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Nachricht |
physixersti
Gast
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 physixersti Verfasst am: 24. Sep 2020 16:16 Titel: Poissonklammer aus Hamiltonian |
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Meine Frage:
Hallo, bei folgender Aufgabe komme ich nicht auf das richtige Ergebnis und ich erkenne meinen Fehler nicht. Leider haben wir keine ausführliche Lösung sondern nur das Ergebnis zur Verfügung. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte:
gegeben:
, mit U(r) = \frac{1}{2}kr^2 )
gesucht: Poissonklammer 
Meine Ideen:
Offensichtlich handelt es sich hier um ein Polarkoordinatenproblem mit generalisierten Koordinaten 
Für die kinetische Energie in Polarkoordinaten gilt:
 )
Aus dem Hamiltonian in der Angabe lässt sich nun (da H = T + V) auf den Lagrangian schließen:
 - \frac{1}{2}kr^2 )
Für den generalisierten Impulse  gilt dann:
Und somit für den gegebenen Hamiltonian:
Für die Poissonklammer gilt:
)
Der erste Term verschwindet wegen 
Der dritte Term verschwindet wegen 
Der vierte Term verschwindet wegen 
Der zweite Term verschwindet nicht, allerdings sagt die Lösung:
Kann mir jemand bitte meinen Fehler zeigen? Danke! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 24. Sep 2020 19:29 Titel: |
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Der zweite Term verschwindet auch. Dein Fehler besteht vermutlich darin  als unabhängige Variable zu betrachten, obwohl du sie für die Ableitung nach den Phasenraumvariablen als Funktion von  und  ausdrücken müßtest. Tatsächlich ist die Hamiltonfunktion ja schon in Abhängigkeit von Orten und Impulsen angegeben. Deine Elimination der Impulse durch die Geschwindigkeiten daher überflüssig.
Die zu berechnende Poissonklamer ist übrigens bis auf das Vorzeichen die rechte Seite der Hamiltonschen Gleichung
Ihr Verschwinden drückt also nichts anderes als die Erhaltung des kanonischen Impulses aus. Das ist natürlich auch sofort daran zu erkennen, daß  zyklisch ist. |
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physixersti
Gast
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| physixersti Verfasst am: 25. Sep 2020 16:00 Titel: |
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Hallo,
erstmal vielen Dank für Deine Antwort. Sie wirft aber ein paar Fragen bei mir auf:
1. Im zweiten Term kommt doch gar kein  vor. Wo meinst Du also hab ich Sie als unabhängige Variable betrachtet?
2. Was hilft mir hier die Hamiltonische Gleichung?
3. Lässt sich allgemein sagen, dass wenn die Variable zyklisch ist, dass dann die Poissonklammer aus Hamiltonian und dem kanonischen Impuls der entsprechenden Variable gleich Null ist?
Zyklisch heißt doch, dass für die entsprechende Variable nach Euler-Lagrange  gilt oder?
Sry für meine ganzen Fragen, ich bin nicht mehr ganz in der Materie drin und versuche das grad für eine Klausur nachzuarbeiten. Wenn Du mir nochmal weiterhelfen könntest wäre ich dankbar  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 25. Sep 2020 17:10 Titel: |
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Sorry, wenn ich mich hier einmische.
Zu 1. Mir ist nicht klar, mit welchem Hamiltonian du was rechnest. Kannst das nochmal hinschreiben? Grundsätzlich darf im kanonischen Formalismus keine Zeitableitung einer verallgemeinerten Ortskoordinate (= keine verallgemeinerte Geschwindigkeit) in der Hamiltonfunktion stehen; diese sind vollständig durch die kanonisch konjugierten Impulse auszudrücken.
Zu 3. Zu zyklischen Variablen.
Wenn q zyklisch ist, d.h. wenn
gilt, dann folgt
Da aber
gilt
Da nun
folgt
(in dieser Reihenfolge würde man die Gleichungen nicht herleiten, das dient nur zur Erklärung der Zusammenhänge)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 25. Sep 2020 17:16 Titel: |
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| physixersti hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
erstmal vielen Dank für Deine Antwort. Sie wirft aber ein paar Fragen bei mir auf:
1. Im zweiten Term kommt doch gar kein vor. Wo meinst Du also hab ich Sie als unabhängige Variable betrachtet?
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Das war nur eine Vermutung. Im zweiten Term kommt die Ableitung von nach r vor. Das ist ein paar Zeilen darüber als  angegeben. Wie kommst du denn auf die Idee, daß der zweite Term ungleich null ist? Vorgerechnet hast du das ja nicht.
| Zitat: |
2. Was hilft mir hier die Hamiltonische Gleichung?
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Es hilft nur einzusehen, warum die Klammer verschwinden muß. Für die eigentliche Rechnung hilft es nichts.
| Zitat: |
3. Lässt sich allgemein sagen, dass wenn die Variable zyklisch ist, dass dann die Poissonklammer aus Hamiltonian und dem kanonischen Impuls der entsprechenden Variable gleich Null ist?
