reduzierte Pendellänge bei Pendel MIT Dämpfung

Disco Stenz · Anmeldungsdatum: 24.03.2013 Beiträge: 3

Hallo Zusammen,

wie berechnet sich die reduzierte Pendellänge bei einem Pendel mit Dämpfung ???
Ich möchte gerne die gedämpfte Schwingung eines physikalischen Pendels (gegeben sind die Masse, Trägheitsmoment im Schwerpunkt, Abstand zum Schwerpunkt, Dämpfung im Drehpunkt) durch eine ebenfalls gedämpfte Schwingung eines mathematischen Pendels ersetzen.
Für den ungedämpften Fall ist die Lösung trivial und es ergeben sich die bekannten Zusammenhänge für die reduzierte Pendellänge etc.
Durch das Vorhandensein einer Dämpfung ergeben sich jedoch nun andere Zusammenhänge.
In einem ersten Versuch habe ich die beiden komplexen Lösungen der homogenen DGL von beiden Pendeln verglichen und versucht über das Gleichsetzen Dämpfung und Eigenfrequenz zu einem Ergebnis zu kommen.
Komme an der Stelle aber nicht mehr weiter. Es ergeben sich keine sinnvollen Ausdrücke.

Schon mal vorab Vielen Dank für Eure Hilfe.

Gruß, Patrick

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Hallo,

ich verstehe dein Problem nicht... Das mit der reduzierten Pendellänge ist doch nur eine Schreibweise:

Physikalishes Pendel:

(D Abstand Aufhang-Schwerpunkt, M_z Betrag des Gravitationsdrehmoments, m Gesamtmasse, I Trägheitsmoment bez Aufhang,

irgednein Dämpfungskoeffizient)

Mathematisches Pendel mit effektiver Pendellänge L und effektiver Dämpfung

durch umschreiben:

Oder?

Gruß!
w.bars
edit: P.S. Also verändert sich die effektive Pendellänge nicht, sondern die Dämpfung ist eine andere.

Disco Stenz · Anmeldungsdatum: 24.03.2013 Beiträge: 3

Hallo,

nach meinem bisherigen Verständnis ist die reduzierte Pendellänge sicherlich nicht nur eine Schreibweise sondern erlaubt es einen beliebig geformten pendelden Körper durch eine Punktmasse im Abstand der reduzierten Pendellänge vom Drehpunkt zu erstzen um z.B.
ein mechanisches Ersatzschaltbild darzustellen.

physikalisches Pendel ohne Dämpfung:

J=Inertia nach Steiner
l=Abstand Drehpunkt zum Schwerpunkt des Körpers
b=Dämpfung
m=Masse des (ausgedehnten) Körpers

Eigenkreisfrequenz physikalisches Pendel=

mathematisches Pendel ohne Dämpfung:

b=Dämpfung
m=Masse der Punktmasse
lp=Abstand Drehpunkt zur Punktmasse

Eigenkreisfrequenz mathematisches Pendel =

Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für die Eigenkreisfrequenz ergibt:

und daraus schliesslich der bekannte Ausdruck für die reduzierte Pendellänge:

D.h. ein mathematisches Pendel mit der Länge lp hat die gleichen physikalisches Eigenschaften (Eigenfrequenz, kinetische Energie etc.) wie das physikalische Pendel.
Nun nochmal zu meinem eigentlichen Problem:
Wenn ich nun die gleiche Prozedur für ein gedämpftes Pendel durchführe kann ich nicht mehr einfach die Ausdrücke für die Eigenkreisfrequenzen gleichsetzen, da die Lösungen der charakteristischen Gleichungen komplex sind.

w.bars · Anmeldungsdatum: 24.07.2006 Beiträge: 202

Hallo,

du brauchst für diese Identifikation nicht die Gleichungen zu lösen!
Wie du siehst, steht bei mir statt phi noch sin phi, d.h. meine Gleichungen kann man ohne diese Näherung auch nicht geschlossen lösen. Trotzdem komme ich auf die gleichen Ergebnisse, wenn ich (in meiner Notation) identifiziere (in den beiden allerletzen Gleichungen):
Länge des math. Pendels = Trägheitsmoment des phys. Pendels / Dm
Reibung des mathematischen Pendels = Reibung des phys. Pendels / Dm.
D ist in deiner das kleine ell.

Du erwähnst die Dämpfung b. (Sie steht aber nirgednwo in den Gleichungen?) Wie ich schon sagte -- sie ist beim Übergang zu einem Ersatz-mathematischen Pendel nicht die gleiche, sondern muss durch genau den gleichen Faktor geteilt werden, wie wenn ich vom Trägheitsmoment zur Länge übergehe.

Die Schwingungsfrequnz ist dann genau die gleiche bei beiden. Was du beachten musst, ist dass die Schwingungsfrequenz schon eines <mathematischen> Pendels sich verändert, wenn du die Reibung dazuschaltest!

Und zwar (in deiner Schreibweise): [bitte verwende l_p statt lp!!] [und ich weiß nicht, mit welchen evtl. Vorfaktoren vor dem b du den Reibungsterm definierst..., ich nehm das mal so:]

Einsetzen von

,also

und

:

Lösen:

Das heißt -- der Realteil von omega ist die Frequenz, du siehst, sie ist etwas anders, als ohne Reibung:

Der Imaginäre Teil sorgt in

(durch Einsetzen zu sehen) zu einer exponentiellen Dämpfung, da sich die beiden i's zu einem Minus vereinigen:

Und <diese>, durch die Reibung veränderte Frequenz des mathematischen Pendels ist auch die Frequenz des physikalischen, wenn man wie in meinem ersten Post gezeigt, das Trägheitsmoment in eine Länge umrechnet und die Reibung ebenfalls mit dem entsprechenden Faktor multipliziert. [Vorsicht, das

und das

haben, so wie, in deiner Schreibweise,

und

unterschiedliche Einheiten. Und für die Konversion zwischen den Posts:

ist

], es gibt bei der Dämpfung die b- und die gamma-Fraktion, wobei ich der letzteren angehör...

Frag noch mal, wenn etwas unklar ist!
w.bars

Disco Stenz · Anmeldungsdatum: 24.03.2013 Beiträge: 3

Hi, vielen Dank für den Support.
Der Groschen ist gefallen ...
Gruß aus Köln.