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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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 Marko Verfasst am: 06. Jan 2014 09:01 Titel: Ist Kraft konservativ oder nicht? |
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Ich möchte zeigen ob diese Kraft
=-\beta(\vec{\dot{x}}) )
konservativ ist oder nicht.
Eine Kraft ist konservativ wenn die über einen geschlossenen Weg verrichtete Arbeit 0 ist.
Durch hinsehen oder überlegen komme ich nicht auf ein Ergebnis und das Rechnen bereitet mir auch Probleme.
Der Ansatz ist
 .
Mir ist aber unklar wie ich mit einer geschwindigkeitsabhängigen Kraft umgehen soll.
Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 06. Jan 2014 09:51 Titel: |
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Führe den Körper doch einfach mal mit einer konstanten Geschwindigkeit einmal in einem Kreis herum und berechne, welche Arbeit W dafür erforderlich ist. |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 06. Jan 2014 09:52 Titel: |
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Weißt du mehr über die Kraft als, dass sie eine beliebige Funktion der Geschwindigkeit ist? Zu welchem Ergebnis kommst du denn?
Wenn du das formulieren und begründen kannst, können wir versuchen es ein bisschen mathematischer zu formulieren. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 06. Jan 2014 10:04 Titel: |
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Ich weiß nicht mehr über die Kraft als ich oben geschrieben habe.
Mir bereitet es schon Probleme zu berechnen welche Arbeit nötig ist um den Weg von P1(0|0|0) zu P2(1|0|0) zurückzulegen.
dx )
Ich weiß nicht wirklich was ich mit der Geschwindigkeit anfangen soll,
ist es richtig, dass nur eine Bewegung in x-Richtung Auswirkungen auf die Arbeit hat. Kann ich wie in der obigen Schreibweise die Geschwindigkeit einfach zu einem Skalar machen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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| TomS Verfasst am: 06. Jan 2014 10:13 Titel: |
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Wie genau habt ihr denn den Begriff "konservative Kraft" definiert? Üblicherweise verwendet man die folgenden drei äquivalenten (*) Defintionen:
 = 0)
 = -\nabla V(r))
 = 0)
Die Äquivalenz (*) muss man jedoch unter bestimmten Annahmen zeigen, und dabei geht eigtl. immer implizit ein, dass eine Kraft als Feldfunktion der Raumpunkte gegeben ist; d.h. Geschwindigkeitsabhängigkeit wird von vorneherein implizit ausgeschlossen.
Darauf könntest du dich berufen, ohne eine einzige Zeile zu rechnen.
Man kann natürlich versuchen, noch etwas weiter zu gehen. Betrachte die Bewegungsgleichung
Multiplizieren mit der Geschwindigkeit liefert für den ersten Term ein totales Differential:
Wenn nun für die Kraft F gilt
dann kannst du den zweiten Term ebenfalls als totales Differential schreiben, denn dann gilt
und es folgt
Wenn jedoch F nicht als Gradient aus einer skalaren Funktion V(r) abgeleitet werden kann, dann ist diese Umformung nicht zulässig und man kann keine erhaltenen Gesamtenergie [...] ableiten.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 06. Jan 2014 10:24 Titel: |
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Zunächst mal wäre zu klären, ob da wirklich ) steht, also mit einer Funktion  , oder  , also mit einer multiplikativen Konstanten .
Ich habe das zweite angenommen, weil sonst das Minuszeichen sinnlos ist. Das könnte man ja in die Funktion stecken. Wenn meine Annahme richtig ist, kannst du meinem Vorschlag folgen.
Wenn da aber eine tatsächlich eine beliebige Funktion der Geschwindigkeit steht, dürfte es keine allgemeine Antwort geben. Man kann dann auch Funktionen konstruieren, bei denen die Arbeit über einen geschlossen Weg Null wird. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 06. Jan 2014 10:58 Titel: |
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Wir haben konservative Kräfte über
und
definiert wobei ich bis jetzt immer den Weg über das Integral gegangen bin.
Die Definition über die Rotation ist mir nicht bekannt.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Mir ist nicht ganz klar wie du von der ersten auf die zweite Zeile kommst.