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Ja, die Hamiltonschen Gleichungen für die konjugierten Impulse lauten ja
| Zitat: |
Zyklisch heißt doch, dass für die entsprechende Variable nach Euler-Lagrange gilt oder?
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Ja. |
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gast_3525352
Gast
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| gast_3525352 Verfasst am: 25. Sep 2020 18:00 Titel: |
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Hey index,
aus deinem ersten Post:
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Der zweite Term verschwindet auch. Dein Fehler besteht vermutlich darin als unabhängige Variable zu betrachten, obwohl du sie für die Ableitung nach den Phasenraumvariablen als Funktion von und ausdrücken müßtest. [...] |
Du meinst, dass da letztlich =...= p_{\phi}) stehen würde? |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 25. Sep 2020 18:34 Titel: Re: Poissonklammer aus Hamiltonian |
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| physixersti hat Folgendes geschrieben: |
Für die Poissonklammer gilt:
Der erste Term verschwindet wegen
Der dritte Term verschwindet wegen
Der vierte Term verschwindet wegen
Der zweite Term verschwindet nicht, allerdings sagt die Lösung:
Kann mir jemand bitte meinen Fehler zeigen? Danke! |
)
Also q und p sind die unabhängigen Variablen von H:
Für eine Erhaltungsgröße f gilt allgemein:
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 25. Sep 2020 19:08 Titel: |
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| gast_3525352 hat Folgendes geschrieben: |
Du meinst, dass da letztlich stehen würde? |
Die ganze Umformung ist überflüssig. Die Poissonklammer kannst du aus den partiellen Ableitungen nach Ortskoordinaten und den zugehörigen kanonischen Impulsen berechnen. Die Hamiltonfunktion ist bereits als Funktion dieser kanonischen Variablen gegeben. Das mußt du also nur noch einsetzen. Orts- und Impulskoordinaten sind voneinander unabhängig. (Das wurde auch bereits beim vierten Term verwendet.) |
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physixersti
Gast
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| physixersti Verfasst am: 26. Sep 2020 18:19 Titel: |
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Vielen Dank für die Antworten.
Ich versuche mal zu bündeln:
Als den zu betrachtenden Hamiltonian würde ich den heranziehen, wie er in der Aufgabe gegeben ist und wie ich ihn noch über dem Punkt 'meine Ideen' getecht habe.
Dass ich den Hamiltonian in dem bereits die kanonischen Impulse vorkommen nochmal umgeschrieben habe, liegt dran, dass mir bei der Berechnung der Poissonklammer  nicht klar ist, wie man z.B. den Ausdruck  auswertet.
Und ehrlich gesagt ist es mir immer noch nicht klar.
Meine Idee in Worten gefasst, war daher so vorzugehen:
1. Erkenne um welche Koordinaten es sich handelt, sodass ein Ausdruck wie z.B.  gesetzt werden kann.
2. Überlege wie man sowas wie auswerten kann. Daher die ganze Umformerei...
Nach @index_razor müsste man ja aber doch direkt aus dem ursprünglichen Hamiltonian die Poissonklammer berechenen können. Wie würde ich dann da vorgehen müssen also was setzte ich in die Ableitungen als Funktionen ein?
@index_razor: Ohne es jetzt extra zu 'techen' weil wir bzw. ich mit der Argumentation anscheinend ja sowieso auf dem Holzweg sind/bin: Der zweite Term verschwindet meiner Ansicht nach nicht, da keiner der beiden Faktoren im zweiten Term verschwindet. Sowohl die partielle Ableitung von H nach p_r verschwindet nicht, als auch die partielle Ableitung von p_phi nach r nicht. Zumindest nicht, wenn meine Ergebnis von p_phi stimmt. Aber wie gesagt: ich glaube das bringt mich der Lösung des Problems (wie man aus dem gegebenen Hamiltonian die Poissonklammer berechnet) nicht so richtig weiter. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 26. Sep 2020 18:39 Titel: |
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| physixersti hat Folgendes geschrieben: | ... dass mir bei der Berechnung der Poissonklammer ... nicht klar ist, wie man z.B. den Ausdruck auswertet.
Und ehrlich gesagt ist es mir immer noch nicht klar. |
| Qubit hat Folgendes geschrieben: |
Also q und p sind die unabhängigen Variablen von H:
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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physixersti
Gast
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| physixersti Verfasst am: 26. Sep 2020 18:42 Titel: |
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Ja danke, das hab ich danach auch gesehen. Tut mir leid nochmal gefragt zu haben 
Vielen Dank euch allen! |
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