Größe des Universums beim Urknall

JASMS · Anmeldungsdatum: 30.08.2012 Beiträge: 8 Wohnort: München

Wenn das Universum heute unendlich groß ist, wie groß war es dann eigentlich beim Urknall? Entweder muß es damals auch schon unendlich groß gewesen sein (nur dichter als heute), oder es muß sich in der Zwischenzeit mal unendlich ausgedehnt haben ...

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Wer sagt denn dass es unendlich gross ist?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18109

Nehmen wir als Beispiel ein flaches, unendlich ausgedehntes Universum (was nicht nachgewiesenermaßen heute so zutreffen muss). In gewisser Weise war es dann damals auch unendlich groß, aber das ist nur rein mathematisch zu verstehen. Betrachten wir dazu eine spezielle Ausprägung des Friedmann-Robertson-Walker Universums für k=0, also für ein flaches, nicht gekrümmtes Universum.

Die Metrik lautet dann

Dabei haben wir für den räumlichen Teil Kugelkoordinaten mit Radialkoordinate r und Winkelkoordinaten Omega eingeführt (wobei wir letztere hier nicht brauchen). Die Radialkoordinate ist als Koordinate unbeschränkt, d.h. es gibt keinen "maximalen Radius"; insofern ist das Universum unendlich, man kann es es sich zunächst (in einem zweidimensionalen Bild) als Ebene vorstellen.

Allerdings geht in eine Definition von physikalischen, messbaren Abständen auf dieser Ebene der sogenannte Skalenfaktor a(t) ein. Geben wir einem beliebigen Punkt dir Radialkoordinate r=0 und zeichnen anschließend einen Kreis mit Radialkoordinate R=const. um diesen Punkt. Die physikalischen Abstände d dieses Kreises vom Mittelpunkt sind dann gegeben durch

d.h. der messbare Radius skaliert mit a(t).

Für diesen Skalenfaktor a(t) gilt in einem flachen Universum die Gleichung

mit

Der Parameter w beschreibt dabei den Zusammenhang zwischen Energiedichte und Druck und hängt vom Materie- oder Strahlungsinhalt des Universums ab. Im frühen Universum ist w = 1/3 eine sinnvolle Annahme, d.h.

Nun kann man zwei Betrachtungen anstellen

1) Wann wähle einen beliebigen Kreis auf einer unendlich ausgedehnten Ebene mit beliebig großer, aber fester Radialkoordinate R. Der physikalisch relevante Abstand vom Mittelpunkt ergibt sich aus der o.g. Lösung zu

Dieser Abstand wird Null für t=0 und strebt für wachsende Zeit gegen Unendlich. Insofern hatten alle Punkte innerhalb und auf diesem Kreises zu Beginn = beim Urknall den Abstand d = 0.

2) Man betrachte für einen Zeitpunkt t einen Kreis mit Radialkoordinate

D.h. man konstruiert so eine Schar von Kreisen. Berechnet man nun für jeden dieser Kreise je Zeitpunkt t den Abstand d(t) so findet man

Diese Kreise darf man sich als nichts Physikalisches vorstellen!! Es ist nur eben so, dass man diese Schar von Kreisen definieren kann (und dass die Orte, die auf diesen Kreisen liegen auch existieren), d.h. man findet für beliebig kleine Zeiten t, die gegen Null streben, Kreise auf der Ebene, deren Abstand vom Mittelpunkt mit r=0 tatsächlich divergiert.

D.h. es gibt für beliebig kleine Zeiten Orte, so dass deren physikalischer Abstand voneinander beliebig groß ist. Insofern „war dieses Universum zum Urknall bereits unendlich groß“.

Man beachte aber, dass dies jeweils nur ein Grenzprozess ist und dass man genau genommen für t=0 keine sinnvolle Aussage treffen kann. Und man beachte außerdem, dass wir davon ausgehen müssen, dass die Allgemeine Relativitätstheorie nahe dem Urknall keine physikalisch sinnvolle Theorie mehr ist, sondern durch eine (noch zu findende) Quantengravitationstheorie ersetzt werden muss.