Kann ich mir das in etwa wie eine Kettenregel vorstellen, innere mal äußere Ableitung?
In der Aufgabe steht | Zitat: | | Versuchen Sie, sich diese Felder vorzustellen und durch Beurteilen zu entscheiden, ob die Kräfte konservativ sind oder nicht. Ansonsten: Rechnen! |
In der Musterlösung steht | Zitat: | Dieses Kraftfeld könnte eine Reibungskraft sein, die entgegen zur Geschwindigkeit gerichtet ist.
Bewegt man sich auf einer Kreisbahn, sieht man schnell, dass die Arbeit nicht verschwindet. |
Vielleicht kommt man hier besser durch überlegen weiter?
| Huggy hat Folgendes geschrieben: | | Zunächst mal wäre zu klären, ob da wirklich steht, also mit einer Funktion , oder , also mit einer multiplikativen Konstanten . |
Ja, ich habe die Gleichung genau so abgetippt wie sie auf meinem Arbeitsblatt steht, also nehme ich an, dass es sich um eine Funktion der Geschwindigkeit handelt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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| TomS Verfasst am: 06. Jan 2014 11:03 Titel: |
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Ja, natürlich ist das die Kettenregel.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 06. Jan 2014 11:14 Titel: |
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Du sollst also verschiedene Formen der Abhängigkeit von der Geschwindigkeit betrachten. Und eine wäre die von mir angedachte, die auch in der Musterlösung erwähnt wird mit der auch von mir vorgeschlagenen Kreisbahn. Mach das doch mal!
Eine zweite Variante wäre eine Kraft, die unabhängig von der Geschwindigkeit konstant in x-Richtung zeigt. Auch das wäre eine zulässige Funktion der Geschwindigkeit. Dann hat man ein konservatives Kraftfeld. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 06. Jan 2014 12:35 Titel: |
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| Huggy hat Folgendes geschrieben: | | Du sollst also verschiedene Formen der Abhängigkeit von der Geschwindigkeit betrachten. Und eine wäre die von mir angedachte, die auch in der Musterlösung erwähnt wird mit der auch von mir vorgeschlagenen Kreisbahn. Mach das doch mal! |
Ein Teilchen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn, die Kraft ) wirkt der Geschwindigkeit immer entgegen (wie es die Reibung tun würde).
Aber an dieser Stelle komme ich nicht weiter, ich kann mir nicht vorstellen wie die Gesamtarbeit aussieht.
Mir ist klar, dass Reibung nicht konservativ ist.
Wenn sich ein Teilchen in einem nicht konservativen Kraftfeld vom Punkt P1(0|0|0) zum Punkt P2(1|1|1) bewegt, wird eine bestimmte Arbeit W verrichtet, bewegt es sich die gleiche Strecke zurück wird die gleiche Arbeit W wieder verrichtet, so dass insgesamt die Arbeit 2W verrichtet wurde (die Vorzeichen der auf den zwei Wegen verrichteten Arbeiten muss gleich sein?).
So muss es dann auch auf der Kreisbahn sein. Also zum Schluss, dass die Kraft nicht konservativ ist komme ich nur durch die Assoziation mit der Reibung.
Ich kann das nicht besser formulieren als eben versucht und schon garnicht in Zahlen fassen.
Kann mir vielleicht jemand ein sehr einfaches Zahlenbeispiel für eine geschwindigkeitsabhängige Kraft bzw. Reibung geben? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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| TomS Verfasst am: 06. Jan 2014 12:40 Titel: |
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In deinem Beispiel (Reibung) wechselt der Term
entlang des Weges nie das Vorzeichen, das Wegintegral kann also nicht Null sein.
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 06. Jan 2014 12:44 Titel: |
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Intuitiv würde ich auch sagen, dass der Term sein Vorzeichen nie ändert.
Aber die Geschwindigkeit ist doch auf gegenüberliegenden Seiten des Kreises
entgegengesetz, hat also verschiedene Vorzeichen. |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 06. Jan 2014 12:50 Titel: |
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Jo, eben ist der Knoten geplatzt.
Der Term ändert nie sein Vorzeichen.
