Krümmung einer Fläche

Klondijk457 · Gast

Nabend,
weiß zufällig jemand, wie man einfach die "Ordnung" der Krümmung einer Oberfläche bestimmen kann?
Ich meine damit zB. dass eine Zylinderoberfläche einfach gekrümmt, eine Kugenoberfläche zweifach gekrümmt ist. Mich interessiert dabei also nicht das Ausmaß sondern nur ob und wie oft, also nicht wieviel...

Konkret gefragt: Wie oft ist zB. ein Möbiusband gekrümmt?? Oder eine Helix?!
Ich kann da eigentlich nur raten..

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Ich denke nicht dass die Frage nach "wie oft" besonders viel Sinn macht. Aber vielleicht hilft Dir das hier weiter:
http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptkrümmung

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18115

Ich denke nicht, dass es dir um die Krümmung geht. Sowohl der Zylinder als auch das Möbiusband haben verschwindende intrinsische Krümmung.

Meinst du etwa soetwas wie eine "Windungszahl" oder "Verdrillung"?

Klondijk457 · Gast

Ich danke euch!

jh8979, der Link war ein Treffer. Ich habe mir zwar auch schon auf Wikipedia etwas über Krümmung durchgelesen, aber diesen Artikel habe ich wohl umsurft.. Jetzt kann ich auch besser benennen, was ich mit "wie oft" meine. Wenn wir von der gaußschen Krümmung ausgehen, dann interessieren mich nicht die Werte der Hauptkrümmungen k1 oder k2, sondern nur ob:

- "k1*k2 =/= 0" -> 2fache Krümmung <-> elliptischer/hyperbolischer Punkt,
- "k1*k2 = 0" mit "k1 =/= k2" -> 1fache K. <-> parabolischer Punkt
- "k1*k2 = 0" mit "k1 = k2" -> keine K. <-> Flachpunkt

...Hätte ich auch so drauf kommen können. Zumindest haben wir jetzt Namen dafür...
Allerdings steht dort auch, dass k1 und k2 orthogonal zueinander sind. Wenn ich mir nun einen Zylinder nehme, so wie man sich ihn vorstellt, in Zylinderkoordinaten, dann ist zB. k1=0, und k2=/=0. Also besitzt er eine 1fach gekrümmte Oberfläche. Soweit alles ok. Aber wenn ich das richtig sehe, spricht erstmal nichts dagegen, die k1 und k2 an einem Punkt auf der OF um ihre Normale zu drehen, sodass keiner mehr in Z-Richtung zeigt. Dann würde sich aber eine 2fach gekrümmte OF ergeben, so wie an jeder Stelle einer Kugel... Das soll ja nicht stimmen! Ich nehme an, die Hauptkrümmungen sind irgendwo besonders definiert...

TomS, wirklich sicher bin ich mir wegen der Begrifflichkeiten auch nicht, aber der Wikipediaartikel passt schon ziemlich gut. Gibt es irgendeine nähere Definition von "Verdrillung"??
Sofern du mit dem Möbiusband recht hast, und davon gehe ich mal aus, muss es also per obiger Definition überall genau 1fach gekrümmt sein (bei 0facher K. könnte es ja nicht in sich geschlossen sein..)
Kann man das eventuell irgendwie auf beliebige Pfade in 3D verallgemeinern?!
Wenn wir uns also 2 bel. Pfade in 3D nehmen und mit einer Seifenhaut "bespannen", also einer Minimalfläche zwischen ihnen, kann man dann sagen, dass die so entstandene Fläche maximal 1fach gekrümmt ist?
..Vom Gefühl her würde ich das erstmal annehmen, aber das ist ja noch kein Beweis.. Ein Gegenbeweis würde mir auch genügen, aber dazu fällt mir spontan nichts ein.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18115

Nun, ich habe einfach vermutet, dass es dir nicht um die Krümmung als geometrische Eigenschaft sondern eher um die Topologie ging.

Windungszahl kann man definieren, ist hier aber wohl irrelevant.
Verdrillung sagt mir so zunächst direkt nichts, ist aber doch wohl die anschauliche Beschreibung.

Einige topologische Eigenschaften siehe hier (aber ich denke, sie passen alle nicht wirklich auf das, was du meinst)
http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip

Was mir auch noch in den Sinn kommt ist der sogenannte Dehn-Twist, der aber für ein Möbiusband geeignet zu verallgemeinern wäre, da er eine orientierbare, geschlossene Fläche voraussetzt.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dehn_twist

Klondijk457 · Gast

Danke nochmal. Das ist ja ein Thema für sich... Da muss ich mir erstmal einen Überblick verschaffen und das auch wirklich zu begreifen.

Woher zaubert ihr eigentlich so schnell die Links? Ich suche mich hier kaputt..
Aber da ihr das so gut könnt, vielleicht habt ihr ja noch was zu "Seifenhäuten" in petto.. Dazu beschäftgt mich die Frage meines letzten Beitrags, ob die Minimalfläche, die zwischen 2 Pfaden in 3D aufgespannt wird, immer 1fach gekrümmt und damit "plättbar" ist?!
Ist doch richtig, dass max. 1fache K. und "Plättbarkeit" einander implizieren, oder nicht?
Oder anders herum gefragt: Hat jemand eventuell noch einen Link zur "Plättbarkeit" von Flächen?? - Das hängt ja alles doch recht stark zusammen..

PS. Kann es sein, dass die englische Wikipedia grob gesagt besser ist?! Oder auch einfacher gestrickt..?! Zumindest gibt's mehr bunte Bildchen...Ob es daran liegt, dass ich mehr verstehe, sei dahin gestellt...

Namenloser324 · Gast

Die englische Wiki ist in den meisten Fällen in der Tat besser (darunte verstehe ich ausführlicher). Wenns auf Deutsch nicht viel zu nem Thema gibt such ich in der englischen Weiter.

Klondijk457 · Gast

Also eher die "Wiki für Dummies"..
Mal im Ernst, ich denke auch, dass sie ausführlicher geschrieben ist als ihre deutshe Schwester. Wenn man weiß, was man tut ist das vielleicht hinderlich, weil man dann immer wieder liest was man schon kennt, so wie wenn auf jeder Seite eines Lehrbuchs die vorige nochmal zusammengefasst würde. Aber, um mal beim Buch zu bleiben, wer will schon jeden verlinkten Artikel lesen um den eigentlichen verstehen zu können... Und anders als bei einem guten Buch gibt es auf Wikipedia eigentlich nur Quervernetzungen, ohne Anfang und Ende. Das alleine kann schon verwirren.
Zum Nachschlagen ist also die würzige Kürze der deutschen Wiki besser, zum Lernen die englische Langfassung.

..Ich habe inzwischen auch schon ein wenig zum Thema gefunden. Aber wenn wer noch etwas außerhalb von Wikipedia kennt. Mich würd's schon interessieren. ...Außerdem kann ich ja nicht wissen, ob es nichts besseres gibt, als das was ich gefunden habe..