatum: 20.03.2014
Beiträge: 4
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| dvnll Verfasst am: 22. März 2014 13:23 Titel: |
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Hallo GvC,
vielen Dank für Deine ausführliche Erklärung an diesem Beispiel. Damit fügt sich für mich alles zu einem schlüssigen Bild zusammen.
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