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Dennis994
Anmeldungsdatum: 09.09.2013
Beiträge: 15
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 Dennis994 Verfasst am: 09. Sep 2013 19:31 Titel: Mehrstufiger Bremsvorgang (Kinematik) |
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Meine Frage:
Guten Tag miteinander,
folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen:
Ein Fahrzeug ist mit der konstanten Geschwindigkeit v = 20 m/s unterwegs.
Das Fahrzeug wird in zwei Stufen nacheinander abgebremst bis zum Stillstand. Stufe 1 mit  und Stufe 2 mit  . Die Gesamtstrecke ist s = 64m.
Gesucht ist die Dauer des Bremsvorgangs t.
Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe rangehen soll...
Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar.
Gruß
Dennis
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 09. Sep 2013 19:51 Titel: |
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Teile das Ganze auf, also berechne schrittweise die Geschwindigkeit nach dem ersten Teil (t1) und die Strecke nach dem ersten Teil. Dann kommt der zweite Teil dazu. Dann komme ich auf folgende Formeln:
 + \frac{1}{2} a_1 t_1^2 + \frac{1}{2} a_2 t_2^2 + a_1 t_1 t_2 \qquad 0 = v_0 + a_1 t_1 + a_2 t_2)
Nun lässt sich das mit quadratischer Ergänzung in eine lösbare Form bringen:
 t_2)
Aber wie gesagt, gehe die Aufgabe schrittweise an. Berechne erstmal, wie groß Geschwindigkeit und Weg nach Schritt 1 sind. Das sind dann deine neuen Anfangsbedingungen für Schritt 2.
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FeynmanForever
Anmeldungsdatum: 06.09.2013
Beiträge: 20
Wohnort: Leipzig
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| FeynmanForever Verfasst am: 09. Sep 2013 19:59 Titel: |
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Hallo Dennis,
zunächst einmal gilt:
 .
Dabei entspricht a der (konstanten) Bescheunigung, v der Geschwindigkeit, um die der Körper abgebremst (wenn a negativ ist) wird und t der dafür benötigten Zeit.
Außerdem gilt (um auch die Strecke s mit hereinzubringen):
 , wobei s die Bremsstrecke ist.
Hier erfolgt die Bremsung in 2 Stufen: Für die erste (a = -3 m/s^2) gilt
 und
und analog dazu für die zweite:
 und
Addiert man nun jeweils die v-t- und die s-t Gleichungen, erhält man:
 und
 . Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass
 und
 . Dies setzt du in die Gleichungen ein und löst das entstehende Gleichungssystem in t1 und t2. Diese Zeiten addierst du, um letztendlich die Gesamtzeit zu erhalten.
Ich hoffe, das hilft dir weiter!
Gruß,
FF
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 09. Sep 2013 20:34 Titel: |
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FeynmanForever, so geht das leider nicht. Denn es ist nicht  . Du musst auch die Anfangsgeschwindigkeit mit einbeziehen.
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FeynmanForever
Anmeldungsdatum: 06.09.2013
Beiträge: 20
Wohnort: Leipzig
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| FeynmanForever Verfasst am: 09. Sep 2013 20:41 Titel: |
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Stimmt, was für eine Dummheit!  Danke!
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Dennis994
Anmeldungsdatum: 09.09.2013
Beiträge: 15
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| Dennis994 Verfasst am: 09. Sep 2013 22:05 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | Teile das Ganze auf, also berechne schrittweise die Geschwindigkeit nach dem ersten Teil (t1) und die Strecke nach dem ersten Teil. Dann kommt der zweite Teil dazu. Dann komme ich auf folgende Formeln:
Nun lässt sich das mit quadratischer Ergänzung in eine lösbare Form bringen:
Aber wie gesagt, gehe die Aufgabe schrittweise an. Berechne erstmal, wie groß Geschwindigkeit und Weg nach Schritt 1 sind. Das sind dann deine neuen Anfangsbedingungen für Schritt 2. |
Vielen Dank.
Dennoch habe ich jetzt nach 3 Stunden aufgegeben.
