| Autor |
Nachricht |
escapado
Anmeldungsdatum: 08.05.2013
Beiträge: 49
|
 escapado Verfasst am: 20. Okt 2013 11:25 Titel: Senkrechter Wurf (ungleichmäßig beschleunigt) |
 |
|
Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe. Zunächst sollte ich aus dem 2. newtonschen Axiom die Wurfhöhe h beim senkrechten Wurf in Abhängigkeit der Anfangsgeschwindigkeit berechnen. Das war recht leicht. Ich rechne mit Skalaren weil die Bewegung nur in einer Dimension ist und ich erhalte durch zweimaliges integrieren letztlich mit a = -g = konst:
Soweit so gut. Nun soll ich die Wurfhöhe unter Berücksichtigung der höhenabhängigen Erdbeschlenigung nach dem Gravitationsgesetz bestimmen. Wenn ich es richtig sehe, dann ist es ausreichend zu sagen:
Also entweder ich habe eine Sache falsch verstanden oder ich habe einen dummen Hänger. Denn diese Gleichung lässt sich nicht sonderlich schön nach h auflösen. Zuletzt soll ich beantworten bis zu welcher Wurfhöhe h der Unterschied zwischen den beiden Methoden unter einem Promille liegt (g=9.81 m/s^2, R =6400km) und wie diese Höhe von g abhängt.
Ist es hier richtig zu schreiben:
Falls ja, darf ich dann die Gleichungen so wie sie oben sind direkt einsetzen und nach h umformen? |
|
 |
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 20. Okt 2013 11:42 Titel: |
|
|
Hi,
in deiner ersten Gleichung ist doch die Steighöhe in Abhänigkeit der Zeit t dargestellt, müsste es nicht heißen:
=\frac{1}{2} \cdot \frac{v_0^2}{g}+h_0)
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
|
|
buell23
Anmeldungsdatum: 13.11.2006
Beiträge: 238
|
| buell23 Verfasst am: 20. Okt 2013 12:15 Titel: |
|
|
ho zum Zeitpunkt to = 0
dein Radius ist hier nicht h, sondern (r_Erde+h)
das zum Quadrat wäre in meinen Augen sogar, eine kubische Gleichung.
ich würde es mal mit dem Ansatz von Planck versuchen, damit kommst du dann auf eine quadratische Gleichung, wovon die negative Lösung wegfällt.
 \pm \sqrt{(2 \cdot r_{Erde} \cdot v_{0}^2 -2 \cdot G \cdot M)^2 + 4 \cdot v_{0}^4 \cdot r_{Erde}^2} }{2 \cdot v_{0}^2} ) |
|
|
escapado
Anmeldungsdatum: 08.05.2013
Beiträge: 49
|
| escapado Verfasst am: 20. Okt 2013 17:53 Titel: |
|
|
Ich glaube nun nach einigem hin und her auch das nach der maximalen Höhe gefragt war und dann komme ich auch auf die Lösungen von euch beiden für die jeweiligen Fälle.
Aber mir ist dann noch immer nicht ganz klar wie ich die letzte Frage beantworten soll. Setze ich die beiden Gleichungen einfach ein dann bleibt da kein Höhenterm mehr übrig. |
|
|
buell23
Anmeldungsdatum: 13.11.2006
Beiträge: 238
|
| buell23 Verfasst am: 20. Okt 2013 18:21 Titel: |
|
|
Du hast doch h1 und h2 (mit Gravitationsgesetz)
du möchtest nun dein h1 erhalten, mit dem der unterschied zu h2 genau einem Promille entspricht
das dh = h2-h1
mit dh <= 1/1000
wäre dann doch dein h1 = h2-dh |
|
|
escapado
Anmeldungsdatum: 08.05.2013
Beiträge: 49
|
| escapado Verfasst am: 20. Okt 2013 18:45 Titel: |
|
|
| buell23 hat Folgendes geschrieben: | Du hast doch h1 und h2 (mit Gravitationsgesetz)
du möchtest nun dein h1 erhalten, mit dem der unterschied zu h2 genau einem Promille entspricht
das dh = h2-h1
mit dh <= 1/1000
wäre dann doch dein h1 = h2-dh |
Ich muss ein Brett vor dem Kopf haben aber:
 - \sqrt{(2 \cdot r_{Erde} \cdot v_{0}^2 -2 \cdot G \cdot M)^2 + 4 \cdot v_{0}^4 \cdot r_{Erde}^2} }{2 \cdot v_{0}^2} - \frac{1}{1000}) das ist die vollständige Antwort? Wenn ich nämlich sowohl h1 als auch h2 einsetzte, dann steht in der Gleichung ja kein h mehr. Also auch keine Höhe ab der das gilt. |
|
|
buell23
Anmeldungsdatum: 13.11.2006
Beiträge: 238
|
| buell23 Verfasst am: 20. Okt 2013 19:32 Titel: |
|
|
Du musst es sozusagen unabhängig machen von vo.
