| Autor |
Nachricht |
Feynman-Fan1729
Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz
|
 Feynman-Fan1729 Verfasst am: 27. Nov 2015 01:34 Titel: Berechnung der Besetzungszahl in transformierten Hamiltonian |
 |
|
Meine Frage:
Hallo Physikfreunde,
ich habe ein ein System, dass durch den Hamilton-Operator
<br />
)
beschrieben wird. Dieser kann durch die Transformation
auf die Form einer Summe von harmonischen Oszillatoren gebracht werden:
<br />
)
mit  , wenn zusätzlich  gefordert wird.
Es soll nun die mittlere Teilchenzahl  berechnet werden.
Meine Ideen:
Zunächst einmal kann ich die Transformation einsetzen und alle Operator kombinationen  im Erwartungswert vernachlässigen, weil diese bei der Spurbildung in
}{\text{Tr}(\mathrm{e}^{-\beta H})}
<br />
)
sowieso unwichtig sind (?) und erhalte:
\beta_k^\dagger\beta_k\rangle=\langle \sum\limits_k \cosh2\theta_k\beta_k^\dagger\beta_k\rangle\\
<br />
\;=\langle \sum\limits_k \frac{1}{\sqrt{1-\gamma_k^2}}\beta_k^\dagger\beta_k\rangle=\langle \sum\limits_k \frac{1}{\omega_k}\beta_k^\dagger\beta_k\rangle
<br />
)
Von hier weiß ich nicht weiter. Kann ich die Zustandssumme
)=\sum\limits_n \exp(-\sum\limits_k \beta\omega_k n_k)
<br />
)
weiter vereinfachen? Bei der gesamten Erwartungswertberechnung bin ich dann ganz ratlos.
Es wäre sehr schön, wenn mir jemand helfen könnte.
ganz liebe Grüße,
Ralf
Zuletzt bearbeitet von Feynman-Fan1729 am 27. Nov 2015 09:16, insgesamt einmal bearbeitet |
|
 |
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 27. Nov 2015 09:06 Titel: Re: Berechnung der Besetzungszahl in transformierten Hamilto |
|
|
| Feynman-Fan1729 hat Folgendes geschrieben: |
auf die Form einer Summe von harmonischen Oszillatoren gebracht werden:
|
Wenn Du jetzt noch explizit ein wichtiges Adjektiv hinzufügst, das das Verhältnis der Oszillatoren untereinander beschreibt, dann siehst Du vllt, dass Du Deine Zustandssumme auf eine zurückführen kannst, die Du einfach ausrechnen kannst... |
|
|
Feynman-Fan1729
Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz
|
| Feynman-Fan1729 Verfasst am: 27. Nov 2015 09:15 Titel: |
|
|
Du meinst sicherlich, dass die Oszillatoren sind unabhängig voneinander sind und sich die Summe auf die von nicht miteinander wechselwirkenden Bosonen zurückführen lässt. Dann hätte ich also:
}
<br />
)
wobei ich die geometrische Reihe verwendet habe. Stimmt das? |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 27. Nov 2015 09:22 Titel: |
|
|
| Feynman-Fan1729 hat Folgendes geschrieben: | | Stimmt das? |
Ja, fast.
1. Du hast die Grundzustandsenergie vergessen, dann kann man das noch etwas schöner schreiben.
2. Die gesamte Zustandssumme ist dann natürlich das Produkt über alle.
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 27. Nov 2015 09:23, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
Feynman-Fan1729
Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz
|
| Feynman-Fan1729 Verfasst am: 27. Nov 2015 09:32 Titel: |
|
|
Ja, den Anteil der Grundzustandsenergie habe ich mal weggelassen, weil man den ja dann im Erwartungswertterm ohne Normierung ebenfalls herausziehen kann und sich diese Beiträge dann wegkürzen (oder sehe ich das falsch?).
Zu dem zweiten Punkt folgende Frage: Kann man denn so einfach
=\sum\limits_n\prod\limits_k\exp(-n_k\omega_k)\\
<br />
\;=\sum\limits_n\prod\limits_k(\exp(-\omega_k))^{n_k}=\prod\limits_k\sum\limits_n(\exp(-\omega_k))^{n_k}
<br />
)
umformen? |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 27. Nov 2015 13:52 Titel: |
|
|
Das zweite ja (wobei die Unabhängigkeit wichtig ist).
Zu eins: Das Ergebnis für Z sieht dann anders aus. |
|
|
Feynman-Fan1729
Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz
|
| Feynman-Fan1729 Verfasst am: 27. Nov 2015 19:48 Titel: |
|
|
Nochmal zu erstens:
Man erhält dann
\prod\limits_k\frac{1}{1-\exp(-\beta\omega_k)}
<br />
)
????
