Finden von Erhaltungsgrößen durch Noether Theorem

Hans_peter · Gast

Hi
Ich bin Mathematiker und belege im Moment das Modul Theoretische Mechanik. Leider habe ich nicht soo viel Ahnung davon und würde eure Hilfe brauchen. Hier die Aufgabenstellung.

Die Lagrange Funktion des 3-dimensionalen harmonischen Oszillators ist

Analysieren Sie mit Hilfe des Noether Theorems, welche der Drehimpulskomponenten

i = 1,2,3 in Abhängigkeit von der Wahl der Parameter k1, k2, k3 Erhaltungsgrößen sind.

So allgemein ist mir das Noether Theorem bekannt, allerdings fehlt mir hier etwas der Zugang zur Aufgabe. Deswegen wärs nett wenn ihr mir einen Tipp geben könntet wie man so etwas löst.
MfG

spinator · Gast

Zunächst einmal muß die kinetische Energie

sein.

ist erhalten, wenn die Lagrangefkt. invariant unter Rotation um die Achse i ist (-> Noethertheorem). Daß die kinetische Energie rotationsinvariant ist, sollte klar sein. Das Potential ist z.B. invariant unter Rotation um die 3-Achse, wenn

.
Konkret mußt Du halt die rotierte Lagrangefunktion ausrechnen, oder die Änderung der Lagrangeftk. unter einer infinitesimalen Rotation.

Niels90 · Anmeldungsdatum: 02.07.2011 Beiträge: 280

Müsste man nicht noch fordern x1=x2 damit die Bedingung k1=k2 gelten muss damit L3 eine Erhaltungsgröße ist?

Niels90 · Anmeldungsdatum: 02.07.2011 Beiträge: 280

Sry der letzte Post war Schwachsinn, passt alles so wie's schon da steht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18020

Im 3-dim. harmonoschen Oszillator mit identischer Winkelfrequenz für die drei Richtungen liegt eine deutliche größere Symmetrie als nur die SO(3) Rotationsinvarianz mit den drei Drehimulskomponenten vor.

Man sieht dies am einfachsten anhand der Hamiltonfunktion (ohne lästige Konstanten)

Definiert man

so erhält man mittels der U(3) Generatoren T^a die neun Erhaltungsgrößen

für a=0 entspricht diese Erhaltungsgröße gerade H, d.h. die Matrix T^0 ist gerade die 3*3 Einheitsmatrix; für drei andere a's findet man gerade die drei Drehimpulskomponenten, d.h. die SO(3) ist eine Untergruppe der SU(3), die Diagonale T^0 liefert zusätzlich noch die Energie als Erhaltungsgröße