Krümmung eines Möbiusbandes

Klondijk457 · Gast

Hallo,
Der Titel sagt eigentlich schon fast alles. Ich interessiere mich für die gaußsche Krümmung ("K=k1*k2") eines Möbiusbandes. Bzw. frage ich mich, ob mein Ergebnis richtig sein kann...
Hier die Formel der Fläche, mit u=[0,..,2*pi], v=[-1,..,1]:
böse

u,v)~=~\begin{pmatrix} (1+v~cos(u/2)/2)~cos(u) \\ (1+v~cos(u/2)/2)~sin(u) \\ v~sin(u/2)/2 \end{pmatrix} ">

So, wenn ich die Krümmung ausrechne ("Wiki: Fundamentalform II"), komme ich auf "K=1/2" ! Also eine konstante Krümmung.
Das ist zwar nicht viel, aber auch nicht Null, ..und irgendwie auch nicht negativ..
Das Eigentliche Problem ist nun, dass ich das Ding vom Blatt Papier ausgeschnitten, -keine Ahnung wie es entstanden ist, oder von wem- , hier vor mir liegen habe, und das sollte doch eigentlich nur gehen, wenn "K=0"!!!
Man kann den Weg auch rückwärts gehen, und einen Streifen Papier zum Möbiusband "falten". Dann ist K=0 garantiert. So ist es aber nicht!! Die planare Form des Bandes auf dem Papier ähnelt eher einem "S" (keinem "I")!
Gefaltet sieht es dem der Fläche entsprechend der obigen Gleichung sehr sehr ähnlich. Ich würde sagen sie sind identisch.

Das Einzige, was mir noch einigermaßen logisch erscheint um das Problem aufzulösen, ist, dass eine der beiden Hauptkrümmungen sehr groß ist, damit die andere sehr klein sein kann, sodass immernoch "1/2" heraus kommt. Und das Papier minimal verzerrt/geknittert ist.
Denn, wenn ich das richtig verstehe, ist ein parabolisch gekrümmte Fläche (k1*k2=0, k1=/=k2) immer abrollbar. Wobei in diesem Fall z.B. k1 "fast gegen Null" geht.. ..Wobei eine Kugel mit entsprechendem Radius auch ein K=1/2 besitzen kann, und die ist sicher nicht abrollbar. Wie kann man also entgültig bestimmen, ob eine Fläche ("minimalst" verzerrt) abrollbar ist? Da müsste ich schon eine der beiden Hauptkrümmungen kennen, oder?
Gibt es neben der Formel für gaußsche Krümmung auch eine nette für die mittlere Krümmung, oder kann man k1 od. k2 irgendwie immer direkt bestimmen??

Kann mir jemand etwas dazu sagen?! -Eine Meinung zur Problemlösung, oder eine Alternative? Was bekommt ihr als Krümmung 'raus? -Das einfachste wäre es natürlich, wenn die Krümmung tatsächlich Null ist...

MfG Klondijk457

Klondijk457 · Gast

Hier nochmal die Formel in leserlich:

Mir ist grade aufgefallen, dass ich nicht die Krümmung berechnet habe, sondern nur ob die Fläche gekrümmt ist, oder nicht. Der Wert spielt also keine Rolle, sondern nur, ob "+, -, 0" heraus kommt für "elliptisch, hyperbolisch, parabolisch/flach" gekrümmte Flächen.
Wie bestimme ich denn dann die Krümmung?!...
Das Problem ist, dass ich für die "Fundamentalform I"-Koeffizienten "0" heraus bekomme.

PS: Wenn ich statt "F" , "X" schreibe, macht Latex Probleme, wie man oben sehen kann!

D2 · Anmeldungsdatum: 10.01.2012 Beiträge: 1723

Folgende Überlegung
"Man beachte, dass eine Minimalfläche nicht notwendig minimalen Flächeninhalt hat, sondern lediglich ein stationärer Punkt des Flächeninhaltsfunktionals ist. Man kann zeigen, dass das Verschwinden der ersten Variation des Flächeninhaltsfunktionals in zwei Raumdimensionen äquivalent zum Verschwinden der mittleren Krümmung ist, falls die betrachtete Mannigfaltigkeit ausreichend regulär ist."

https://de.wikipedia.org/wiki/Minimalfl%C3%A4che

Versuche Draht in Form eines Möbiusbandes zu biegen und tunke ihn in eine Seifenlauge. Hast du ein Möbiusband als eine Seifenhaut, kennst du die Antwort.

http://books.google.de/books?id=keFrElX6fSgC&pg=PA128&lpg=PA128&dq=M%C3%B6biusband+Seife&source=bl&ots=8KROill593&sig=xJVPFbh_bmtiRW4MDC4BQTJ3Cuo&hl=de&sa=X&ei=nDOZUfP1Baqn4gTBlYGYBg&sqi=2&ved=0CEgQ6AEwAg#v=onepage&q=M%C3%B6biusband%20Seife&f=false

http://www.math.tu-dresden.de/alg/erlebnisland-infopoint//site/de/exponat-neue-seifenhaeute.html

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

Man berechnet es so:
http://en.wikipedia.org/wiki/Second_fundamental_form#Classical_notation
http://en.wikipedia.org/wiki/First_fundamental_form
Die Gausskruemmung ist dann det II/det I.

