Blindwiderstand XL Herleitung

Ascareth · Anmeldungsdatum: 11.11.2010 Beiträge: 203

Hätte vielleicht jemand eine gute Quelle wo die Herleitung von XL = 2 pi f L ausführlich erklärt wird?

D2 · Anmeldungsdatum: 10.01.2012 Beiträge: 1723

http://www.elektronik-kompendium.de/sites/grd/1006241.htm

http://www.elektroniktutor.de/grundlg/blindwid.html

http://www.helpster.de/induktiver-widerstand-eine-erklaerung-aus-der-physik_151877#zur-anleitung

http://www.weiterbildungskolleg-duisburg.de/physik/wechselstromkreis.htm

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Strom-/Spannungsbeziehung an der Spule (Induktionsgesetz):

Sei

Dann ist

Die Spannung ist offenbar ebenfalls eine sinusförmige Größe (der Kosinus ist ja nur ein um 90° verschobener Sinus). Dabei ist der Vorfaktor vor dem Kosinus offenbar gerade der Scheitelwert der Spannung.

Wenn man die Scheitelwerte durch die Effektivwerte ausdrückt

und

und einsetzt, dann kürzt sich

raus, und es bleibt

Ganze Gleichung durch I dividieren:

Der Quotient von Spannung und Strom hat, wie man aus der Gleichstromlehre weiß, die Dimension eines Widerstandes. Also ist wL ein Widerstand, dessen physikalische Bedeutung allerdings ein bisschen anders ist als die des ohmschen Widerstandes. Denn er entstand (s.o.) als Quotient der Scheitelwerte von u(t) und i(t), die ja nicht zur gleichen Zeit auftreten. Dennoch ist wL ein Widerstand und wird wegen seiner etwas anderen physikalischen Bedeutung auch Blindwiderstand (nicht Bildwiderstand wie in Deiner Überschrift) genannt, und zwar als induktiver Blindwiderstand. (Es gibt auch noch den kapazitiven Blindwiderstand, der sich in derselben Art und Weise aus der Strom-/Spannungsbeziehung am Kondensator herleiten lässt.)

Der Ausdruck wL wird häufig mit XL abgekürzt.

Dass

ergibt sich aus der Definition der Größen der harmonischen Schwingung, nämlich volle Periode 2*pi dividiert durch Peridendauer T, wobei die Frequenz als Kehrwert der Periodendauer definiert ist

womit sich als Gesamtzusammenfassung ergibt

Reicht das? Sonst schau in jedem beliebigen Grundlagenbuch der Elektrotechnik nach.

Ascareth · Anmeldungsdatum: 11.11.2010 Beiträge: 203

Also du setzt für delta i ein, ok. Aber wie kommst du dann darauf:

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Ich wiederhole nochmal:

Das Induktionsgesetz sagt, Du sollst die zeitliche Ableitung des Stromes bilden (und dann noch mit L multiplizieren), um u(t) zu erhalten

mit

Laut Induktionsgesetz also

Bei der Ableitung der Sinusfunktion beachtest du die Kettenregel. Der Sinus abgeleitet, ergibt den Kosinus, die innere Funktion wt abgeleitet, ergibt w. Also ergibt sich konsequenterweise

oder anders geordnet:

Soll ich weitermachen?

Warum schaust Du nicht mal ins Lehrbuch? Die Lehrbuchautoren können das viel besser als ich.

Ascareth · Anmeldungsdatum: 11.11.2010 Beiträge: 203

Ich habe ein Lehrbuch. Das ist aber scheinbar eher ein Leerbuch also Ersteres. Da steht zwar angedeutet, dass das über Ableitungen geht, aber so klar ist mir das noch nicht.

Ich habe bisher auch noch keinen guten Tip für ein wirklich gutes Leerbuch finden können. Was für eines würdest du denn vorschlagen?

Ascareth · Anmeldungsdatum: 11.11.2010 Beiträge: 203

Das ist keine allgemeine Literaturanfrage. Ich möchte einfach wissen, wo man so etwas nachlesen kann. Ich meine ja auch das es vernünftige Literatur darüber geben müsste. Kenn ich aber bisher leider nicht. Also?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Ich weiß nicht so recht, was Du eigentlich willst. Deine ursprüngliche Frage war, wie man den induktiven Widerstand herleitet. Diese Frage habe ich Dir in aller Ausführlichkeit beantwortet. Damit bist Du nicht zufrieden, sondern fragst jetzt nach "den Ableitungen", also nach der Herkunft des Induktionsgesetzes. Dazu lässt sich nur sagen, dass physikalische Gesetzmäßigkeiten auf Beobachtungen beruhen, die dann mathematisch beschrieben werden. Die beobachteten Gesetzmäßigkeiten führen zu sinnvollen Definitionen, die dann in entsprechenden Gleichungen ihren Niederschlag finden.

