Aufgabe Kinematik/Wind

Jupiter568853 · Anmeldungsdatum: 20.09.2018 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo allerseits,

hier also meine Frage: ich habe sie bezüglich eines Lösungsansatzes/Lösungsweges für folgende Aufgabe gestellt:

Zwei Schienenwege kreuzen sich im Winkel von 145°. Mit einer jeweils gleichbleibenden Geschwindigkeit von 60 km/h fahren sie gerade ihre Schienenwege entlang, dabei stoßen sie jeweils Dampf/Rauchfahnen aus, welche unter anderem von einem seine Richtung nicht ändernden und seine Geschwindigkeit beibehaltenen Wind, abgelenkt werden. Auftrag ist das Ermitteln der Richtung bzw. Vektor-Koordinaten und der Geschwindigkeit des Windes.

Siehe hierzu (Skizze): https://share-your-photo.com/12ca4a26fe

Meine Ideen:
Ich weiß, dass alle Vektoren komplanar zu einander sind, da sie sich alle auf einer Ebene (R^2) befinden. Entsprechend lässt sich jeder Vektor also auch als Linearkombination des anderen darstellen.
Sodass meine Idee in diese Richtung ging den gesuchten Vektor mittels dieser Methode zu ermitteln, doch sind die Koeffizienten unbekannt. Wie man es durch Konstruktion lösen könnte ist mir unklar (die Abbildung von mir soll als maßstabsgetreu angenommen werden). Die Geschwindigkeit könnte mitunter durch den Fahrrwind = Geschwindigkeit Züge ermittelt werden. Detaillierte Vorstellungen einer Lösung bezüglich dieses Problems habe ich bisher nicht, weshalb ich ja um Hilfe bitte.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Solltest Du nicht wenigstens die beiden Winkel

und

angeben?

Jupiter568857 · Gast

Entschuldigung hierfür

alpha=36°

beta=18°

cold▪Star · Gast

Mich würde ehrlich gesagt auch interessieren, wie man das lösen könnte, eine Idee hätte ich jedoch leider nicht.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Die Aufgabe ist weitgehend ähnlich mit einer Aufgabe, die bei der 1. Runde der Physik-Olympiade 2019 gestellt wird. Ich bin daher nicht sicher, ob hier gross Tipps für diese Aufgabe gegeben werden sollen. Allgemein: ziemlich viel herumrechnen mit Vektoren und Skalarprodukten...

Jupiter568853Ju7 · Gast

Das kann sein, in unserer AG (Physik-AG) werden solche Sachen, oft von unserem AG-Leiter daraus oder ähnlichen Sachen entnommen, oder umformuliert. Soweit ich weiß ist die Frist für die IPhO schon abgelaufen (12.09.). Also wäre es nicht schlimm einen Ansatz bzw. Tipp, Vorschlag zu geben.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Die Frist ist noch nicht abgelaufen. Der Stichtag für das Einsenden der Bearbeitungen durch die Lehrkräfte ist der 22.09.2018.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Jupiter568853000 · Gast

Jetzt ist die Frist doch abgelaufen?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Tipps kommen, wenn die Frist vorüber ist. Aber die Aufgabe ist wirklich nicht so schwierig;) Geht mit Konstruktion oder Rechnen.

Jupiter56885700 · Gast

Muss man da ein Vektorparallelogramm draus machen?

Jupiter56885300008 · Gast

Jetzt ist ja die Frist abgelaufen

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Ach so, sorry, ja. Also: nehmen wir mal an, der Zug A befinde sich zur Zeit

bei

. Zur Zeit

befand sich der Zug bei

. Der Rauch, der zu dieser Zeit

ausgestossen wird, befindet sich zur Zeit

bei

.

(

sei die Windgeschwindigkeit). Es gilt nun

oder

und analog

Dabei sollen

Vektoren parallel zu den Rauchfahnen von Zug A und B sein. Ihre Länge kann beliebig sein. r und s sind reelle Zahlen.

Man hat damit ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen für die Unbekannten

.