Auf dieser Seite sind die Krümmungen einiger 2d-Flaechen berechnet und visualisiert:
http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/
Speziell das Moebiusband:
http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/moebius.html
(Es wird ein leicht anderes Moebiusband parametrisiert, als bei Dir (es fehlen die "/2"), aber es ist auch ein Moebiusband.)

Klondijk457 · Gast

@D2: Die mittlere Krümmung ist leider nicht das Entscheidende. Wichtig ist die gaußsche. Aber das Bild mit der Seifenhaut auf dem eckigen Draht ist ein gutes Beispiel dafür, dass Seifenhäute nicht zwingend abrollbar sind. ...Wie eigentlich auch der Spezialfall einer Seifenblase zeigt..

@jh8979:
Hat es einen besonderen Grund, dass du das mit Determinanten beschreibst, oder dient das nur als Merkhilfe?

Jedenfalls habe ich das jetzt mal mit PC durchgerechnet. So knackig die Formel ist, so "hässlich"/umfangreich wird's, wenn man dann mal Flächen einsetzt - wenn's nicht gerade ein Zylinder ist...
Ich habe durch Stichproben meine These vom abrollbaren Möbiusband mittels weit auseinander liegenden Hauptkrümmungen untersucht. Das scheint aber nicht die Lösung des Problems zu sein. Die Werte scheinen von gleicher Größenordnung zu sein... aber da muss ich nochmal genauer hinschauen..
Irgendeine Idee, welcher andere Grund dafür verantwortlich sein könnte, dass es dennoch abrollbar ist?!

Und eine neue Kleinigkeit ist mir aufgefallen, beim Hauptkrümmungen berechnen..
Ich bekomme aus dem Gleichungssystem 2 unterschiedliche zu lösende Gleichungen heraus. Einmal

,
Das ist auch die Gleichung von Wikipedia. Da k1 und k2 ohne Probleme vertauschbar sind, stellen die beiden Lösungen die k1 und k2 dar. Soweit alles ok.
Die andere ist diese:

Hier gibt es nun 4 verschiedene Lösungen. 2 davon entsprechen denen der obigen Gleichung, - zumindest im vorgesehenen Bereich. Aber was ist mit den anderen beiden, die bis auf's Vorzeichen mit den ersten übereinstimmen?!? Alleine, dass es 4 sind und ich somit die Qual der Wahl habe verwirrt mich...

MfG Klondijk457

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

Klondijk457 · Gast

Das mit dem flachen Torus in 3D ist ja mal eine interessante Geschichte.
War ja fast schon klar, dass es auf etwas fraktalartiges hinaus läuft.. Wobei es sich dabei, wenn ich das richtig verstehe, eher um ein Etwas zwischen Fraktal und stetiger Fläche handelt, sozusagen ein rundes Fraktal.. Irgendwie denke ich jetzt an Stringtheorie mit den "aufgerollten Dimensionen"... -Gibt's eigentlich etwas fraktalartiges in der Physik..?
Was mir allerdings intuitiv nicht gefällt, ist, dass die Welligkeit in Form der Amplitude oder Frequenz zur Mitte hin nicht zuzunehmen scheint, als Ausgleich, wenn man so will. Beim normalen Torus ist ja gerade ein Problem, dass die Strecken zur Mitte hin kürzer werden.
Wäre es nicht auch möglich einen Bereich, eher eine Linie, des flachen 3D-Torus wie beim normalen Torus zu lassen - zB. die "äußerste" horizontale?!
Hast du zufällig noch mehr davon??

Das müsste doch auch anwendbar auf zB. eine (Doppel-)Helix sein, um eine flache Helix herzustellen..
Oder was wäre denn die flache 2D-Entsprechung einer Kugel?!

Ich könnte mir schon vorstellen, das das etwas mit der Abrollbarkeit des Möbiusbandes zu tun hat, um wieder zum Thema zurück zu kommen. Naja solange die Welligkeit beim Band sehr gering wäre. Ich möchte mal sehen, wie jemand den flachen Torus "in echt" faltet..