Vielen Dank  |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 06. Jan 2014 12:51 Titel: |
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Du solltest das mal ganz formal herleiten. Als Kraftgesetz nimmst du
Ich benutze  statt  , damit die Variable  als x-Koordinate verwendet werden kann. Jetzt soll
\cdot d\vec r)
auf einem Kreis  berechnet werden. Weißt du, wie man das prinzipiell macht? |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 06. Jan 2014 13:06 Titel: |
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Ich würde das auch ganz gerne mal herleiten.
Bisher bin ich davon ausgegangen, dass mit der Variablen  eine Geschwindigkeit nur in x-Richtung gemeint war,
aber wir können das gerne auch allgemeiner fassen.
| Huggy hat Folgendes geschrieben: | Jetzt soll
auf einem Kreis berechnet werden. Weißt du, wie man das prinzipiell macht? |
Bei einer ortsabhängigen Kraft wüsste ich wie ich vorgehen muss,
bei einer geschwindigkeitsabhängigen Kraft nicht.
Für eine Kreisbahn bieten sich wohl oder übel Kugelkoordinaten an? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 06. Jan 2014 13:13 Titel: |
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Um das Integral zu berechnen, benötigt man eine Parameterdarstellung der Kurve, über die integriert werden soll. In der Physik ist es fast immer zweckmässig, als Parameter die Zeit t zu nehmen. Dann ist die Geschwindigkeit als Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit automatisch enthalten. Wie lautet denn die Parameterdarstellung eines Kreises, der mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen wird? Und wie lautet das Integral bei einer gegebenen Parameterdarstellung der Kurve? |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 06. Jan 2014 13:47 Titel: |
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Die gegen das Vektorfeld verrichtete Arbeit ist
.
Die Bahnkurve wird durch den Ortsvektor )
durchlaufen. Der Ortsvektor ist durch die Zeit t parametrisiert.
Für das Integral ergibt sich
,y(t),z(t)), F_y((x(t),y(t),z(t))))
 ) .
Soweit richtig? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 06. Jan 2014 13:58 Titel: |
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Das ist so weit richtig. Die übliche Schreibweise dafür wäre:
)\cdot \dot {\vec r}(t)\ dt)
wobei ) eine Parameterdarstellung der Kurve K ist. Bleibt also noch die Frage, wie sieht die Parameterdarstellung eines Kreises aus, der mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen wird? |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 06. Jan 2014 14:22 Titel: |
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Alle Punkte auf dem Kreis werden von dem Vektor
=\begin{pmatrix}acos(\phi(t)) \\ asin(\phi(t)) \end{pmatrix} )
durchlaufen. Der Mittelpunkt des Kreises liegt im Ursprung, a ist der Radius des Kreises.
=\begin{pmatrix}a\dot{\phi}(r)(-sin(\phi(t))) \\ a\dot{\phi}(r)cos(\phi(t))) \end{pmatrix} )
/Edit: falsch abgeleitet |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 06. Jan 2014 16:09 Titel: |
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| Marko hat Folgendes geschrieben: | Alle Punkte auf dem Kreis werden von dem Vektor
durchlaufen. Der Mittelpunkt des Kreises liegt im Ursprung, a ist der Radius des Kreises. |
Richtig. Bei dir ist die Geschwindigkeit allerdings noch variabel. Bei einer konstanten Geschwindigkeit vereinfacht sich das zu:
=\begin{pmatrix}a \cos(\omega t) \\ a \sin(\omega t) \end{pmatrix} )
Jetzt kannst du  und damit  ausrechnen und anschließend das Integral. Dann siehst du, dass es nicht Null wird.
Um zu sehen, dass das Integral nicht Null wird, braucht man die explizite Darstellung von nicht unbedingt. Man kann in
) \cdot \dot {\vec r}(t) dt)
auch direkt das unterstellte Kraftgesetz
)
einsetzen. Das reicht um zu sehen, dass das Integral nicht Null wird. Es ist die etwas formalere Umsetzung der Argumentation von TomS. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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| TomS Verfasst am: 06. Jan 2014 16:16 Titel: |
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Ich denke, man sollte das Ganze mit etwas physikalischer Intuition angehen.