Und zu zweitens: Das geht, weil die Summe über die  läuft und die nichts miteinander zu tun haben? |
|
|
Feynman-Fan1729
Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz
|
| Feynman-Fan1729 Verfasst am: 30. Nov 2015 08:45 Titel: |
|
|
Wenn das zuvor gesagt richtig ist, könnte man sich ja um die Berechnung des unnormierten Erwartungswertes der untransformierten Teilchenzahl widmen. Zu Berechnen ist dann:
\beta_k^\dagger\beta_k\rangle=\langle\sum\limits_k\cosh 2\theta_k\,\beta_k^\dagger\beta_k\rangle=\langle\sum\limits_k\frac{\,\beta_k^\dagger\beta_k}{\sqrt{1-\tanh^22\theta_k}}\rangle\\
<br />
=\langle\sum\limits_k\frac{\,\beta_k^\dagger\beta_k}{\omega_k}\rangle=\sum\limits_{n,k}\frac{n_k}{\omega_k}\exp(-\sum\limits_k\beta(\frac{1}{2}+n_k))=\sum\limits_k\exp(-\beta\sum\limits_{k}\frac{\omega_k}{2})\sum\limits_n\frac{n_k}{\omega_k}\exp(-\beta \sum\limits_k \omega_kn_k)
<br />
)
Kann man hier wieder den alten Trick mit der Ableitung nach  machen? Mich stört da das  in der Summe. Vielleicht stimmt ja auch mein ganzer Ausdruck schon nicht...
Zuletzt bearbeitet von Feynman-Fan1729 am 30. Nov 2015 10:09, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 30. Nov 2015 10:00 Titel: |
|
|
Man kann es etwas einfacher schreiben
Vermutlich wird der Rest dann auch übersichtlicher... |
|
|
Feynman-Fan1729
Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz
|
| Feynman-Fan1729 Verfasst am: 30. Nov 2015 10:03 Titel: |
|
|
|
Aber das ist ja nicht das was da steht, in der einen Exponentialfunktion steht die Summe über k und in der anderen nicht, oder? |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 30. Nov 2015 10:05 Titel: |
|
|
| Feynman-Fan1729 hat Folgendes geschrieben: | | Aber das ist ja nicht das was da steht, ... |
Nicht?  |
|
|
Feynman-Fan1729
Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz
|
| Feynman-Fan1729 Verfasst am: 30. Nov 2015 10:10 Titel: |
|
|
|
In dem Ausdruck für Z? |
|
|
Feynman-Fan1729
Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz
|
| Feynman-Fan1729 Verfasst am: 30. Nov 2015 10:30 Titel: |
|
|
|
Und der andere Term hat noch ein im Exponenten. Sind also meine anderen Ausdrücke alle falsch? |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 30. Nov 2015 10:40 Titel: |
|
|
| Feynman-Fan1729 hat Folgendes geschrieben: | | In dem Ausdruck für Z? |
Ja. Das andere kriegt man dann am einfachsten durch Ableiten. |
|
|
Feynman-Fan1729
Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz
|
| Feynman-Fan1729 Verfasst am: 30. Nov 2015 11:00 Titel: |
|
|
Also kommt jetzt letzten Endes heraus:
-1}
<br />
)
heraus?
Zuletzt bearbeitet von Feynman-Fan1729 am 02. Dez 2015 15:26, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 30. Nov 2015 11:14 Titel: |
|
|
|
Nein. (Daher würde ich Z umschreiben, dann ist das Ableiten deutlich einfacher.) |
|
|
Feynman-Fan1729
Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz
|
| Feynman-Fan1729 Verfasst am: 30. Nov 2015 11:23 Titel: |
|
|
Ich sehe nicht ganz, wie mir das Umschreiben von Z bei dem Auswerten von
<br />
)
hilft. Die Ableitung hätte ich hier nach gemacht und dann würde ja wieder die geometrische Reihe da stehen haben, die ich auswerten kann. Das Bilden der Ableitung läuft ja wie im Fall der Herleitung der Fermi-Dirac-Verteilung. So bin ich auch auf meinen Endausdruck gekommen... |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
|
| jh8979 Verfasst am: 30. Nov 2015 11:30 Titel: |
|
|
| Feynman-Fan1729 hat Folgendes geschrieben: | Ich sehe nicht ganz, wie mir das Umschreiben von Z bei dem Auswerten von
... hilft. |
Die Ableitung ist sehr viel einfacher auszuführen. |
|
|
Feynman-Fan1729
Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz
|
| Feynman-Fan1729 Verfasst am: 30. Nov 2015 11:41 Titel: |
|
|
Ich habe mal weitergemacht. Zu berechnen hatte ich (hoffe ich):
\omega_k))=-\frac{1}{\omega_k^2}(\frac{\partial}{\partial \beta}Z-\frac{Z}{2})
<br />
)
Am Ende kam ich dann auf:
\right)
<br />
) |
|
|
Feynman-Fan1729
Anmeldungsdatum: 19.01.2011
Beiträge: 94
Wohnort: Chemnitz
|
| Feynman-Fan1729 Verfasst am: 02. Dez 2015 15:34 Titel: |
|
|
Wenn ich die Rechnung für einen einzelnen harmonischen Oszillator wiederhole erhalte ich:
<br />
)
oder auch mit der von mir zuvor benutzten Methode:
-1}
<br />
)
mein Endergebnis kann also auch geschrieben werden als:
-1}
<br />
) |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
