Poisson-Klammer und Erhaltungsgrößen

Hobbit93 · Anmeldungsdatum: 24.06.2013 Beiträge: 31

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem mit etwas, was in meinem Script steht:

Es gilt nach der Def. von Poisson-Klammern (=[ ]) im Zentralpotential V(r):

und

für den Drehimpuls

Meine Ideen:
Das sieht für mich logisch aus, da es sich bei H=T+V und bei dem Drehimpuls um Erhaltungsgrößen handelt. Jetzt wollte ich das aber mal zur Übung nachrechnen und setzte also H und die allgemeine Komponente in die Definition der Poisson-Klammern ein.
Da kommt bei mir aber:

p' + x_k - x_i *q'_i
(' für den Zeitableitungs-Punkt)
heraus, was offensichtlich nicht null ist.

Könnt ihr mir helfen, wo mein Fehler ist?

Grüße
Hobbit93

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Zunächst mal solltest du dir klarmachen, dass die Poissonklammer für das Drehimpulsquadrat Null ist, wenn jede einzelne Poissonklammer (je Komponente) verschwindet.

Dann solltest du folgende Darstellung wählen

Leider kann ich deine Rechnung nicht nachvollziehen. Außerdem ist mir auch unklar, wie der Zeitableitungspunkt entstehen kann.

Hobbit93 · Anmeldungsdatum: 24.06.2013 Beiträge: 31

Ah, ok.
Der Zeitableitungspunkt entstand dadurch, dass ich die Hamilton-Bewegungsgleichungen eingesetzt habe.

Also Schritt für Schritt:
Gut, dann mal für

erstmal:

Für

kann ich das Kronecker-Delta dann nehmen, oder?

Und dann?

zracki · Anmeldungsdatum: 28.05.2013 Beiträge: 59

Betrachte die []-Klammer :

Der 2te Summand gibt 0 wegen der Antisymmetrie von epsilon.

Der erste ebenfalls, denn da V kugelsymmetrisch, muss es sich schreiben lassen als

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Hobbit, du vergisst gerade ein paar Terme aus der Klammer ... aber grundsätzlich bist du auf dem richtigen Weg. Die Terme schwinden aufgrund der Antisymmetrie.

Hobbit93 · Anmeldungsdatum: 24.06.2013 Beiträge: 31

Das erste verstehe ich gar nicht...

Das von TomS:
Welche Terme habe ich denn vergessen?
H=T+V ergibt doch nach x abgeleitet, dass dann nur dV/dx da steht?!

Hobbit93 · Anmeldungsdatum: 24.06.2013 Beiträge: 31

TomS: Könntest du mir sagen, wo ich Terme vergessen habe soll und mir die Korrigierte Form hier angeben, damit ich dann damit weiter rechnen kann?

Ich finde wirklich keinen Fehler...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Sorry, für dein spezielles H hast du völlig recht!

Hobbit93 · Anmeldungsdatum: 24.06.2013 Beiträge: 31

Ok,

dann folgt nun:

Und nun weiß ich nicht weiter. Dass soll ja irgendwie 0 werden, jedoch wie?

Ach, moment:

hat zwei gleiche Indizes, dann wird Levi-Civita 0, und somit der ganze Ausdruck, richtig?

Zum 2. Ausdruck:

Mit dem L-Quadrat: Da habe ich keine Ahnung, wie ich anfangen soll...
Gebt ihr mir einen kleinen Tipp?

Hobbit93 · Anmeldungsdatum: 24.06.2013 Beiträge: 31

Ok, danke. Alles beantwortet. Problem entschärft...