Invertiertes Pendel - vereinfachtes Model

Max_ · Anmeldungsdatum: 14.03.2014 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo,

ich versuche grad ein vereinfachtes Model eines invertierten Pendels auf einem Fahrzeug zu erstellen. Hierzu ein Bild aus wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Cart-pendulum.svg
Das Fahrzeug soll durch seine Bewegung das Pendel ausbalancieren. Das ganze dient dazu, einen evolutionären Algorithmus auszutesten. Problem: Die letzte Physikstunde ist bei mir schon einige Jahre her smile

Erstmal zur Vereinfachung des Models (vielleicht fällt jemanden noch was ein, was man hinzufügen könnte):
1. Das Model befindet sich sich in einem 2-Dimensionalen Raum
2. Das Fahrzeug lässt sich demzufolge nur auf der x-Achse 'bewegen'
3. Die Reibung des Fahrzeugs wird außer Acht gelassen
4. Der Pendelstab hat keine Masse, lediglich der 'Pendelkopf' oben.
5. Das Pendel beeinflusst durch seine Bewegung nicht das Fahrzeug, nur umgekehrt

Nun muss ich geeignete Formeln finden um dieses Model zu beschreiben:
a) Die Geschwindigkeit des Pendels beim 'herunterfallen'
b) Die Beeinflussung des Pendelwinkels durch die Bewegung des Wagens

Meine Ideen:
Zur Geschwindigkeit des Pendels hab ich folgende Formel gefunden:

Wenn ich es richtig sehe, wird hier auch der Pendelkopf als Masse los angenommen. (Ist diese Vereinfachung sinnvoll, oder sollte eine Formel aufgestellt werden die die Masse des oberen Teils berücksichtigt?). Zweitens, gibt es eine einfache Erklärung/Herleitung für die Formel?

Dann bleibt noch die Beeinflussung des Pendels durch die Bewegung des Wagens. Dazu konnte ich leider nichts (jedenfalls nichts für ein extrem vereinfachtes Model) finden.

Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir bei der Formelaufstellung, bzw. bei sonstigen Tipps für dieses Model helfen könntet.

Freundliche Grüße

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Die Formel, die du hast, kannst du vergessen. So, wie ich dich verstanden habe, sollte ein Algorithmus die x-Position des Drehpunkts beeinflussen, das heißt, es ist nicht von vorn herein klar, welcher Gesetzmäßigkeit x(t) folgt. Dann gibt es da natürlich Trägheitseinflüsse (im System, wo der Drehpunkt in Ruhe ist). Die Formel, die du hast, enthält ganz zurecht nicht die Masse, das hat mit 'vernachlässigen' nichts zu tun, sondern damit, dass alle wirkenden Kräfte proportional zur Masse sind und damit die Beschleunigung massenunabhängig ist und folglich auch die Lösung der damit verbundenen Differentialgleichung. Jedoch ist das genau das Problem: Die Formel, die du hast, ist gerade die Lösung einer viel zu speziellen Differentialgleichung. Du kannst dir auch ganz leicht überlegen, dass es überhaupt keinen einfachen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Auslenkungswinkel geben kann, denn durch geschickte Bewegung kannst du das Pendel in jeder beliebigen Lage zum Stillstand bringen.

Du wirst nicht umher kommen, eine Gleichung herzuleiten, die deinem Problem angepasst ist. Dabei hast du ein System mit zwei Freiheitsgraden (

) und einer Zwangsbedingung (der Pendelkopf hat einen festgelegten Abstand zum Drehpunkt, was aber bereits in der Verwendung der verallgemeinerten Koordinate

berücksichtigt ist). Ich würde hier dringend dazu raten, auf den Lagrange-Formalismus zurückzugreifen. Es geht ganz sicher (wie immer) auch ohne, aber obwohl es erstmal einen formalistischen Overhead darstellt, führt es am schnellsten zur Lösung des Problems, die hier einfach eine gewöhnliche Differentialgleichung sein wird, was aber für deine Zwecke vermutlich ideal ist.

Der Lagrange-Formalismus funktioniert in diesem Fall so ('dieser Fall' heißt, dass wir die verallgemeinerten Koordinaten gut gewählt haben^^): Drücke die Lagrange-Funktion

durch die verallgemeinerten Koordinaten aus. Für jede verallgemeinerte Koordinate

stellst du die Lagrange-Gleichung zweiter Art auf:

. Fertig.

Wenn du dich dazu belesen möchtest, empfehle ich das hier: http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=1157

EDIT: Entschuldigung, vermutlich ist es doch nicht _ganz_ so einfach. Ich schreibe demnächst noch etwas dazu.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Hm, kurz hatte ich Zweifel, ob der Lagrange-Formalismus wirklich ideal für dieses Problem ist. Das Problem ist hier der äußere Einfluss. Erst dachte ich, man könne einfach eine der beiden Lagrange-Gleichungen ignorieren (halb spekulativ Big Laugh

), dann dachte ich, dass man eigentlich den äußeren Einfluss durch ein zusätzliches Potential modellieren kann. Im Endeffekt bedeutet das aber nichts anderes, als dass man einfach der einen Lagrange-Gleichung ein F in die rechte Seite schreibt. Und dann funktioniert das genau so, wie es bei Wikipedia vorgerechnet wird:

http://en.wikipedia.org/wiki/Inverted_pendulum#Inverted_pendulum_on_a_cart

EDIT: Du hattest ja nach einer Herleitung der Formel gefragt, das habe ich irgendwie übersehen. Unter der Annahme, dass der Drehpunkt still steht, ergibt sich das eben. Du kannst dann für das Drehmoment

ansetzen, wobei wie immer gilt

, also

. Und hier ist auch klar, dass deine Formel keine Formel für die Geschwindigkeit war. Das hätte man eigentlich auch sofort an der Dimension sehen können, aber ich hatte dir vertraut, dass das wirklich eine sinnvolle Formel ist. Big Laugh

Hier den Lagrange-Formalismus zu benutzen, ist eigentlich unnötig, aber man kann es ja mal zeigen: Die Lagrange-Funktion ist

. Man kann hier auch ohne weiteres

setzen, das wird die Lösung der Lagrange-Gleichung nicht ändern. Diese ist nämlich

Das ist dieselbe Differentialgleichung.