Aufbau des Magnetfeldes einer Spule

BlackJack · Anmeldungsdatum: 07.03.2004 Beiträge: 89 Wohnort: org 100h / Münsterland

moinsen.
ich will gerade die formel für das "aufladen" einer spule herleiten.
beim entladen war es kein problem; einfach
U0 = L*I'(t) + R*I(t) (U0=0)
<=>
L*I'(t) = -R*I(t),
also einfach eine differentialgleichung.

jetzt aber meim laden hab ich so meine probleme, da U0 =|= 0 ist.
für den kondensator kann ich es, wir haben das dann so gemacht, dass wir einfach noch einmal beide seiten abgeleitet haben, sodass das U0 rausfällt.
bei der spule bin ich jetzt so weit:
U0 = L*I'(t) + R*I(t)

wie komme ich da jetzt weiter? ich weiss natürlich, dass nachher
I(t) = I0*(1-e^(-R*t/L))
rauskommen muss, aber wie komme ich darauf?
wäre cool, wenn das jemand wüsste.
bis denne.

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

Ich hab mal in meinen Unterlagen nachgeschaut, mal sehen ob ichs zusammenkriege Augenzwinkern

Das ist die DGL die es zu lösen gilt:
U0 = L*I'(t) + R*I(t)
ein wenig umformen:
U0-L*I'-I*R=0
dann das können wir das I' ja auch so schreiben:
U0-L*dI/dt-I*R=0
So jetzt trennen wir die Variablen (also t nach links und I nach rechts):
U0/R-I=L/R*dI/dt (hier wurd einfach durch R geteilt)
dt/(L/R)=dI/(U0/R-I) (*)
So da wär ich nun von selbst auch nicht mehr draufgekommen Augenzwinkern

:
Variablensubstitution: x=U0/R-I
Und die Ableitung davon nach I brauchen wir auch noch:
dx/dI=-1 --> dI=-dx
Das dann in (*) einsetzen (also einmal für dI und für das was im Nenner steht):
dt/(L/R)=-dx/x
Das ganze nun auf beiden Seiten integrieren:
t/(L/R)+konst=-ln(x) (vll als anmerkung warum rechts keine integrationskonstante steht: man könnte die ja einfach in die konstante mit reinziehen die wir da links schon haben)
jetzt kann man wieder zurücksubstituieren:
-t/(L/R)+konst=ln(U0/R-I)
Da wenden wir dann mal die Exponentialfunktion drauf an:
e^(-t/(L/R)+konst)=U0/R-I
Nach I umformen:
I=U0/R-konst'*e^(-t/(L/R)) (naja eigentlich ist konst'=e^konst, aber das ist ja auch konstant)

So nun kann man noch mit der Randbedingung dass bei t=0 der Strom I(0)=0 ist die Konstante bestimmen:
I(0)=0 --> 0=U0/R-konst'*1 --> konst=U0/R

Also haben wir nun insgesamt:

I(t)=U0/R-U0/R*e^(-t/(L/R))
noch eben ausklammern:
I(t)=U0/R(1-e^(-t/(L/R))

oh ich seh gerade du hast das ergebnis etwas anders, also ersetz ich noch U0/R durch I0, und man teilt durch einen bruch indem man mit dem kehrwert multipliziert, dann steht da was du haben wolltest:
I(t)=I0*(1-e^(-R*t/L))

PS: Satan ist das Unübersichtlich Zunge raus

stopfi · Anmeldungsdatum: 06.04.2004 Beiträge: 16 Wohnort: Berg

Wird Zeit, das wir nen Formeleditor kriegen.

Gast

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=2646&sid=c546bcd6bfbbfae4046f96461038f758

Gast

Wie kommst du von (1-e^(-t(L/R)) auf (1-e^(-R*t/L))?
Damit die Ausdrücke gleich sind muss der Exponent gleich sein. Und -t*L/R ist doch nicht -R*t/L=-t* R/L??

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

Du hast recht da hat sich ein Fehler eingeschlichen, einen Bruchstrich hab ich verschlampt :

(1-e^(-t/(L/R))

Dann hat man für den exponenten:

-t/(L/R)=-t*(R/L) = -t*R/L = -R*t/L

und dann passt es ja auch wieder:

So jetzt schnell den Fehler korrigieren Augenzwinkern

Thomas · Administrator Anmeldungsdatum: 20.02.2004 Beiträge: 701

Ja ihr habt recht mit dem Formeleditor.

Werde das Ding mal in der Prioritätsliste nach oben schieben Augenzwinkern

Gruß,
Thomas

BlackJack · Anmeldungsdatum: 07.03.2004 Beiträge: 89 Wohnort: org 100h / Münsterland

jo dank vor allem an navajo, das hat mich ganz schön weiter gebracht. hab es allerdings ein bisschen anders am schluss gelöst:

...
-R/L dt = 1/X(t) dx

-R*t/L = ln X - ln X0
X/X0 = e^(-R*t/L)
X(t) = X0*e^(-R*t/L)
X(0) = U0/R = X0 (wegen der substitution und I(0)=0)
=>
U0/R-I(t) = (U0/R)*e^(-R*t/L) (zurücksubstituieren)
I(t) = (U0/R)*(1-e^(-R*t/L))
I(t) = I0*(1-e^(-R*t/L))

das ist doch genauso richtig, oder?

edit:
ach mist, mimetex (der formeleditor) scheint noch nicht richtig zu funktionieren; habs deshalb mal ausgeschaltet.

