Wärmeleitung durch Oberfläche mit Wärmequellen

Steeni · Anmeldungsdatum: 10.11.2012 Beiträge: 5

Hallo zusammen,

ich bin gerade bezüglich eines Problems der Wärmeleitungsgleichung etwas am verzweifeln. Hab Physik studiert und sollte eigentlich wissen, wie ich das Problem löse. Eigentlich peinlich... (
Ist aber zu meiner Verteidigung auch schon einige Zeit her.

Also folgendes Problem Ich suche die zu erwartende Temperatur eines zylinderförmigen Volumens V, dass mit einem ebenfalls Zylinderförmigen Körper K verbunden ist. V wird durch Laserstrahlung erhitzt und gleichzeitig durch die Oberfläche zu K gekühlt.
Ich hab also einen Gewinnterm in V, den ich einfach berechnen kann und einen Verlustterm durch die Oberfläche zwischen V und K. Mann müsste das ja eigentlich berechnen können, indem man ein thermisches Gleichgewicht annimmt und dann die vereinfachte inhomogene Wärmeleitungsgleichung nach T auflöst. Ist ja eigentlich auch nur ein zwei-dimensionales Problem aber irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch...

Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!

PS: Bei Bedarf kann ich gerne eine Skizze anfügen...

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Ohne die geringste Idee - nur eine Frage vorab: Wie sind die Zylinder räumlich angeordnet? Und kann man "zweidimensional" als homogen bezüglich einer / der Zylinderachsen interpretieren?

Steeni · Anmeldungsdatum: 10.11.2012 Beiträge: 5

Die Zylinder berühren sich quasi an ihren runden Enden. Also ist Zylindersymmetrie gegeben. Beide Zylinder sind jeweils homogen, d.h. die Temperaturleitfähigkeit ist keine Funktion des Ortes.

Ich versuche gerade einen Ansatz, bei dem ich die Temperaturverteilung in K als Funktion des Ortes x berechne (also eindimensional) und dabei die homogene Wärmeleitungsgleichung ansetze. Als Anfangsbedingung hätte ich dann T(x,0)=T-Raum (also konstant) und als Randbedingung T(x,L)=T-Raum sowie T(0,t)=T-V(t). Dann hätte ich quasi eine inhomogene Randbedingung, weil T-V die Temperatur des Zylinders V ist und diese ja durch die einfallende Laserstrahlung zeitabhängig ist.
Wenn ich das dann löse und mir das thermische Gleichgewicht angucke, müsste ich T-V zum Zeitpunkt des thermischen Gleichgewichts bekommen.
Ich kriegs nur nicht gelöst... Hilfe

edit: Hab gerade gesehen, dass man hier auch Latex verwenden kann. Also:
Anfangsbedingung:

Randbedingung 1:

Randbedingung 2:

die Lösung folgender DGL ist gesucht:

Hoffe, ich habe das Problem richtig erfasst...

Besser wäre der zwei-dimensionale Fall in Zylinderkoordinaten

(mit gleichen Rand- und Anfangsbedingungen)

Vielleicht gibt es hier ja Experten für DGLs, die die Lösung aus dem Ärmel schütteln können.

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Was für Vereinfachungen sind denn erlaubt? Die Körper strahlen ja auch Wärmestrahlung ab und verlieren dadurch Energie, was für Medien sind drumherum?
Kann der Körper K die Wärme nicht abgeben wird natürlich irgendwann einfach die Temperatur beider Körper beliebig steigen.

edit:
Für den stationären Fall muss das eigentlich noch einfacher gehen:

Der stationäre Zustand ist erreicht wenn aufgenommene Leistung der Anordnung(Anteil der Energie des Lasers der in Wärme umgewandelt wird) identisch ist zur Abgegebenen(kann nicht wieder abnehmen, da der laser ja konstant strahlen soll).
Jetzt hängt es halt davon ab was du jetzt alles berücksichtigst und was drumherum ist. Auch ist die Temperatur nicht überall konstant(kA wie stark inhomogen das sein kann).
Wenn dich nur die Oberfläche interessiert, sollte das aber nicht hinderlich sein, zumal die Temperaturdifferenz der Kontaktstellen dafür egal ist, da diese ja zum System V+K gehört und der Austausch innerhalb nichts an der abgegebenen Leistung ändert.