Einfacher erhält man die Windgeschwindigkeit und ihre Richtung mittels Konstruktion nach der gleichen Überlegung wie oben. Man muss nur die Rauchfahne von B richtig parallel verschieben, dann ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden Rauchfahnen die Windgeschwindigkeit.

Jupiter5688530009 · Gast

Danke!

Jupiter56885300008 · Gast

Ich habe jetzt nur flüchtig rüber gesehen. Ich habe jetzt nur drei Gleichungen gesehen.
Und die Terme vor der ersten geschrieben Gleichung geben ja keine der gesuchten Variablen an, delta t.

zihkkkbj78 · Gast

Mich würde das ehrlich gesagt auch interessieren.
@Jupiter ich kann dir leider hier auch nicht weiterhelfen, da ich das noch nicht in der Schule hatte (11. Klasse).

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Ich meinte diese obigen Gleichungen:

Oder, mit

,

:

Wenn man jeweils die x- und y-Komponenten der Vektoren nimmt (bzw. die Gleichungen mit den Einheitsvektoren

multipliziert), erhält man 4 skalare Gleichungen für die Unbekannten

, wobei die letzten beiden nicht interessieren. Man könnte die Gleichungen auch mit

skalar multiplizieren. Da diese Vektoren aber keine orthogonale Basis bilden, bringt das keine Vereinfachung.

In der Version der 1. Runde der Physik-Olympiade sind keine Winkel gegeben, sondern lediglich eine grafische Darstellung. Hier ist wohl eher gemeint, dass die Aufgabe durch Konstruktion gelöst wird. Man kann dazu die Geschwindigkeitsvektoren einzeichnen (Länge beliebig, mit Ende bei den Zügen bzw. Dampfschiffen). Dann verschiebt man die Rauchfahne von B mit dem entsprechenden Abstand parallel zum Anfangspunkt des Geschwindigkeitsvektors von A. Aus dem Schnittpunkt der Rauchfahnen, den man so erhält, bekommt man den Vektor der Windgeschwindigkeit. Seine Länge relativ zur Länge der Geschwindigkeitsvektoren ergibt den Betrag der Windgeschwindigkeit.

Jupiter7874084 · Gast

Ja, das stimmt, das wurde mir eben mitgeteilt, dass wir diese Aufgabe durch Konstruktion lösen konnten. Mich würde interessieren auf welchem mathematischen Gesetz, "Vektorenregel" dieser Ansatz beruht?

Jupiter8534687 · Gast

Mit welchem "entsprechenden Abstand"?
Und mit welchem Punkt muss der Schnittpunkt verbunden werden? Mit dem Punkt, wo der Rauch von Zug B entspringt?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Wie man auf die Gleichungen kommt, habe ich zu Beginn des vorletzten Beitrags versucht zu erklären. Einfach mal aufzeichnen, es sollte unmittelbar einleuchten.

Sonst hier noch ein Versuch: in der Grafik unten sei P1 der Ort von Zug A zur Zeit

. P2 sei der Zug zur Zeit

. Dann ist der rote Vektor gleich

, und der grüne Vektor ist

(der Endpunkt dieses Vektors muss auf jeden Fall irgendwo auf der Rauchfahne liegen).

Der blaue Vektor,

, sei nun ein beliebiger Vektor parallel zur Rauchfahne. Dann gilt die Gleichung von oben

für eine reelle Zahl r.

Damit sollte auch klar sein, wie die Konstruktion funktioniert. Man zeichnet bei beiden Zügen einen Geschwindigkeitsvektor ein mit gleicher Länge. Dann verschiebt man die Rauchfahne von B so, dass der Abstand der verschobenen Rauchfahne zum Anfangspunkt des Geschwindigkeitsvektors A gleich dem Abstand der ursprünglichen Rauchfahne B zum Anfangspunkt des Geschwindigkeitsvektors B ist. Der Vektor vom Anfangspunkt des Geschwindigkeitsvektors A zum Schnittpunkt der Rauchfahne A/verschobene Rauchfahne B entspricht der Windgeschwindigkeit. Sorry die etwas umständliche Erklärung, ich bin an einem Ipad und kann das nicht so einfach grafisch darstellen.

