| Autor |
Nachricht |
The Flash
Gast
|
 The Flash Verfasst am: 31. Okt 2012 23:33 Titel: Wurfweite und optimaler Wurfwinkel (Kaustik) |
 |
|
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Die Menge aller Bahnen bei einem schrägen Wurf im homogenen Gravitationsfeld F=mg*Einheitsvektor_z in der (x,z)-Ebene mit einem Startpunkt (x,z) = (0, h) in der Höhe z=h und gleichem Betrag der Anfangsgeschwindigkeit besitzt eine Einhüllende (eine Kaustik) z=h+a-(x^2):(4a) mit a= ((v_0)^2):(2g). Der Abwurfwinkel Phi für eine Bahn, die durch den Punkt (x,z) auf der Kaustik geht, ist gegebn durch tanPhi=(2a) x).
a) Berechnen Sie mit Hilfe der Gleichung für die Kaustik die maximale Wurfweite x_w und den dazu gehörigen optimalen Abwurfwinkel Phi_opt.
b) Zeigen Sie, dass auch die Kaustik selbst eine spezielle Bahnkurve darstellt (natürlich mit einem anderen Startpunkt). Wie groß ist die Geschwindigkeit dieser Bahn bei x=0?
Aufgabe a) habe ich bereits teilweise hoffentlich richtig berechnet. Meine Annahme ist, dass ich für die maximale Wurfweite den Schnittpunkt der Kaustik mit x-Achse suche, deswegen habe ich die Gleichung der Kaustik gleich 0 gesetzt. Mein Ansatz sieht also so aus: h+a-(x^2):(4a)=0, womt ich am Ende für x erhalte: x= (4a(h+a))^0,5.
Ich denke die Rechnung ist soweit richtig, doch weiß ich nicht ob dieses Ergebnis aussagekräftig ist, wenn nach der maximalen Wurfweite gesucht ist.
Mein Ergebnis für den maximalen Wurfwinkel muss richtig sein, denn der ist bekanntlich 45°, vorrausgesetzt der Wurf findet bei h=0 statt.
Da ja die Gleichung tanPhi= (2a)x) gegeben ist, habe ich die Gleichung von vorhin eingesetzt und erhalte somit als Ansatz: tanPhi=(2a)(4a^2)^0,5) und damit letztlich für den tan^-1=1, also beträgt der Winkel 45°.
Jetzt weiß ich nicht genau, was ich mit Aufgabe b) anfangen soll. Mein Ansatz ist, dass ich den Startpunkt verschiebe, und zwar an eine Stelle, an der z=0 ist. Doch ich weiß leider nicht, wie ich jetzt genau auf die Gleichung der Bahnkurve komme, die ich ja dann nur nocht ableiten müsste, um die Geschwindigkeit zu erhalten.
Es tut mir Leid, dass ich die Aufgabe nicht schön in Latex ausdrücken konnte, möchte mich aber jetzt mehr damit befassen, denn die Ergebnisse sprechen für sich.
Ich hoffe auf eure Hilfe!  |
|
 |
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 02. Nov 2012 10:30 Titel: |
|
|
Ohne die Angaben zu überprüfen und in der Vorstellung, daß der Treffpunkt dieser Kurve mit der x - Achse die maximale Wurfweite markiert:
z = 0 -> x -> tan phi ->
(Statt a noch v_0 einsetzen.)
Zumindest für h = 0 kommt man auf die bekannten 45 °
Zuletzt bearbeitet von franz am 02. Nov 2012 18:26, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
Packo
Gast
|
| Packo Verfasst am: 02. Nov 2012 18:10 Titel: |
|
|
|
Da ist schon in der Aufgabenstellung die Gleichung der Hüllkurve falsch. Da nützen auch die vielen Männchen, die da herumzappeln, nichts. |
|
|
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 02. Nov 2012 18:43 Titel: |
|
|
Hallo Packo,
Reparierst Du uns bitte die Hüllkurve? Und erklärst unserem Gast das mit den "herumzappelnden Männchen"?