Steeni · Anmeldungsdatum: 10.11.2012 Beiträge: 5

Hi,

wollte Wärmestrahlung nicht berücksichtigen. Beide Körper sind von Luft umgeben. Daher hab ich als Randbedingung für die Oberfläche von K einfach angenommen, dass diese Raumtemperatur hat.

Namenloser324 · Gast

Hätte K Raumtemperatur, so gäbe es doch gar keinen Wärmeaustausch zwischen K und der Umgebung. Das wäre kein stationärer Zustand.

Steeni · Anmeldungsdatum: 10.11.2012 Beiträge: 5

Nee, ist wohl ein Missverständnis. K soll nicht Raumtemperatur haben, sondern die Oberfläche von K. Ich male mal schnell ein Bild dazu...

Namenloser324 · Gast

^Danke für das Schaubild:

Ich würde dann wie folgt vorgehen:

Die abgegebene Leistung der gesamte Anordnung setzt sich ausschließlich aus Wärmeleitung durch Konvektion zusammen, da die Anordnung als Ganzes nur von Luft umgeben ist und du Abstrahlung von Energie via Wärmestrahlung vernachlässigen möchtest.
Deshalb gibt im stationören Fall(Ich habe angenommen, dass auf die eine Grundseite der Laser strahlt und sich dort die Leistung ideal homogen verteilt):

P_Verlust = P_laser

P_laser ist ja vorgegeben bzw. aufjedenfall bekannt.
P_Verlust ergibt sich als Integral über die Mantelfläche, mit dP_verlust = alpha*(T_Zylinder(z)-T_raum)*dA, mit dA = dz*R*2Pi, ich habe dein x bei mir z genannt.
Ist natürlich nur dann sinnvoll verwendbar, wenn alpha bekannt ist. Ist das nicht der Fall kann man ohnehin keine Aussage darüber machen.

Im stationären Fall folgt aus der Wärmeleitungsgleichung für den Zylinder(ich habe jetzt mal ignoriert dass er aus zwei verschiedenen Teilen besteht, dies würde sich nur in einem zweigeteilten Integral mit der weiteren Randbedingung T_Kontakt_K = T_Kontakt_V niederschlagen):
T(z) = (a+b*z)*(1/lambda), wobei lambda der wärmeleitungskoeffizient ist(welcher bei einem übergang von K zu V einen Sprung macht). a und b sind Konstanten die sich aus den Randbedingungen ergeben.
T(L) soll ja T_Raum sein, und T(0) ist noch fraglich. Die Randbedingungen ergibt sich aber(wenn ich mich nicht irre, ist mir gerade eingefallen) aus obiger Leistungsbilanz P_Verlust = P_Laser.

Du erhälst also die Gleichung:
Integral(alpha*(T(z)-T_Raum)*dA) = P_Laser, wobei du daraus dann T(0) erhälst(Integrieren und T(L) einsetzen, danach umformen).
Danach kennst du dann die Oberflächentemperatur im stationären Zustand.

Steeni · Anmeldungsdatum: 10.11.2012 Beiträge: 5

Hallo "Namenloser324",

danke für deine ausführlich Antwort. Leider bin ich vor heute nicht dazu gekommen, mir deinen Lösungsvorschlag anzusehen. Prinzipiell finde ich deine Vorgehensweise logisch. Ich komme aber mein Integrieren nicht weiter, weil ich weder die Konstanten a und b noch die Temperaturen T(0) und T(L) bestimmen kann. Ich lande am Ende bei folgender Gleichung:

Das kann ich zwar noch lösen aber wirklich weiter weiß ich dann nicht.

Das grundlegendere Problem ist aber, dass ich

nicht kenne. Ich denke, dass bei dem Problem die entstehende Hitze ohnehin problemlos durch Konvektion abgeführt wird. Daher wollte ich diese gar nicht betrachten und mich auf die Wärmeleitung zwischen den beiden Körpern beschränken.
Da der Körper V auch noch im Verhältnis zu K sehr klein (dünn) ist, wollte ich einfach nur die Wärmeleitungsgleichung in K lösen und sozusagen die gesuchte Temperatur in V als zeitabhängige Randbedingung nehmen. Ich hab die Skizze nochmal entsprechend ergänzt.
In erster Näherung interessiert mich dabei gar nicht die Temperatur auf der Zylinderfläche, sondern der x-abhängige Temperaturverlauf in K. Den müsste man ja eigentlich mit der Wärmeleitungsgleichung berechnen können. Ich weiß nur nicht wie.