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Sunny94
Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158
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 Sunny94 Verfasst am: 17. Jun 2013 17:00 Titel: Hamilton-Formalismus: Geladenes Teilchen? |
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Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe, wegen der Verlagten Lösung mit Index-Schreibweise:
"Ein geladenes Teilchen der Masse m bewegt sich im 3-D Raum im Feld = \vec{\nabla} \times \vec{A}(\vec{r})) . Seine Bewegung folgt der Lagrangefunktion:
\right))
Mit ) und  Zeitableitung, i=x,y,z"
Meine Ansätze:
i) generalisierter Impuls  :
_i, \text{mit} \, \dot{r}_i = \text{jeweilige Koordinate von Geschwindigkeit (x-Punkt etc)})
=> Also der "normale Impuls" plus ein B-Feld-Anteil
ii) Hamilton-Funktion H:
 = \sum (\pi_i \cdot \dot{r}_i) - L)
_i\right))
iii) Zeigen sie, dass die Hamilton-Bewegungsgleichugnen mit der Lorentzkraft \vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B} übereinstimmen.
Leider keine Ansätze
Stimmen meine Berechnungen unter i) und ii)?
Wie muss ich mit dem })) umgehen?
Was muss ich unter iii) machen?
Danke und Grüße
Sunny94 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 17. Jun 2013 18:15 Titel: |
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Es ist richtig, dass der kanonisch konjugierte Impuls ungleich dem kinetischen Impuls ist, und dass ersterer einen A-Anteil enthält. Für den Hamiltonformalismus müssen die Geschwindigkeiten vollständig eliminiert werden, d.h. in H treten nur noch die Koordinaten und die kanonisch konjugierten Impulse auf:
, \ldots))
Damit eliminierst du die Geschwindigkeiten, d.h.
, \ldots))
Nun berechnest du die Hamiltonfunktion
Aus dem letzten Ausdruck musst du die Geschwindigkeiten eliminieren, so dass H nur non von den kanonisch konjugierten Impulsen abhängt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sunny94
Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158
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| Sunny94 Verfasst am: 17. Jun 2013 19:29 Titel: |
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Dann stimmen meine Ergebnisse nicht, richtig?
Ok, aber dann habe ich weiterhin das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich mit dem A umgehen soll. Das hängt ja auch noch mal vom r-Vektor ab...
Könntest du mir evtl. den generalisierten Impuls mal vorrechnen, damit ich weiß, wie ich mit dem A(r)-Vektorfeld umgehen muss?
Grüße
Sunny94 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 17. Jun 2013 19:52 Titel: |
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Lagrangefunktion:
Impuls:
Auflösen nach der Geschwindigkeit:
)
Hamiltonfunktion durch Legendre-Trf. sowie Einsetzen für die Geschwindigkeit
 \right] - \frac{m}{2}\left[ \frac{1}{m}(\pi_i - q \, A_i) \right]^2 - q \, \left[ \frac{1}{m}(\pi_i - q \, A_i) \right] \, A_i)
Zusammenfassen ...
Bei der Ableitung der hamiltonschen Bewegungsgleichung ist zu beachten, dass A von r anhängt!
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sunny94
Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158
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| Sunny94 Verfasst am: 18. Jun 2013 18:07 Titel: |
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Hi, danke sehr.
Zusammengefasst ergibt sich für H:
Stimmt das?
Als nächstes müssen die Hamilton-Bewegungsgleichungen berechnet werden:
Das geht mit folgenden Formeln:
und
da hier in diesem Fall (q, p alg. Formel) q=r für die Koordinate und p=pi für den Impuls.
Folglich ist zeitlich konstant.
Nun: Zeigen sie, dass die Hamilton-Bewegungsgleichugnen mit der Lorentzkraft  übereinstimmen:
 ]})
Ich dachte an den Epsilon-Tensor/Levi-Civita-Symbol, jedoch weiß ich nicht wie das gehen soll...
Kannst du mir da helfen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 18. Jun 2013 18:43 Titel: |
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Hamiltongleichungen einsetzen, Ableitung ausrechnen und feststellen dass dies genau die Lorentzkraft ist. |
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Sunny94
Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158
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| Sunny94 Verfasst am: 18. Jun 2013 18:49 Titel: |
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Das heißt, der Rest stimmt soweit?
Ich dachte, man dürfe die Lorentzkraft nicht gleich m*a setzten, hieß es jedenfalls in ExpPhy...
Aber wenn man das darf, probiere ich das morgen gleich aus...
Melde mich dann wieder...
Danke sehr! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 18. Jun 2013 18:50 Titel: |
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| Sunny94 hat Folgendes geschrieben: |
Ich dachte, man dürfe die Lorentzkraft nicht gleich m*a setzten, hieß es jedenfalls in ExpPhy...