ich würde da nochmal h1 hernehmen mit vo^2/2g
für h2 --> g mit GM/(r_Erde+h)^2 ersetzen
nach vo^2 umformen und gleichsetzen
h1 ersetzen durch (h2-dh)
dann hast du wieder eine quadr. Gleichung.
nach h2 lösen |
|
|
escapado
Anmeldungsdatum: 08.05.2013
Beiträge: 49
|
| escapado Verfasst am: 20. Okt 2013 19:47 Titel: |
|
|
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich richtig verstanden habe, aber diese Rechnung müsste doch auch richtig sein und entsprechen:
^2}{GM}}{\frac{1}{2} \frac{v_0^2}{g}} >0.999 \\
<br />
\Leftrightarrow & (R+h)^2 > 0.999\frac{GM}{g} \\
<br />
\Leftrightarrow & h > \sqrt{ 0.999\frac{GM}{g}} -R
<br />
)
Hier bin ich nun unabhängig von der Anfangsgeschwindigkeit. Mit Literaturwerten kommt da aber aber mist raus, weil man einen leicht negativen Wert erhält, also wäre die Interpretation das bereits 30km unterhalb der Erdoberfläche die Rechnung falsch ist. Hier ist der Wurm drin![/latex] |
|
|
buell23
Anmeldungsdatum: 13.11.2006
Beiträge: 238
|
| buell23 Verfasst am: 20. Okt 2013 20:05 Titel: |
|
|
dass h2 größer als 0.999 h1 ist, stimmt, aber du ersetzt hier h2 durch den Ausdruck im Zähler, indem aber wieder das h2 steckt (r_Erde*h2)
Das ist sozusagen wie wenn du einen Zirkelbezug erzeugst.
Ich würde es auf die Art machen, wie ich es schon beschrieben hab. |
|
|
escapado
Anmeldungsdatum: 08.05.2013
Beiträge: 49
|
| escapado Verfasst am: 20. Okt 2013 20:34 Titel: |
|
|
Es tut mir wirklich leid, dass das hier so umständlich ist mit mir. Aber ich möchte das wirklich begreifen.
Ich gehe jetzt genau so vor, wie du gesagt hast, komme aber an einer Stelle nicht ganz weiter:
^2}{GM} \Leftrightarrow v_0^2 = \frac{2h_2(R+h)^2}{GM} \\
<br />
&\frac{2h_1}{g}= \frac{2h_2(R+h)^2}{GM} \\
<br />
&\frac{(h_2-\Delta h)}{g} = \frac{2h_2(R+h)^2}{GM}
<br />
)
Da kann ja nun irgendetwas nicht so ganz stimmen oder? Mir ist hier auch nicht ganz klar ob h und h_2 dann nicht das gleiche sind. Dann wäre das aber auch eine kubusche Gleichung oder nicht? Falls sie ungleich sind und ich nach h_2 auflöse erhalte ich
})
Das muss doch verkehrt sein. |
|
|
buell23
Anmeldungsdatum: 13.11.2006
Beiträge: 238
|
| buell23 Verfasst am: 20. Okt 2013 21:11 Titel: |
|
|
| escapado hat Folgendes geschrieben: | Es tut mir wirklich leid, dass das hier so umständlich ist mit mir. Aber ich möchte das wirklich begreifen.
Ich gehe jetzt genau so vor, wie du gesagt hast, komme aber an einer Stelle nicht ganz weiter:
^2}{2\cdot GM} \Leftrightarrow v_0^2 = \frac{2 \cdot h_2 \cdot G \cdot M}{(R+h_2)^2} \\
<br />
&2 \cdot h_1 \cdot g= \frac{2 \cdot h_2 \cdot G \cdot M}{(R+h_2)^2} \\
<br />
&h_1 \cdot g= \frac{h_2 \cdot G \cdot M}{(R+h_2)^2} \\
<br />
&(h_2 - \Delta h) \cdot g= \frac{h_2 \cdot G \cdot M}{(R+h_2)^2} \\
<br />
<br />
)
|
hallo
stimmt, ich habs mir vorher nur im Kopf mal durchgespielt anstatt gerechnet. Ein Paar Fehler hab ich dir oben korrigiert.
du hast recht, es ergibt somit eine kubische Gleichung.
dürft ihr diese denn nicht mit dem TR lösen?
Ich mein, wenn man solche Rechnungen mit den Gravitationsgesetz anstellt wird es immer gleich kompliziert in der Lösung. |
|
|
escapado
Anmeldungsdatum: 08.05.2013
Beiträge: 49
|
| escapado Verfasst am: 20. Okt 2013 22:23 Titel: |
|
|
Oh gott das waren verdammt peinliche Fehler. So ist das, wenn man zu wenig schlaf hat! 
