Wärmeleitung/-strahlung Kabel

David Watz · Gast

Meine Frage:
Kabel im Vakuum mit der Länge x. Punkt A (Anfang Kabel) berührt eine Stelle die auf 20 Grad Celsius ist. Punkt B(Ende des Kabels) berührt eine kalte Stelle mit einer Temperatur von -200 Grad Celsius. Wie optimale Länge ausrechnen, um am wenigsten Hitzestrahlung vom Kabel zu haben, und aber auch größter Thermischer widerstand(damit der wärmeAustausch klein wird) zu haben? Das ganze will ich wissen um die Kabellänge zu optimieren damit die Kaltequelle nicht soviel über das Kabel an Kälte "verliert". Es gibt bereits eine Maximallänge, kann also nur gekürzt werden..

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre: die zwei Größen (Hitzestrahlung vom Kabel und Thermischer Widerstand) gegenseitig über die länge zu plotten und der Schnittpunkt als optimale Länge zu nehmen. Ist das möglich/richtig?
Wärmewiderstand wäre dann:

länge und Querschnittsfläche eines Kabels sind ja bekannt. Bzw wird die länge ja geplottet.
Wie gehe ich für die Wärmestrahlung vor?

Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 982

David Watz · Gast

Kannst du das etwas genauer erläutern bitte?
Ok, mal umforumuliert:
Ich habe zwei Quellen: Eine Quelle mit einer niedrigen Temperatur, eine Quelle mit einer höheren Temperatur. Die Quelle mit der hohen Temperatur entzieht der Quelle mit der niedrigeren Temperatur ihre Leistung..also Wärmeaustausch

Ich stelle mir das wie folgt vor:
Die zwei Quellen sind wie zwei Stromquellen, mit einem Widerstand(Kabel) der länge L dazwischen.
Die Querschnittsfläche der Litze kenne ich. Die Wärmeleitfähigkeit von Kupfer ist auch bekannt. Also kann ich den Rth berechnen.

So jetzt brauche ich noch den zweiten Teil. Wahrscheinlich die Wärmeleistung? Oder?

Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 982

Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 982

Nachtrag:

Bei der Energiebilanz gilt im stationären Zustand, dass die Summe aller Energien gleich Null ist. D.h. alles was an Energie rein geht, muss auch wieder raus. Die Temperatur des Drahtes an einer beliebigen Stelle bleibt konstant.

Für das Optimierungsproblem gilt, dass der Wert der am kalten Ende zum Behälter abgegebenen Energie (Wärme) möglichst klein sein soll.
Man löst also die Energiebilanz nach diesem Wert auf.
Das ergibt dann eine Funktion:
E(ab_kalt)=f(l)

E(ab_kalt) - vom Draht am kalten Ende abgegebene Wärme
l - Drahtlänge (freier Parameter)

Dann sucht man im Bereich der möglichen l das absolute Minimum für E(ab_kalt).

.

David Wantz · Gast

Das ganze ist im Vakuum, also kann ich die umgebungstemperatur nicht wissen. Zudem ist der Draht in einer Isolierung(normales Kabel). Das ganze ist in einem Behaelter in dem kein Licht rein kommt.
Geht das nicht einfacher? Mit einer Milchmaedchenrechnung, Pi mal Daumen?

Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 982

Wenn über die Länge des Drahtes keine weitere Wärme abgegeben/aufgenommen wird, weder in Form von Wärmeleitung noch in Form von Strahlung, dann wird es einfach.

Das längste mögliche Kabel bildet den größten thermischen Widerstand.

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DavidWa · Anmeldungsdatum: 04.08.2020 Beiträge: 3

Danke Frank.

Groesst moeglicher Thermischer Widerstand bedeutet aber auch maximale Laenge, also mehr Flaeche, die meine Quelle mit niedriger Temperatur kuehlen muss. Das ist nicht optimal, denn weniger Flaeche bedeutet dass meine Quelle weniger kuehlen muss. Richtig?

Ich stelle mir das wie im Bild 1 vor (eigene Skizze)

Da die Energie von der hoeheren Temperatur zur kaelteren Temperatur fliesst, wuerde ich sagen dass :
Q2. > Q1. ist

Ich denke das Optimum ist also erreicht wenn Q2. = Q1. ist ? Ist das richtig?

Als Plot wuerde dann sowas rauskommen:
Bild 2

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Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 982

DavidWa · Anmeldungsdatum: 04.08.2020 Beiträge: 3

Ich habe gerade den Eindruck, dass mich das gar nicht weiter bringt.