Ich weiß einfach nicht wie ich den ersten Bereich ausrechnen soll, da ich zwar die Anfangsgeschwindigkeit und die Verzögerung gegeben hab, aber ohne Angaben von t und s nicht weiterkomme...
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 09. Sep 2013 23:16 Titel: |
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Warum machen sich bloß alle so viele Sorgen um die Lösbarkeit ihrer Probleme... Der Trick ist, einfach erstmal zu rechnen. Du bekommst schon genug Gleichungen.
Lass dich nicht davon entmutigen! Ich fand das Problem, zugegebenermaßen, auch ziemlich anspruchsvoll. Aber da hilft, sich einzureden, dass das Problem ja lösbar sein muss. Sonst wäre die Aufgabe ja nicht gestellt worden. 
Falls du Interesse hast, weiterzurechnen: Der erste Abschnitt ist doch klar. Du hast  und  . Das merkst du dir. Und dann tust du so, als wäre nichts geschehen, und startest einen neuen Abbremsvorgang, aber mit der Anfangsstrecke s1 und der Anfangsgeschwindigkeit v1. Und mit der Verzögerung a2. Die Zeit lassen wir einfach neu laufen und bis zum Stehenbleiben vergeht die Zeit t2.
Die allgemeine Gleichung ist doch ^2) . Also
 + (v_0 + a_1 t_1 ) t_2 + \frac{a_2}{2} t_2^2)
Wenn du t einführst für t1+t2 (also die Gesamtzeit für das Bremsmanöver), dann kannst du auch zusammenfassen
Und für die Geschwindigkeit hast du:
 t_2 = 0)
Das ergibt null, weil du ja hoffst, dass das Auto dann stehen bleibt. Dass ich hier etwas zusammengefasst habe, um dann (a2-a1)t2 zu bekommen, war einfach Intuition. Das hilft aber tatsächlich, denn du kannst dir nun die andere Formel für s vorknüpfen:
^2 + \frac{a_2 - a_1}{2} t_2^2 )
Der Trick hier war quadratische Ergänzung. D.h. du hast zwei Terme:  t_1^2 + a_1 t_1 t_2) und nur der dritte sieht etwas seltsam aus. Also tust du so, als ob dagestanden hätte  t_1^2 + a_1 t_1 t_2 + (a_1 / 2) t_2^2 = \frac{a_1}{2} (t_1 + t_2)^2) und versuchst, den Fehler wieder zu korrigieren, weil ja eigentlich  t_2^2) da stand. Du addierst also genau die Differenz dieses Gliedes und des dritten Gliedes der binomischen Formel:  t_2^2) . Das nennt man quadratische Ergänzung.
Du hast nun die Gleichungen
Die zweite Gleichung kannst du relativ einfach nach t2 umstellen. Das setzt du dann in die erste ein (es sollte eine quadratische Gleichung herauskommen). Und die stellst du nach t um.
EDIT: Und die Lösung ist nach meinen Umformungen (kann aber gut sein, dass ich mich vertan habe):
 \left( a_2 - \frac{a_1}{a_2} \right) + (1 - a_2 )} )
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 10. Sep 2013 14:59 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: |
EDIT: Und die Lösung ist nach meinen Umformungen (kann aber gut sein, dass ich mich vertan habe):
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Ja, da hast Du Dich definitiv vertan. Denn Du addierst und subtrahierst unter der Wurzel ganz munter Größen unterschiedlicher Dimension. Das geht, wie Du weißt, nicht.
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Dennis994
Anmeldungsdatum: 09.09.2013
Beiträge: 15
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 10. Sep 2013 15:34 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Ja, da hast Du Dich definitiv vertan. Denn Du addierst und subtrahierst unter der Wurzel ganz munter Größen unterschiedlicher Dimension. Das geht, wie Du weißt, nicht. |
Da hast du natürlich recht. Es war wohl noch sehr früh, als ich das gemacht habe.  Ich bin manchmal etwas schlampig bei meinen Notizen (eigentlich immer^^)...