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Wenn das wirklich *so* gesagt wurde, wäre das ziemlich erschreckend.
PS: Ja, der Rest sieht gut aus...
EDIT: Ups  Tom hat natuerlich recht.
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 18. Jun 2013 22:35, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 18. Jun 2013 22:21 Titel: |
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| Sunny94 hat Folgendes geschrieben: | |
stimmt nicht, denn A ist r-abhängig, d.h. die partielle Ableitung wirkt auf A, und das ist i.A. erst mal nicht Null.
Ebenfalls aufpassen musst du bei der Zeitableitung zur Bestimmung der Beschleunigung. Dabei ist dA/dt nicht Null, denn es wird das A an der Stelle r(t) des Teilchenortes genommen.
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Sunny94
Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158
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| Sunny94 Verfasst am: 19. Jun 2013 18:33 Titel: |
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Ja, natürlich. Du hast vollkommen recht, also:
_i) = -\frac{1}{2m} ( 2(\pi_i - qA(r)_i) \cdot \frac{\partial A(r)_i}{\partial r_i} = -\frac{1}{m} (\pi_i - qA(r)_i) \cdot \frac{\partial A(r)_i}{\partial r_i} )
_i) = \dot{\pi_i} - q\frac{d}{dt}A(r)_i )
Und nun weiß ich nicht weiter, ich muss ja nun irgendwie die Ableitungen von _i ) bestimmen, um dann auf
)
zu kommen.
Könnt ihr mir dabei bitte noch mal helfen?
Grüße
Sunny |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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Sunny94
Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158
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| Sunny94 Verfasst am: 20. Jun 2013 08:19 Titel: |
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Hi, nein, leider hilft mir der Link nicht so sehr...ich komme deshalb zwar auf die Zeitableitung von A, jedoch dann nicht auf die Kreuzprodukte.
*-q \frac{\partial A_i}{\partial r_i} = \frac{q}{m} \cdot (\pi_i - qA_i) \cdot \frac{\partial A_i}{\partial r_i})
[Hatte noch das "mal -q" vergessen]
Dann:
)
Umgestellt:
Dann einsetzten in F=ma:
 = \frac{m}{m} ( \frac{d}{dt} \pi_i - q\frac{d}{dt} A_i )= \dot{\pi_i} - q\frac{d}{dt} A_i )
Nun könnte ich von dem Link die Zeitableitung von ) nehmen und zusätzlich noch die Zeitableitung von  berechnen und einsetzten.
Leider komme ich nicht auf die Kreuzprodukte. Könnt ihr mir da bitte noch mal helfen?
Danke und Grüße
Sunny |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 20. Jun 2013 08:21 Titel: |
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Du hast zu viele Indizes mit i.
Meine Konvention war, dass über doppelt auftretende Indizes (wie in H) summiert wird (auch ohne explizites Ausschreiben des Summenzeichens). Wenn du nun die Ableitung bzgl. r_i berechnest, musst du zuvor einen anden Index k als Summationsindex wählen, sonst hast du drei Indizes i, was nicht korrekt sein kann.
Der Link ist übrigens super; was ist dir an der Vorgehensweise unklar?
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Sunny94
Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158
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| Sunny94 Verfasst am: 20. Jun 2013 08:27 Titel: |
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Könntest du so freundlich sein und dass berichtigen? Irgendwie bin ich nicht so firm mit den Indizes. Irgendwo verhaspele ich mich da immer...
Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir dann auch noch vielleicht etwas von dem Ansatz aufschreiben würdest, den ich brauche, um auf die Kreuzprodukte zu kommen...
Das wäre echt toll von dir...
Grüße
Sunny |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 20. Jun 2013 11:21 Titel: |
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Schau dir doch das verlinkte PDF an; da steht alles drin; und da, wo du nicht weiterkommst, stelklst du Fragen.
Zur Indexnotation:
- einfache Indizes entsprechen einem Vektor
- über doppelt auftretende gleiche Indizes wird summiert (s.u.)
- dreifache Indizes (und mehr) gibt es nicht
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Sunny94
Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158
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| Sunny94 Verfasst am: 20. Jun 2013 15:18 Titel: |
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Ja, ich weiß, dass da alles steht, jedoch bekomme ich das nicht übertragen. Das E-Feld stört mich irgendwie.
Könntest du mir nicht einen Teil der Lösung hier Schreiben, damit ich einen Anhalspunkt habe, wie es gehen soll?
Ich glaube, dann ist der Lerneffekt bzw. Verstehenseffekt größer...
Wäre dir / euch extrem Dankbar!
Sunny |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 20. Jun 2013 15:42 Titel: |
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