Formel Hawking

Gustav123 · Gast

Meine Frage:
Hallo.
Es gibt doch eine Formel zur Berechnung der Lebensdauer Schwarzer Löcher.
Die Formel lautet:

Meine Frage: Ist dies eine Formel von Hawking oder gibt es diese Formel schon länger?

Wenn man die Formel anwendet, dann kommen als Einheit doch Sekunden heraus,
richtig?

In der englischen Wikipedia steht eine andere Formel zur Berechnung der Lebensdauer Schwarzer Löcher. Kann mir jemand sagen, warum das so ist?

Meine Ideen:
Vielen Dank für alle Antworten

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18103

Die Berechnung der Lebensdauer ausgehend von der Temperatur T ~ 1/M ist recht einfach. Also zunächst startet man mit Hawkings Formel T ~ 1/M. Dann weiß man aus der Thermodynamik, dass die abgestrahlte Leistung P proportional zur vierten Potenz der Temperatur ist. Die abgestrahlte Energie dE pro Zeiteinheit dt ist dann dE = P dt. Daraus folgt aber eine einfache Differentialgleichung für T(t) bzw. M(t), denn der Verlust an abgestrahlter Energie E(t) entspricht natürlich unmittelbar einem Verlust an Ruhemasse M(t).

Aber Achtung: Hawking selbst schreibt, dass seine Strahlungsformel T ~ 1/M nur für genügend schwere Löcher anwendbar ist, da sonst seine Näherungen nicht mehr zutreffen. Diese Lebensdauerberechnung setzt aber voraus, dass Hawkings Formel für beliebig kleine Masse M gültig bleibt!

Interessiert dich die genaue Ableitung der Lebensdauer?

Gustav123 · Gast

Hallo Tom.

Ja, mich interessiert die genaue Ableitung der Lebensdauer!

Gustav123 · Gast

Und was ist mit der Formel, die in Wikipedia steht? Also die Formel, die ich angegeben habe?
Ist die auch von Hawking?

Was bedeutet die Formel T ~ 1/M genau?
Das habe ich noch nicht so ganz verstanden.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18103

Für die Temperatur T des SLs gilt nach Hawking die umgekehrte Proportionalität zu dessen Masse M (ich fasse die ganzen Konstanten mal zu einer zusammen)

Ganz allgemein gilt für einen ‚schwarzen Körper’ der Temperatur T das Stefan-Boltzmann Gesetz, demzufolge die abgestrahlte Leistung P und demnach die abgestrahlte Energie pro Zeit dE/dt der vierten Potenz der Temperatur sowie der Fläche A proportional ist

Für die Fläche A des Ereignishorizontes gilt dabei

Mit einer Konstanten a; der Schwarzsschildradius ist der Masse direkt proportional:

Der Masseverlust dM je Zeiteinheit dt entspricht gemäß E = Mc² direkt der abgegeben Stahlungsenergie dE (Minuszeichen, da sich die Masse verringert)

Daraus folgt dann für den Masseverlust pro Zeit

Damit haben wir eine Differentialgleichung für die Veränderung der Masse des SLs

Der vorige Ausdruck kann direkt zur Trennung der Variablen verwendet werden

Die rechte Gleichung kann man direkt integrieren

wobei jetzt die Masse M(t) ein SLs der ursprünglichen Masse M0 ab dem Zeitpunkt t=0 betrachtet wird. Integration liefert

Auflösen nach M = M(t) liefert die Zeitabhängigkeit der Masse.

Für die Gesamtlebensdauer t0 setzt man M=0, d.h. man nimmt an, dass bei t=t0 die Masse M(t0) = 0 erreicht und das SL komplett verdampft ist.

Gustav123 · Gast

Hallo Tom,
danke für deine Erklärung.
Ich muss aber nochmal nachfragen.

Stimmt die Formel, die ich angegeben habe, mit deiner überein?

Was bedeuten die Variablen in deiner Formel?
c² ist mir klar.
Aber der Rest nicht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18103

Na, die Lebensdauer sakaliert mit M³; der Rest sind irgendwelche Konstanten, die du gerne nachschlagen kannst, die aber für die prinzipielle Betrachtung irrelevant sind. In deiner Formel sind sie in dem Lambda zusammengefasst. Passt also

Gustav123 · Gast

Ich habe gerade eben gelesen, dass diese Formel nicht für supermassereiche Schwarze Löcher gültig ist.
1. Warum ist das so?
2. Kann man die Formel so modifizieren, dass sie auch für supermassereiche Schwarze Löcher gültig ist?
3. Gilt die Formel auch für Mini Black Holes?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18103

Warum sollte die Formel nicht für beliebig schwere SLs gelten? Wo hast du das gelesen?

Für zu kleine SLs gilt sie nicht, da - wie erwähnt - sie unter der Annahme hergeleitet wurde, dass man Effekte der Quantengravitation vernachlässige kann

Gustav123 · Gast

Danke für deine Antwort.

Es tut mir leid, aber ich finde die Seite nicht mehr wo das stand.
Das stand aber:"Achtung! Diese Formel ist nicht anwendbar für supermassereiche Schwarze Löcher." Mehr nicht.

D2 · Anmeldungsdatum: 10.01.2012 Beiträge: 1723

Zum Nachschlagen:
"Hawking-Strahlung in Laserpulsen beobachtet"
Veröffentlicht von Jörg am October 1, 2010
http://scienceblogs.de/diaxs-rake/2010/10/01/hawkingstrahlung-in-laserpulsen-beobachtet/

## · Gast

Schwarze Löcher sind per Definition nicht strahlend, wenn sie nach Hawking nun doch strahlen, dann stimmt die Einstein-Theorie vom Ansatz her (Äquivalenzprinzip) eben nicht.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583