Geschwindigkeitsabhängige Reibungskräfte sind immer entgegen der Bewegungsrichtung gerichtet. D.h. das o.g. Argument bzgl. des Vorzeichenwechsels gilt bei Reibungskräften allgemein. Dabei könnte die Ortsabhängigkeit der Kraft z.B. durch variierende Dichte entstehen.
Kompliziertere Beispiele wären Bewegungen von Teilchen in Flüssigkeitsströmungen. Dabei muss die Relativbewegung des Teilchens im Bezug auf die Flüssigkeitsströmungen berücksichtigt werden. Hier wird die Strömung i.A. das Teilchen nicht nur abbremsen, sondern ggf. auch beschleunigen; und die Richtung dieser Kraft ist sicher nicht zwingend entgegengesetzt der Bewegungsrichtung des Teilchens
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 06. Jan 2014 16:23 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke, man sollte das Ganze mit etwas physikalischer Intuition angehen. |
Da stimme ich dir zu.
Gerade für den physikalischen Anfänger ist es aber auch notwendig zu lernen, wie man die Dinge konkret rechnen kann. Auch wird bei Übungsaufgaben die rein intuitive, physikalische Argumentation nicht immer anerkannt. Das schmälert ihren Wert keineswegs. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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| TomS Verfasst am: 06. Jan 2014 16:50 Titel: |
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Es ging mir auch nur darum, zu erklären, dass unter bestimmten Voraussetzungen konkrete Aussagen möglich sind. Unter ganz allgemeinen Voraussetzungen (beliebige Flüssigkeitsströmungen, beliebige Wege) sind dagegen keine Aussagen möglich; hier würde gelten, dass es bestimmte Wege geben kann, für die die Arbeit verschwindet, dass jedoch im Allgemeinen das Integral ungleich Null ist (damit würde man die Kraft natürlich auch als nicht konservativ bezeichnen,aber wie ich zu Beginn gesagt habe, ist das eher bereits Defintionssache)
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 06. Jan 2014 19:44 Titel: |
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Danke TomS und Huggy für die ausführlichen Erklärungen.
Vom Verständis, wie es schätze ich mal vom Aufgabensteller gedacht war,
habe ich begriffen um was es geht.
Die Kraft wirkt der Bewegung immer entgegen, die Vorzeichen wechseln nie, daher ist der Term nicht 0 und die Kraft nicht konservativ.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Es ging mir auch nur darum, zu erklären, dass unter bestimmten Voraussetzungen konkrete Aussagen möglich sind. |
Wenn ich dich richtig verstanden habe, wären auch Kräfte denkbar die konservativ sind, also kann die Frage nicht mit konservativ oder nicht konservativ beantworten.
Mathematisch habe ich da aber noch so ein paar Problemchen 
| Huggy hat Folgendes geschrieben: |
Um zu sehen, dass das Integral nicht Null wird, braucht man die explizite Darstellung von nicht unbedingt. Man kann in
auch direkt das unterstellte Kraftgesetz
einsetzen. Das reicht um zu sehen, dass das Integral nicht Null wird. Es ist die etwas formalere Umsetzung der Argumentation von TomS. |
Im Integral ist doch eine Kraft in Abhänigigkeit des Ortes gefragt, die von uns betrachtete Kraft ist aber geschwindigkeitsabhängig, das kann ich doch nicht einfach füreinander einsetzen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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| TomS Verfasst am: 06. Jan 2014 22:01 Titel: |
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| Marko hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich dich richtig verstanden habe, wären auch Kräfte denkbar die konservativ sind, also kann die Frage nicht mit konservativ oder nicht konservativ beantworten. |
Ich glaube, das hast du missverstanden. Was ich sagen will ist, dass auch in komplizierten, geschwindigkeitsabhängigen Fällen einzelne Wege denkbar sind, für die das o.g. Integral verschwindet. Aber eine Kraft ist dann konservativ, wenn das Integral für beliebige Wege (und beliebige Geschwindigkeiten entlang des Weges) verschwindet.
Wir müssten also zeigen, dass das Integral für beliebige Wege verschwindet, um zu beweisen, dass eine Kraft konservativ ist. Umgekehrt genügt es zu zeigen, dass (mindestens) ein Weg existiert, entlang dessen das Integral nicht verschwindet, um zu beweisen, dass eine Kraft nicht konservativ ist.
