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Heisenberg Hamiltonian
 
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Apo



Anmeldungsdatum: 22.04.2017
Beiträge: 67

Beitrag Apo Verfasst am: 06. Jun 2021 17:28    Titel: Heisenberg Hamiltonian Antworten mit Zitat

Hallo zusammen,

ich habe hier ein Problem mit einer Aufgabe:
Consider a chain of n spin-1/2 particles whose Hamiltonian is given by
the expression
where

Show that the Hamiltonian commutes with the total spin operator, that is

where , etc.
Hint: Make use of
( denotes the anti-commutator) for products of operators concerning the same particle

Was mich vor allem irritiert ist die Tatsache, dass in den meisten Quellen, die ich gefunden habe, statt dem Tensorprodukt ein Skalarprodukt im Hamilton-Operator stand.
Meine Idee wäre es jetzt gewesen, für zwei der Teilchen auszurechnen, was dann zu

führen würde. Diesen Ausdruck erhalte ich auch für Teilchen 3 und 4, 5 und 6,..., sodass die Summe im Hamilton-Operator gerade n-mal die Matrix liefern würde. Ich tue mir dann aber auch etwas schwer damit, durch die angebene Summe zu berechnen. Eigentlich sollte ja sein, aber wie erweitere ich das auf den vierdimensionalen Raum des Hamilton-Operators? Irgendwie durch ? Ist mein Ansatz H zu berechnen überhaupt richtig?
Ich wäre über jeden Tipp sehr dankbar smile
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Jun 2021 19:39    Titel: Re: Heisenberg Hamiltonian Antworten mit Zitat

Apo hat Folgendes geschrieben:
Was mich vor allem irritiert ist die Tatsache, dass in den meisten Quellen, die ich gefunden habe, statt dem Tensorprodukt ein Skalarprodukt im Hamilton-Operator stand.

Es ist beides ;-)



ist ein Skalarprodukt bzgl. der Vektoren im Ortsraum, hier explizit mit Summe über x,y,z, sowie je Term ein Tensorprodukt bzgl. des je Paar (i,i+1) relevanten Zweiteilchen-Hilbertraumes.

Eigentlich ist auch das nur eine verkürzte Notation.

Ein Zustand lautet ja



und jeder einzelne Term mit (i,i+1) in H ist von der Form




Ich denke nicht, dass du zur Berechnung die Matrix-Darstellung benötigst.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Apo



Anmeldungsdatum: 22.04.2017
Beiträge: 67

Beitrag Apo Verfasst am: 06. Jun 2021 20:49    Titel: Antworten mit Zitat

Oke, ich glaub das leuchtet mir soweit ein smile
Das heißt, H in Matrix-Darstellung wäre eine 2n x 2n-Matrix? Auch wenn ich die hier wie du gemeint hast nicht brauchen sollte.
Ich habe den Eindruck dass mein Problem so ein bisschen ist, dass ich nicht so ganz über das mathematische Wissen verfüge das ich hier bräuchte.
Wie berechne ich dann den Kommutator? Bzw., zuerst, wie sieht bspw. mein aus? Ist der i-te Term der Summe dann von der Form
,
dass die Dimensionen im Kommutator passen?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 07. Jun 2021 07:32    Titel: Re: Heisenberg Hamiltonian Antworten mit Zitat

Nun, zu berechnen ist letztlich



wobei ich alle Terme mit der Eins weggelassen habe.

Die Summe über i bzw. k stammt aus dem Hamiltonian bzw. dem Gesamtspin.

An jeder Stelle vertauschen dabei Spinoperatoren zu unterschiedlichem i und k, d.h. du erhältst diverse Kronecker-deltas. Da die beiden Spinoperatoren je Term im Hamiltonian zu i, i-1 gehören, bleibt der entsprechende Spinoperatoren einmal nur am ersten und einmal nur am zweiten hängen.

Dass der Kommutator insgesamt Null wird, folgt mittels Ausführen der Summe und Beachten aller Vorzeichen.

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Apo



Anmeldungsdatum: 22.04.2017
Beiträge: 67

Beitrag Apo Verfasst am: 07. Jun 2021 10:56    Titel: Antworten mit Zitat

Das heißt einer der Term hätte dann die Form
.
Mir ist noch nicht ganz klar, wie das mit den Tensorprodukten im Kommutator fuktioniert. Kann ich für das Tensorprodukt eine Relation verwenden analog zu
?
Dann hätte ich für den Term oben

Für bekomme ich das selbe Ergebnis mit einem umgekehrten Vorzeichen, sodass sich alle Terme aufheben, wie du gesagt hast. Der dritte Term sollte ja sowieso komplett verschwinden.
Ist die Rechnung so richtig, oder habe ich irgendetwas noch nicht bedacht?
Auf jeden Fall, schon mal vielen vielen Dank für deine Hilfe! smile

Edit: Die ganze Rechnung war jetzt für statt für wie ich gerade gemerkt habe, aber die Rechnungen sollten ja genau analog funktionieren.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 07. Jun 2021 13:31    Titel: Antworten mit Zitat

Du solltest das folgende nochmal nachprüfen oder nachschauen.

Zunächst gilt für das Tensororodukt



Ich betrachte einen einzigen Term aus der o.g. Summe. Die Indizes i, i+1, k lasse ich weg, denn entweder ist k = i oder k = i+1 (oder der Kommutator verschwindet). A entspricht dem i, B dem i+1. k entspricht dem C.

Mit k = i bleibt der Spinoperator aus S am ersten Spinoperator aus dem Term aus H hängen.

Für diesen Fall berechnest du



Der Fall k = i+1 folgt analog.

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Apo



Anmeldungsdatum: 22.04.2017
Beiträge: 67

Beitrag Apo Verfasst am: 07. Jun 2021 15:51    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, diese Relation kannte ich tatsächlich noch nicht.. ich sollte mich wohl noch etwas mehr mit Tensorprodukten auseinandersetzen.
Dafür hat die Rechnung jetzt geklappt, vielen Dank für deine Hilfe smile
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17898

Beitrag TomS Verfasst am: 07. Jun 2021 16:44    Titel: Antworten mit Zitat

Gerne
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