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

Joa ist ja prinzipiell dasselbe nur, nur dass das so mit der Integrationskonstante eleganter gelöst ist Freude

BlackJack · Anmeldungsdatum: 07.03.2004 Beiträge: 89 Wohnort: org 100h / Münsterland

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

Hmm also zumindest wenn es dasselbe ist, eifnach eine Integrationsgrenze zu wählen woraus dann nacher ne konstante wird, oder erst das Integral zu lösen und einfach ein C dahinterzuknallen. grübelnd

*denk* aber muss ja eigentlich, weil ich kann ja einfach C=-ln(X0) setzen, dann isses ja dasselbe. Soll wohl stimmen Augenzwinkern

Meromorpher · Anmeldungsdatum: 09.03.2004 Beiträge: 388

Thomas · Administrator Anmeldungsdatum: 20.02.2004 Beiträge: 701

Hi,

am Formeleditor/Mimetex-Implementierung werd ich wohl noch etwas schrauben.

Edit: Der Mimetex-Tag [mimetex]Tex-Ausdruck[/mimetex] sollte jetzt funktionieren! Formeleditor zu bequemen Eingabe kommt...

Gruß,
Thomas

Meromorpher · Anmeldungsdatum: 09.03.2004 Beiträge: 388

Test, lustige Gleichungen:

funktioniert schon mal nicht..

immerhin.

BlackJack · Anmeldungsdatum: 07.03.2004 Beiträge: 89 Wohnort: org 100h / Münsterland

na toll, hab heute klausur geschrieben. die herleitung kam natürlich nicht vor... böse

dafür lief es ansonsten trotzdem ganz gut Tanzen

Thomas · Administrator Anmeldungsdatum: 20.02.2004 Beiträge: 701

Du weißt ja, dass mimetex nicht zu 100% tex-kompatibel ist. Hier sind auf jeden Fall die gleichen Funktionen wie auf Matheboard implementiert.

Sonstige Fehler?

Gruß,
Thomas

Meromorpher · Anmeldungsdatum: 09.03.2004 Beiträge: 388

BlackJack · Anmeldungsdatum: 07.03.2004 Beiträge: 89 Wohnort: org 100h / Münsterland

ne, das war grade mal meine erste Abi-klausur. übermorgen noch mathe, freitag deutsch (dann erstmal am 1. Mai einen brennen), und dann eine woche später noch SoWi mündlich.
nunja, eigentlich hab ichs schon in der tasche, weil durchfallen kann ich eigentlich nicht mehr (es sei denn ich schreibe alles 6 oder so). naja das wird schon.

aber von wegen "nicht-standard": tchwort comptoneffekt.
normalerweise dreht sich alles um das gestreute photon, dessen winkel, impuls etc. aber in der klausur mussten wir das allem mit dem gestreuten elektron machen!! voll hart! wir hatten lediglich die energie des einfallenden gamma-quants und den streuwinkel gegeben, und daraus mussten wird impuls, geschwindigkeit, wellenlänge und streuwinkel des gestoßenen elektrons berechnen. das ist eigentlich auch nicht wirklich standard, oder? weil sonst kommt ja immer nur die berechung am gestreuten quant dran.

p.s.:
gibt es eigentlich so einen formeleditor wie z.b. bei mathtype, mit dem man sich alles ganz easy zusammenklicken kann und der die formel dann im MimeTex-syntax ausgibt?

Thomas · Administrator Anmeldungsdatum: 20.02.2004 Beiträge: 701

Hi,

wie gesagt, die reine Funktionsweise ist implementiert - Editor und Button und alles kommt smile

Ob es außer unserem Formeleditor noch so einen Zusammenklicker gibt, weiß ich leider nicht, glaube aber nicht geschockt

Wer will sowas schreiben von euch? Augenzwinkern

Gruß,
Thomas

Meromorpher · Anmeldungsdatum: 09.03.2004 Beiträge: 388

@BlackJack: Mit nicht-standard meinte ich eigentlich, dass deine Lösung, die man mit Schulwissen und etwas Mühe hinbekommen kann, nicht der Standardlösung entspricht und eher umständlich (nicht "elegant") ist.
Wenn Aufgaben zu Differentialgleichungen kommen, dann doch eher solche die man mit Schulwissen gut lösen kann.
Das mit dem Comptoneffekt ist natürlich ärgerlich. Wenn man das Elekton betrachtet darf man ein paar Vereinfachungen nicht machen, die die Rechnungen erleichtern.
Aber wenn man sich die Energie und Impulsbilanz ganz grundlegend aufschreibt und sich dann den Vorgang mit einer Skizze verdeutlicht kann man schon zu einer Lösung kommen.. Zeit ist doch (so wie ich mich erinnere;) ) in Abiklausuren kein Problem?
Auf jeden Fall noch viel Glück für die verbleibenden Prüfungen!

Es gibt für (La/Plain)-teX einige Editoren. Den Text kann man dann mit cutnpaste zwischen die mimetex-tags kopieren. Der Mathtype Editor hat glaube ich auch einen Übersetzer für TeX..