Also korrekt wäre  + 4 s a_1 \left( 1 - \frac{a_1}{a_2} \right)}}{a_1}) . Da stimmen zumindest die Dimensionen.
| Dennis994 hat Folgendes geschrieben: | würde dann auch die gleichung  + a_2 * (t_2 - t_1 )) funktionieren? |
Ich nehme an, mit t2 meinst du die Zeit von Anfang bis Ende, richtig? Dann ja. Bei mir stand t2 für die Zeit allein für die zweite Bremsung, sodass die Gesamtzeit t1+t2 ist. Die Form, in der die Gleichung stand, war einfach zweckmäßig, weil man dann beim Einsetzen ein ) mit einem ^2) verrechnen konnte.
EDIT: Entschuldigung, ich habe gar nicht gesehen, dass du ein Bild hast. Ich wollte eigentlich nur auf GvC antworten und habe dann deinen Beitrag im Editierfenster gesehen. Da sieht man keine Anhänge... Was du geschrieben hast, stimmt jedenfalls.
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Dennis994
Anmeldungsdatum: 09.09.2013
Beiträge: 15
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| Dennis994 Verfasst am: 10. Sep 2013 16:07 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: |
Also korrekt wäre . Da stimmen zumindest die Dimensionen. |
hast du zufällig mal probiert die zahlenwerte einzusetzen? mein taschenrechner spuckt immer ein math-fehler aus xDD
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 10. Sep 2013 16:10 Titel: |
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Ich sehe es mir mal an. Ich habe schon so eine Vorahnung...
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 10. Sep 2013 16:12 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: |
...
Also korrekt wäre . Da stimmen zumindest die Dimensionen.
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Ja, die stimmen. Aber der Radikand ist negativ. Oder hast Du jetzt plötzlich für a1 und a2 die Beträge genommen. Bislang hattest Du immer die gegebenen negativen Beschleunigungen verwendet.
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 10. Sep 2013 16:50 Titel: |
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So, jetzt reicht es. Heute ist nicht mein Tag...
Ich habe das mal mit WolframAlpha abgeglichen.
| Code: | | solve((a1/2+a1^2/(2*(a2-a1)))*t^2+t*(v0+2*v0*a1/(2*(a2-a1)))+v0^2/(2*(a2-a1))-s=0,t) |
Der Teil vor der Wurzel stimmt. Dass a1 negativ ist, habe ich mal kurz vergessen, deswegen ist vermutlich das Vorzeichen vor der Wurzel falsch. In der Wurzel habe ich mich an zwei Stellen vertan (was vermutlich darauf zurückzuführen ist, dass ich beim Ziehen unter die Wurzel Quadrieren vergessen habe). Was letztendlich, in Übereinstimmung mit WolframAlpha, stimmt, ist
 \left( 1 - \frac{a_1}{a_2} \right) }}{a_1} )
Passt, Radikand ist positiv. Ergebnis positiv. Dimensionen stimmen.
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Dennis994
Anmeldungsdatum: 09.09.2013
Beiträge: 15
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| Dennis994 Verfasst am: 10. Sep 2013 17:04 Titel: |
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demnach braucht der Wagen 7,3 sekunden um zum stillstand zu kommen.
das hört sich gut an. 
vielen vielen dank.
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 10. Sep 2013 17:36 Titel: |
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Überprüfe das lieber noch einmal. Laut WolframAlpha wären auch 6 Sekunden möglich (anderes Vorzeichen vor der Wurzel). Darüber muss ich nochmal nachdenken.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 10. Sep 2013 17:44 Titel: |
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Natürlich muss da ein Minuszeichen vor die Wurzel, wie Du leicht abschätzen kannst.
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 10. Sep 2013 17:50 Titel: |
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GvC du hast schon wieder Recht. Weil -v0/a1 bereits weniger als 7,3s ist. D.h. physikalisch, schon alleiniges Abbremsen mit a1 ist effizienter, und mathematisch, dass t2 negativ ist. 
Andererseits stimmt zumindest die 6s. Das hat nämlich meine Simulation bestätigt.
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