Jupiter568853000 · Gast

Nochmal danke bis hierhin, stimmts, dass die Windgeschwindigkeit kleiner als die der Züge?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Ja, die Windgeschwindigkeit sollte kleiner sein als die Geschwindigkeit der Züge. Hast Du es denn einmal ausgerechnet mit den obigen Grössen (Zuggeschwindigkeiten und Winkel von Gleisen und Rauchfahnen)? Ein lineares Gleichungssystem zu lösen sollte ja nicht so schwierig sein, allenfalls kann man auch den Computer benützen. Wenn Du eine der beiden Vektorgleichungen von der anderen subtrahierst, bleiben noch 2 skalare Gleichungen für 2 Unbekannte übrig.

Jupiter87677 · Gast

Das Problem ist, ich erhalte einen Wert größer 60 km/h (nämlich 68,4 km/h) und eine Richtung nach Nord-West, wenn ich konstruiere.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Hab mal einen Versuch mit GeoGebra gemacht. Mittels Konstruktion erhalte ich so eine Windgeschwindigkeit von gut 39km/h.

Rechnerisch erhalte ich 39.6km/h und für den Winkel zwischen

und

knapp 81° (wie die Schienen gegen Norden orientiert sind, wurde ja nicht angegeben).

Jupiter568853000 · Gast

Danke dafür,

jedoch gibt mir der rechnerische Weg immer noch zu denken, diesen will ich auch verstehen,
denn Variablen, wie delta t sind doch unbekannte oder legt man die einfach selbst fest?

cold▪Star · Gast

Hey, hier melde ich mich wieder, ich bin mir nicht ganz sicher, aber egal, die Werte kannst du dir aussuchen, sie ergeben sich aus der Zeichnung. Aber sicher bin ich mir hier nicht.

000000000000 · Gast

Ich frage mich interessanter Weise das Gleiche wie Jupiter. Kann es jedoch nicht lösen.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Ich werde morgen falls möglich noch einen Erklärungsversuch unternehmen, aber heute fehlt mir die Zeit dazu. Eigentlich habe ich oben schon einiges dazu geschrieben. Vielleicht nochmals nachlesen und dann nachfragen, was genau unklar ist.

Man kann die Gleichungen durch

dividieren, dann hat man statt der Unbekannten r und s eben

und

. r und s interessieren ja weiter sowieso nicht.

Wenn man die Gleichungen voneinander subtrahiert, hat man eine Vektorgleichung zweier Geraden mit den Steigungen der Rauchfahnen. Genau wie in der Konstruktion läuft es also darauf hinaus, dass man den Schnittpunkt zweier Geraden findet. Dass eine solche Gleichung mit zwei Unbekannten genau eine Lösung hat, ist auch anschaulich klar.

PS: In der Konstruktion oben ist der blaue Vektor gleich der Windgeschwindigkeit. Sein Betrag, relativ zum Betrag der Vektoren vA und vB, entspricht dem Windgeschwindigkeitsbetrag (oben Abstand EL=3.93, d.h. Windgeschwindigkeit = 39.3km/h. Die Konstruktion ist jedoch nicht ganz genau).

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Nochmals kurz: Ich versteh halt nicht ganz, wo die Unklarheit liegt. Wie oben beschrieben, gelten die beiden Gleichungen

Nun kann man z.B. die Gleichungen voneinander subtrahieren. Drückt man die Winkel der Vektoren

z.B. gegenüber der Horizontalen aus (inkl. richtigem Vorzeichen), und gilt

, erhält man das Gleichungssystem für

mit

Das Gleichungssystem kann man nach r', s' auflösen. Mit den Gleichungen zu Beginn folgt daraus der Windgeschwindigkeitsvektor

.

Jupiter56885398 · Gast

Wenn man mit dem Einheitsvektor multipliziert, bedeutet das ganz einfach, dass dann von je einer der zwei ursprünglichen Gleichungen es je eine Version mit y- bzw. x-Indizes gibt?
Entsprechend muss man dann die Gleichungen mit gleichen Indizes subtrahieren?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Ja, es wurden die beiden ersten Gleichungen im letzten Beitrag voneinander subtrahiert, und dann je eine skalare Gleichung für die x- und y-Komponenten gebildet.