Ich habe das mal in Mathematica eingetippt und versucht lösen zu lassen. Keine der Ausdrücke ist auch nur im Ansatz schön. Die sind alle wahnsinnig lang und kompliziert . Hier die Antwort von Wolframalpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5B%28h+-+H%29*g+%3D%3D+%28h*G*M%29%2F%28R+%2B+h%29%5E2%2C+h%5D |
|
|
buell23
Anmeldungsdatum: 13.11.2006
Beiträge: 238
|
| buell23 Verfasst am: 20. Okt 2013 23:41 Titel: |
|
|
ich bin sogesehen auch nicht gerade ganz fit, sondern ein bisschen kränklich. ich schau mir das morgen mal genauer an.
an der genauen lösung bin ich nun selbst interessiert. |
|
|
Endyrain
Gast
|
| Endyrain Verfasst am: 28. Okt 2013 03:41 Titel: Energieansatz |
|
|
Das ganze geht auch über einen Energieansatz (wenn nur die Umkehrpunkte hmax gefragt sind)
Es muss also gelten 
Für konstante Erdbeschleunigung ergibt sich:
Nun zu variablen Fall:
Die Anhebung eines Körpers(Masse m) um ein Höhenstück  führt zu einer Änderung der Potentiellen Energie um:
aus dem Energieansatz folgt nun  zu:
löst man die Gleichungen für  und nach  und setzt diese gleich ergibt sich:
}=!(1-\frac{1}{1000}))
nutzt man noch die Relation  so Vereinfachen sich obige Gleichung sogar noch zu:
}=!(1-\frac{1}{1000}))
sollte was um die 6km für rauskommen.
Ich hoffe mal das war alles richtig was ich da so zusammen geschrieben hab also lieber noch mal genauer drüber lesen  |
|
|
Endyrain
Gast
|
| Endyrain Verfasst am: 28. Okt 2013 05:50 Titel: Fehler gefunden |
|
|
Hab nen kleineren Fehler gefunden. Ich hab bei der variablen Erdbeschleunigung in dem Integral für Epot die Masse des Körpers m nicht mit in das Endergebnis übernommen.
Den Rest beeinflusst dass aber nicht da m sich im Energieansatz rauskürzt... |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
|
| TomS Verfasst am: 28. Okt 2013 06:37 Titel: Re: Senkrechter Wurf (ungleichmäßig beschleunigt) |
|
|
| escapado hat Folgendes geschrieben: | Wenn ich es richtig sehe, dann ist es ausreichend zu sagen:
|
Der Ansatz ist falsch, da die letzte Gleichung nur für konstante Beschleunigung gilt. I.A. musst du eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in r(t) lösen, das ist recht kompliziert.
Einfacher geht es - wie in den Beiträgen zuvor - mittels Energiesatz. Leider ist da u.a. der Ansatz
| Endyrain hat Folgendes geschrieben: | |
für die potentielle Energie falsch.
Richtig lautet der Ansatz für die erhaltene Gesamtenergie
wobei M und R für die Masse bzw. den Radius der Erde stehen. Daraus folgt sofort v(h) als eine Funktion von h. Indem du diesen Ausdruck zweimal auswertest und gleichsetzt - einmal für Starthöhe h=0 und Anfangsgeschwindigkeit sowie einmal für maximale Steighöhe H und Endgeschwindigkeit 0 - kannst du H als Funktion der Anfangsgeschwindigkeit ermitteln.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Endyrain
Gast
|
| Endyrain Verfasst am: 28. Okt 2013 07:43 Titel: |
|
|
|
Sorry dann sollte mein Beitrag gelöscht werden |
|
|
GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
|
| GvC Verfasst am: 28. Okt 2013 10:59 Titel: Re: Senkrechter Wurf (ungleichmäßig beschleunigt) |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | ...
Richtig lautet der Ansatz für die erhaltene Gesamtenergie
wobei M und R für die Masse bzw. den Radius der Erde stehen. Daraus folgt sofort v(h) als eine Funktion von h. Indem du diesen Ausdruck zweimal auswertest und gleichsetzt - einmal für Starthöhe h=0 und Anfangsgeschwindigkeit sowie einmal für maximale Steighöhe H und Endgeschwindigkeit 0 - kannst du H als Funktion der Anfangsgeschwindigkeit ermitteln. |
Das ist vollkommen richtig. Vielleicht ist aber wegen der "zweimaligen Auswertung" nicht jedem klar, dass es sich dabei um den klassischen Ansatz zur Berechnung der Wurfhöhe per Energieerhaltungssatz handelt: kinetische Anfangsenergie ist gleich der maximalen potentiellen Energie in der Höhe h.
mit
Das Ergebnis ist dann
oder für diejenigen, die keine Doppelbrüche mögen,
) |
|
|
buell23
Anmeldungsdatum: 13.11.2006
Beiträge: 238
|
| buell23 Verfasst am: 30. Okt 2013 22:20 Titel: |
|
|
Danke an GvC und Tom
jetzt habs auch ich begriffen, keine Ahnung was für einen Schrott ich da rechnen wollte..  |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