Nochmal:
Das Kabel liegt in einem Vakuum Behaelter. Das Kabel kommt von aussen, durch einen speziellen Vakuum Stecker in den Behaelter rein. Das Ende des Kabels im Vakuum beruerht eine Platine, welche Kontakt mit einer kalten Quelle hat(-200 Grad Celsius). Das andere Ende des Kabels ausserhalb des Vakuum Behaelters(und dann auch an der inneren Wand des Vakuum Behaelters) hat RT.
Jetzt meine Frage: ist der Thermische Widerstand der einzige Parameter, der aussagt, wieviel Energie meine Quelle in das Kabel pumpt/verliert?
Ich mein, je kuerzer das Kabel, also kleiner Rth, desto mehr Warme kommt von aussen richtung meine Platine und folglich auch kalte Quelle. Was schlecht ist, denn meine Platine soll nicht durch das Kabel erwaermt werden. Also ist laengeres Kabel besser, damit Rth gross wird und der Waermeaustausch kleiner, folglich wird meine Platine durch das Kabel eher weniger aufgewaermt.
Bedeutet das laengere Kabel aber dann, dass die Kalte Quelle eventuell mehr Material kuehlen muss? Das Kabel hat sozusagen nur durch den Leiter und Platine kontakt mit der kalten Quelle, das ganze ist im Vakuum.

Eventuell ist das so verstaendlicher. Oder ich habe ein Verstaendnisfehler

Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 982

Möglicherweise sind dir die Begriffe "stationärer" bzw. "instationärer" Zustand nicht geläufig.

Als instationären Zustand betrachtet man z.B. die Zeit kurz nach dem Einschalten, während der Inbetriebnahme oder bei schnell wechselnden Temperaturen.
Aus den letzten Beiträgen entnehme ich, dass dies Zeitraum eine untergeordnete Rolle spielt.

Also konzentrieren wir uns auf den stationären Zustand. Dieser wird erreicht, wenn man das System lange genug sich selbst überlässt und sich dabei die äußeren Randbedingungen nicht ändern.

Im stationären Zustand spielt für den dargestellten Versuchsaufbau mit den genannten Randbedingungen allein der thermische Widerstand eine Rolle, sprich, das Kabel sollte möglichst lang sein.

DavidWa · Anmeldungsdatum: 04.08.2020 Beiträge: 3

Eigendlich sind mir die Begriffe gelaeufig, aber habe die noch nicht auf mein Problem korrekt uebertragen koennen.
Die Platine wird langsam, sagen wir innerhalb von einer Stunde von RT auf die -200 Grad Celsius runtergekuelt, und dann soll es auch bei dieser Endtemperatur bleiben. Es geht mir nicht um die ersten Sekunden nachdem die Platine die tiefe Temperatur erreicht hat. Also nehme ich stark an dass es stationaer ist.

Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 982

Gast002 · Gast

Hallo,

vielleicht kann ich auch noch ein paar Gedanken beitragen.

1. Wärmeaustausch durch Wärmestrahlung
Der durch diesen Prozeß hervorgerufene Wärmestrom kann nach dem Stephan-Boltzmann-Gesetz berechnet werden. Erklärt wird das in Wikipedia: Wärmestrahlung, Abschnitt Berechnung. Ich nehme mal an, daß die geometrischen Verhältnisse in der Vakuumkammer es gestatten, die vereinfachte Formel zu benutzen für eine Oberfläche des Drahtes, die klein ist im Vergleich zur inneren Oberfläche der Vakuumkammer:

ist der zwischen 0 und 1 liegende Emissionsgrad des Drahtes (kennt man nicht, also ungünstigster Fall 1),

ist die Stephan-Boltzmann-Konstante und A die Oberfläche des Drahtes, von wo die Wärme abgestrahlt wird.

DavidWa hat gesagt, daß der Draht isoliert ist, "normales Kabel". Das würde ich als elektrische Isolierung verstehen, nicht als thermische. Auch wenn die Wärmeleitfähigkeit der Isolierung um Größenordnungen geringer ist als die von Kupfer, wird sich im stationären Fall etwa die gleiche Temperatur für Isolierung und Kupfer einstellen. Also muß man die äußere Oberfläche der Isolierung zur Berechnung der Wärmeabstrahlung ansetzen.