Nehmen wir der Einfachheit halber an, die Kraft liese darstellen als Summe einer konservativen Kraft (z.B. Gewichtskraft) und einer nicht-konservativen Kraft (z.B. Reibungskraft). In diesem Fall wissen wir, wie sich die Gesamtkraft zusammensetzt. Im allgemeinen Fall wissen wir das nicht, d.h. wir haben keine andere Möglichkeit, als alle Integrale
)
entlang aller Wege (mit beliebigen Geschwindigkeiten) zu berechnen, um zu erkennen, ob eine Kraft konservativ ist. Es ist natürlich viel einfacher, ein einziges Gegenbeispiel zu finden, um das Gegenteil zu zeigen.
Anmerkung: beim o.g. Integral W[C] bzw. dem Weg C handelt es sich nicht notwendigerweise um eine reale Bahnkurve. Es werden beliebige Wege betrachtet. Die Eigenschaft
ist dabei keine Eigenschaft des (der) Wege, sondern einzig eine Eigenschaft der Kraft F. Sie gilt auch für Wege C, die keine Lösungen der Bewegungsgleichungen sind. Probier's aus )-;
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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| TomS Verfasst am: 06. Jan 2014 22:03 Titel: |
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| Marko hat Folgendes geschrieben: | | Im Integral ist doch eine Kraft in Abhänigigkeit des Ortes gefragt, die von uns betrachtete Kraft ist aber geschwindigkeitsabhängig, das kann ich doch nicht einfach füreinander einsetzen? |
Gemeint ist die Kraft
)
wobei entweder r oder v oder beides auftreten kann.
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 07. Jan 2014 07:32 Titel: |
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Ich habe nochmal ein wenig rumprobiert aber ich muss sagen,
dass das alles sehr dünnes Eis für mich ist.
Von den Einheiten überzeugt mich das Ganze nicht so.
=\begin{pmatrix}a\omega (-sin(\omega t)) \\ a\omega cos(\omega t) \end{pmatrix} )
 \cdot d\vec r=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec F(\vec {r}(t), \vec {\dot{r}}(t)) \cdot \dot {\vec r}(t)\ dt)
) \\ -ca\omega cos(\omega t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\omega (-sin(\omega t)) \\ a\omega cos(\omega t) \end{pmatrix} dt)
-ca^2 \omega^2 cos^2(\omega t) dt)
) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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| TomS Verfasst am: 07. Jan 2014 10:20 Titel: |
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Das passt alles.
In Kürze: zu berechnen ist
wobei C hier speziell einen Kreis mit Radius a repräsentiert, der mit konstanter Winkelgechwindigkeit omega durchlaufen wird.
Mit
folgt
)
Wenn du nun die Zeit für einen vollständigen Umlauf ansetzt, dann ist
und somit
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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| TomS Verfasst am: 07. Jan 2014 10:24 Titel: |
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| Marko hat Folgendes geschrieben: | | Von den Einheiten überzeugt mich das Ganze nicht so.] |
Alles OK. Zunächst musst du [c] so bestimmen, dass [F] = N = kg m/s gilt. Das ergibt [c] = kg/s. Damit ist [W] = [c] * m² / s = kg m² / s² wie es sein muss.
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 07. Jan 2014 10:54 Titel: |
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Ja, vielen Dank. Passt alles.
Ich habe hier noch ein weiteres Kraftfeld
=\alpha\vec{x} ) .
Es ist ein Zentralkraftfeld wie die Gravitation, sollte also konservativ sein.
Integrieren möchte ich über einen Einheitskreis durch den Ursprung.
\vec {dx}=\int_C \alpha \begin{pmatrix}cos(\phi) \\ sin(\phi) \end{pmatrix}\vec {dx}/d\phi d\phi )
 \\ sin(\phi) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-sin(\phi) \\ cos(\phi) \end{pmatrix} d\phi )
Was mache ich denn mit einem Integral über 0?