Einfaches Beispiel. Man beobachtet, dass eine kapazitive Anordnung, also eine Anordnung zweier metallischer Teile, die elektrisch voneinander isoliert sind, umso mehr Ladung speichern kann, je größer die Spannung zwischen den beiden Metallteilen (Elektroden) ist. Man hat deshalb eine Größe definiert, die das Ladungsspeicherungsvermögen einer solchen Anordnung (im einfachsten Fall ist das ein Plattenkondensator) charakerisiert und hat diese Größe Kapazität genannt:

Mit dieser mathematischen Beschreibung einer beobachteten Gesetzmäßigkeit kann man jetzt arbeiten oder, wenn du so willst, "herumspielen". Zum Beispiel willst Du etwas darüber wissen, was bei der Kondensatorauf- oder -entladung passiert, wenn sich also die Ladung auf den Elektroden in Abhängigkeit von der Zeit ändert. Die zeitliche Änderung der Ladung ist

Nun macht man sich eine andere Definition aus der Physik zunutze, dass nämlich die zeitliche Änderung der Ladung gleich dem elektrischen Strom ist.

Und schon hat man die Strom-/Spannungsbeziehung am Kondensator

Diese Gleichung lässt sich nun nutzen, um die Vorgänge bei sinusförmiger Wechselspannung zu beschreiben und, ähnlich wie bei der Strom-/Spannungsbeziehung an der Induktivität den kapazitiven Widerstand zu definieren als

(Die komplette Herleitung spare ich mir hier, sie geht analog zu der bereits vorgeführten Herleitung für XL.)

Um noch einmal auf das Verhalten einer Induktivität (ideale Spule) zurückzukommen: Ich hatte als Grundlage meiner Herleitung auf das Induktionsgesetz verwiesen. Das wiederum ist die mathematische Formulierung einer beobachteten Gesetzmäßigkeit, dass nämlich in einer Leiterschleife eine Spannung induziert (erzeugt) wird, wenn die Leiterschleife von einem zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss durchsetzt wird und dass diese Spannung umso größer ist, je größer die zeitliche Änderung des Flusses ist. Wenn man außerdem eine zweite und dritte und N-te Leiterschleife in Reihe schaltet, so beobachtet man, dass die induzierte Spannung auch proportional der Anzahl der Leiterschleifen, also der Windungszahl der Spule ist.

Diese Beobachtung lässt sich mathematisch beschreiben durch

Zur Abkürzung definiert man

und erhält damit das Induktionsgesetz

In einem anderen Zusammenhang, den hier im Forum jetzt aufzudröseln zu weit führen würde, hat man im Rahmen der Magnetostatik schon mal den beobachteten Zusammenhang

oder

mit Lambda=magnetischer Leitwert

mathematisch beschrieben und dabei den Term

als Induktivität definiert.

Mit

folgt dann die mathematsiche Beschreibung des Indukrionsgesetzes als

Da L definitionsgemäß eine Konstante ist (sie hängt nur von der Geometrie und den konstruktiven Daten der Spule ab, ist also für ein und dieselbe Spule immer dieselbe), folgt das Induktionsgesetz in der Form, wie ich es als Grundlage für die von Dir nachfragte Herleitung für XL benutzt habe:

Wie Du siehst, läuft Deine Frage nach den "Ableitungen" insofern ins Leere, als sie sich lediglich auf Beobachtungen "natürlicher" Phänomene, ihrer mathematischen Beschreibung und Weiterentwicklung bezieht. Die beobachteten Phänomene weiter zu erklären, ist genauso müßig, wie danach zu fragen, warum ein Stein nach unten fällt. Du wüdest darauf antworten, das liege an der Massenaziehung zwischen Erde und Stein, verkennst dabei aber, dass die mathematische Beschreibung des natürlichen Prinzips der Massenanziehung erst durch die Beobachtung, dass der Stein nach unten fällt, entwickelt wurde.

Abschließend: Ich finde es schon ein bisschen verwegen von Dir, zu behaupten, in den Lehrbüchern finde sich nichts Gescheites. Ich denke, dass das eher daran liegt, dass Du nicht lesen oder das Gelesene nicht verstehen kannst. Mit meinen obigen Ausführungen wird das vermutlich nicht anders sein, sie werden möglicherweise mehr Fragen aufwerfen als sie beantworten. Wenn das so ist, dann hilft nur eines: Lehrbuch nehmen, lesen, zu verstehen versuchen. Gegebenenfalls ein weiteres Buch zur Hand nehmen und die entsprechenden Kapitel durcharbeiten, eventuell noch ein weiteres Buch und noch eines und noch eines ... Diesen Vorgang nennt man übrigens "Studieren". Oder was hast Du gedacht, was das Studium sei?

Ascareth · Anmeldungsdatum: 11.11.2010 Beiträge: 203

Und ich weiß nicht recht was die Aufregung soll. Ich habe dich lediglich gefragt wie du auf den Ausdruck hier kommst:

Das hast du mit der Produktregel erklärt, was ich einleuchtend finde. Ich sehe das noch nicht selbst, weil ich damit eigentlich noch gar nicht rechne. Aber weil ich mich schon einmal flüchtig, wie ich zugeben muss, damit beschäftigt habe, verstehe ich es wenn es so ausführlich erklärt wird.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861