2. Rechnung
Eine näherungsweise Rechnung für des stationären Fall ist möglich, wenn man den Draht in viele kleine Stücken aufteilt und für jedes Stück die Wärmeströme berechnet. Von der warmen zur kalten Seite fließt am einen Ende jedes Stücks die Wärme aus dem vorhergehenden Stück rein und am anderen Ende fließt dieser Wärmestrom plus dem Wärmestrom, den das Drahtstück per Strahlung aufgenommen hat, an das nächste Stück weiter. Wenn man den durchfließenden Wärmestrom durch den thermischen Widerstand teilt, ergibt sich die Temperaturdifferenz zum vorhergehenden Drahtstück. Damit hat man dann wieder alle Angaben um den Strom der Wärmestrahlung nach dem Stephan-Boltzmann-Gesetz auszurechnen.

Ich habe das mal mit einer Exceltabelle gemacht. Am Anfang gebe ich eine Temperaturdifferenz für das erste Drahtstück vor. Dieser Wert muß durch Probieren so gewählt werden, daß am letzten Drahtstück genau die 73 K erreicht werden, die gefordert sind. Da Excel schnell genug rechnet, ist das Probieren kein Problem.

Die ganze Rechnung geht selbstverständlich davon aus, daß im Draht keine elektrische Energie in Wärme umgesetzt wird.

3. Ergebnis der Rechnung
Da ich die geometrischen Werte für die vorgesehene Experimentieranordnung nicht kenne, habe ich folgende Werte angenommen:
Drahtdurchmesser 0,5 mm (Rechnung ohne Annahme einer elektr. Isolierung)
Drahtmaterial Kupfer
Temperatur der Wand der Vakuumkammer 293 K
Länge des Drahtes 0,1 m / 0,2 m / 0,4 m / 0,6 m
Länge eines zu berechnenden Drahtstücks 2 mm

Der für das Experiment interessante Wert ist der Wärmestrom, der am Ende des Drahtes auf die Platine fließt. Ich erhalte folgende Werte:
0,1 m -> 0,2 W
0,2 m -> 0,14 W
0,4 m -> 0,13 W
0,6 m -> 0,13 W

Wenn man den Draht noch länger macht, ändert sich nichts mehr. Bei dem langen Draht ist der Temperaturverlauf so, daß am Anfang die Temperatur nur ganz langsam sinkt. Bei etwa 0,2 m vor dem 73 K Punkt wird die Temperaturabnahme immer steiler. Durch die sinkende Temperatur nimmt der Beitrag der Wärmestrahlung immer weiter zu. Bei dem kurzen Draht ist in Summe aller Drahtstücken der Beitrag der Wärmestrahlung zwar kleiner, aber dafür die Wärmeleitung von der warmen Anschlußstelle deutlich größer.

Durch Vergleich mit der verfügbaren Kälteleistung zum Abkühlen der Platine müßte man jetzt abschätzen, ob der von dem Draht eingebrachte Wärmestrom überhaupt relevant ist.

Beste Grüße

Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 982

Dem Threadsteller ging es in erster Linie darum, ob es günstiger ist, den Draht lang oder kurz zu halten.

Das Ziel war, am kalten Ende möglichst wenig Wärmeeintrag zu erhalten.

Das bedeutet, man muss das warme Ende möglichst weit weg bringen (langer Draht) um den thermischen Widerstand so groß wie möglich zu halten.

Ein langer Draht strahlt logischerweise auch mehr ab. Das kommt dem genannten Ziel (wenig Wärmeeintrag am kalten Ende) aber entgegen. Also ein doppelter Grund, den Draht lang zu machen.

Ungünstig wäre es nur, wenn über die Drahtlänge auch Wärmestrahlung absorbiert würde, z.B. durch Sonneneinstrahlung o.ä.
Das wurde aber vom Threadsteller ausgeschlossen.

Damit ergibt sich für das genannte Ziel eindeutig der möglichst lange Draht als günstig. Eine Optimierungsrechnung ist da imho nicht notwendig.

Man kann das noch verbessern, wenn man durch günstige Kabelführung und geeignete Reflektoren (Kabelummantelung mit Alufolie im Bereich des kalten Anschlusses) verhindert, dass die am warmen Ende oder von der Einhausung abgestrahlte Wärme auf das kalte Ende trifft und dort absorbiert wird.

Die Reflektoren ihrerseits sollten keinen direkten Kontakt zum kalten Behälter oder zur Einhausung haben.

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