\Edit: Kann ich als Stammfunktion eine Konstante annehmen? Dann würde ich auf das gewünschte Ergebnis 0 kommen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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| TomS Verfasst am: 07. Jan 2014 11:59 Titel: |
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| Marko hat Folgendes geschrieben: | | Integrieren möchte ich über einen Einheitskreis durch den Ursprung. |
Dein Einheitskreis geht nicht durch den Ursprung. Dazu brauchst du statt
sowas wie
| Marko hat Folgendes geschrieben: | | Was mache ich denn mit einem Integral über 0? |
Ein bestimmtes Integral über die Nullfunktion ist Null.
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 07. Jan 2014 12:33 Titel: |
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Ich meinte mit Mittelpunkt im Ursprung.
Vielen Dank nochmals, ich denke die groben Fragen sind vorerst geklärt . |
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 08. Jan 2014 12:08 Titel: |
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Ich habe hier ein mathematisch komplexeren Fall bei dem ich nicht weiß wie die Fläche zu parametrisieren ist.
Es gilt die von dem Kraftfeld =f_o(y\vec{e_x}-x\vec{e_y})) entlang eines, in der xy-Ebene liegenden Kreises mit Radius R um die z-Achse, geleistete Arbeit zu bestimmen.
Und zwar soll das mit dem Satz von Stokes geschehen.
d\vec{r}=\int_S d\vec{\sigma}(\nabla\times\vec{F}(\vec{r})))
du_i\,du_j)
Für den Kreis gilt  damit ist
=\begin{pmatrix} \sqrt{R-y^2} \\ \sqrt{R-x^2} \\ 0 \end{pmatrix}) .
)
Die Rotation ist null, das sollte denke ich nicht so sein.
Was habe ich denn falsch gemacht? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2014 13:31 Titel: |
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Mir ist nicht klar, was du da machst.
Einen Kreis in kartesischen Koordinaten zu parametrisieren wird nicht gut funktionieren, da du Probleme mit den Integrationsgrenzen bekommst.
Warum du die Rotation auf den Kreis wirken lässt, ist mir auch nicht klar. Es geht um die Rotation der Kraft.
Und verstehe ich dich richtig, dass du die Aufgabe mittels des Flächenintegrals lösen sollst?
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 08. Jan 2014 14:39 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Und verstehe ich dich richtig, dass du die Aufgabe mittels des Flächenintegrals lösen sollst? |
Ich soll die Aufgabe mittels des Satz von Stokes berechnen.
Der besagt, dass die Zirkulation eines Vektorfeldes gleich dem Fluss der Rotation durch eine Fläche S ist, die durch C begrenzt ist.
Wenn die Kraft auf einem geschlossen Weg wirkt, ist das doch eine Zirkulation eines Vektorfeldes?
Zuerst gilt es den gegebenen Weg sinnvoll zu parametrisieren. Ich mache das mal so wie in der vorherigen Aufgabe.
Jetzt muss ich, denke ich mal, die Aufgabe in Zylinderkoordinaten lösen.
))
 ist ein gerichtetes Flächenelement,
es steht senkrecht auf der betrachteten Fläche.
Damit ergibt sich
) .
Jetzt setze ich die parametrisierte Fläche ein
) .
 \rho\cos\phi-\frac{\partial}{\partial\phi} f_0\rho\sin\phi))
\cos\phi -f_0\rho\cos\phi))
\cos\phi -f_0\rho\cos\phi)d\rho\,d\phi)
Sieht das jetzt besser aus? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2014 16:32 Titel: |
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Das ist alles viel zu kompliziert.
Deine Kreisfläche liegt in der xy-Ebene, daher gilt zunächst
Die Rotation berechnest du am einfachsten in kartesischen Koordinaten
Damit sind Rotation und Flächenormale parallel und konstant:
 = -2f_0 \int_S dS = -2f_0A)
wobei A für die Fläche des Kreises steht.
Natürlich kannst du das such explizit und "zu Fuß" berechnen, aber in diesem speziellen Fall solltest du die Symmetrie des Problems benutzen.
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Marko
Anmeldungsdatum: 30.12.2013
Beiträge: 62
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| Marko Verfasst am: 08. Jan 2014 22:43 Titel: |
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Bildet man die Rotation in kartesischen Koordinaten geht es auch "zu Fuß" besser.
Was könnte das denn für ein Kraftfeld sein? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18132
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