Mit Dank & Gruß! |
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 02. Nov 2012 21:18 Titel: |
|
|
Also ich sehe hier keinen Fehler
Ich glaube aber Packo vermutet einen Vorzeichenfehler |
|
|
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 03. Nov 2012 04:12 Titel: |
|
|
|
Bis zur Herleitung der Hüllkurven - Formel habe ich mir die oben angegebene mal numerisch zusammen mit der dazugehörigen Kurvenschar von Wurfparabeln angesehen und kann, zumindest bei dem konkreten Beispiel, eine gute Übereinstimmung feststellen. ... |
|
|
Packo
Gast
|
| Packo Verfasst am: 03. Nov 2012 10:41 Titel: |
|
|
Die angegebene Gleichung der Hüllkurve ist richtig!
Ich habe mich geirrt.
Ich bin von einer Wurfschar aus dem Ursprung (0,0) ausgegangen.
Mich habe die tanzenden Männchen irritiert, deshalb hatte ich den Aufgabentext nicht richtig gelesen.
Tut mir Leid, wenn ich unnötige Rechenarbeit verursacht habe.
Ein Bild der Kurvenschar ist zu sehen bei:
w w w.picfront.org/d/8R3J |
|
|
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 03. Nov 2012 12:14 Titel: |
|
|
| Packo hat Folgendes geschrieben: | | Tut mir Leid, wenn ich unnötige Rechenarbeit verursacht habe. |
Kein Problem. Für mich war die Hüllkurve neu und interessant. Aber: Wie kommt man darauf?  |
|
|
Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
|
| Huggy Verfasst am: 03. Nov 2012 14:49 Titel: |
|
|
| franz hat Folgendes geschrieben: | | Packo hat Folgendes geschrieben: | | Tut mir Leid, wenn ich unnötige Rechenarbeit verursacht habe. |
Kein Problem. Für mich war die Hüllkurve neu und interessant. Aber: Wie kommt man darauf? |
Die Hüllkurve lässt sich elementar herleiten. Bei einem Abwurf vom Punkt (0, h) mit Geschwindigkeit v im Winkel  gilt:
 \quad x(t)=tv \cos \alpha)
 \quad z(t)=h+tv \sin \alpha - \frac {g}{2}t^2)
Auflösen von (1) nach t und einsetzen in (2) ergibt die Bahnkurve
 \quad z(x, \alpha)=h+x \tan\alpha-\frac {gx^2}{2v^2 \cos^2 \alpha})
Die Hüllkurve an der Stelle x ist definiert durch
=Max(z(x, \alpha)))
Das Maximum von ) ergibt sich durch Ableiten von (3) nach  und Nullsetzen der Ableitung. Man erhält:
 \quad \frac {\partial}{\partial \alpha} z(x, \alpha)=0=\frac {x}{\cos ^2 \alpha}-\frac {gx^2 \sin \alpha}{v^2 \cos ^3 \alpha})
 \quad \tan \alpha = \frac {v^2}{gx})
Einsetzen von (4b) in (3) führt unter Benutzung von
zu:
=h+ \frac {v^2}{2g}- \frac {gx^2}{2v^2})
Das stimmt mit der angegebenen Hüllkurve überein. |
|
|
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 03. Nov 2012 17:27 Titel: |
|
|
OT
Hallo Huggy,
ganz herzlichen Dank für die wunderbare Erläuterung
und einen freundlichen Gruß! |
|
|
The Flash
Anmeldungsdatum: 03.11.2012
Beiträge: 25
|
| The Flash Verfasst am: 04. Nov 2012 13:15 Titel: |
|
|
|
Oh! Danke für die vielen Antworten! Ich habe mich inzwischen registriert und werde mich jetzt mal an die Aufgabe setzen und mich bei eventuellen Fragen wieder hier melden |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
