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zuggnom
Gast
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 zuggnom Verfasst am: 05. Sep 2012 21:18 Titel: Zug |
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| Zitat: | Ein Rennwagen durch fährt zwischen zwei Haarnadelkurven eine Strecke s0, wobei Anfangs- und Endgeschwindigkeit annähernd gleich null seien. Die als konstant angesehene Beschleunigung ist a1, die ebenfalls als konstant vorausgesetzte Verzögerung a2
a)
Welche minimale Zeit t0 benötigt der Wagen für die Strecke s0 ?
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Lösung:
(irgendwie kann latex bei mir nicht angezeigt werden)
t0 = sqr((2s0(a2-a1)/(a1*a2)) = 12 s
Ich frag mich wie die auf diese Lösung gekommen sind? Bei der Lösung steht leider nur diese Gleichung und sonst nix -.- Ich selbst hatte an so etwas gedacht:
s0 = (a2-a1)t^2/2 und dann nach t auflösen, aber da fehlen dann die a1*a2 und 2s0(a2-a1) hhm
Kann mir jemand helfen?
Wie löst man grundsätzlich solche Aufgaben??
Gruß |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 06. Sep 2012 20:59 Titel: |
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Wenn ich ich richtig interpretiere, wird mit v auf die Strecke s aufgefahren, t_x lang mit bekanntem a_1 beschleunigt und dann (t - t_x) mit bekanntem a_2 gebremst, wobei v am Ende sich wieder einstellt und gesucht ist eine minimale Gesamtzeit t?
Wenn das so ist, vermute ich, daß tx und t sich zwangsläufig ergeben, also nichts zu optimieren ist.(?) |
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Packo
Gast
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| Packo Verfasst am: 06. Sep 2012 22:00 Titel: |
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@franz,
das Optimieren besteht darin, dass kein Stück mit konstanter Geschwindigkeit gefahren wird. Also nur Beschleunigen und Bremsen.
Außerdem ist am Anfang und am Ende v = 0.
Die Frage ist: wie lange dauert die Gesamtfahrt, ausgedrückt durch Strecke s0 und a1 und a2. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 06. Sep 2012 22:04 Titel: |
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OK, also nix "minimal", wie schon vermutet. |
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zuggnom
Gast
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| zuggnom Verfasst am: 07. Sep 2012 03:39 Titel: |
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Ja und wie kommen die jetzt auf die Lösung???
(trotzdem danke, für die eher wenig hilfreichen antworten...was solls)
Gruß |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 07. Sep 2012 06:28 Titel: |
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Vielleicht erstmal eine Skizze v(t): Gleichmäßige Beschleunigung von 0 bis t_1, dann gleichmäßige Abbremsung in der Zeit von t_1 bis t_0. Die Fläche unter diesem Dreieck ist der zurückgelegte Weg.
Für die beiden unbekannten t_1 und t_0 gibt es zwei Bedingungen: Bekannter Gesamtweg s_0 und bekannte v(0) = v(t_0) = 0, also zwei Gleichungen für zwei Unbekannte
 = \frac{1}{2}a_1t_1^2 + \frac{1}{2}a_2(t_0 - t_1)^2)
=a_1 t_1 - a_2 (t_0 - t_1) = 0)
Wenn soweit richtig, könnte man aus [2] das t_1 bestimmen und in [1] einsetzen, was dann zu t_0 führt.
PS Falls das "minimal" etwa so gemeint sein sollte: Wie sind die (jeweils konstanten) Beschleunigungen zu wählen für eine minimale Fahrtzeit, kommt man meines Erachtens auf kein sinnvolles Ergebnis. (Außer vielleicht "doll beschleunigen und doll bremsen".)
PPS Was Deine lockere Anmerkung bezüglich der | Zitat: | | eher wenig hilfreichen antworten |
angeht: Das eigentliche Problem, nicht nur hier, ist das Verständnis des Sachverhaltes, der im Fragetext oben etwas unklar ist und weniger die Formelspielerei. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 07. Sep 2012 11:24 Titel: |
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Bei Gl. [1] ist nicht berücksichtigt, dass der Wagen zu dem Zeitpunkt  die Geschwindigkeit  hat. Außerdem sollte man das Vorzeichen von  in beiden Gleichungen einheitlich behandeln. Nimmt man als positiv an (die Bremsbeschleunigung ist dann  ), bleibt Gl. [2] unverändert und Gl [1] sollte lauten:
-\frac{a_2}{2}(t_0-t_1)^2)
Damit kommt man fast auf die angegebene Formel. Es ergibt sich:
}{a_1a_2}s_0})
Wählt man negativ, ergibt sich die angegebene Formel. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 07. Sep 2012 12:19 Titel: |
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| Huggy hat Folgendes geschrieben: | | Bei Gl. [1] ist nicht berücksichtigt, dass der Wagen zu dem Zeitpunkt die Geschwindigkeit hat. |
Doch! Das ist durch Gleichung [2] berücksichtigt.
| Huggy hat Folgendes geschrieben: | | Außerdem sollte man das Vorzeichen von in beiden Gleichungen einheitlich behandeln. |
Wenn man streng nach Aufgabenstellung geht, so muss a2 als positiv eingesetzt werden, und die Gleichung von franz ist richtig. Denn a2 ist als Verzögerung angegeben (die Musterlösung weicht allerdings davon ab und ist darüber hinaus falsch, da a2 und a1 im Zähler vertauscht sind).
Wenn zuggnom uns die vorgegebenen Zahlenwerte von a1, a2 und s0 verrät, lässt sich das leicht überprüpfen, denn die Musterlösung nennt einen Zahlenwert von t0=12s.
Jedenfalls ist Deine Lösung, Huggy, falsch, wenn Du für a2 einen negativen Wert eingibst. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 07. Sep 2012 12:37 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Huggy hat Folgendes geschrieben: | | Bei Gl. [1] ist nicht berücksichtigt, dass der Wagen zu dem Zeitpunkt die Geschwindigkeit hat. |
Doch! Das ist durch Gleichung [2] berücksichtigt. |
Unfug! Das muss auch in Gleichung [1] berücksichtig werden. Setzt man in Gl.[1] von franz  , befindet sich der Wagen zur Zeit  noch am selben Ort, wo er sich zu der Zeit befunden hat, obwohl er doch dann unverändert mit der Geschwindigkeit weiterfährt.
| Zitat: | | (die Musterlösung weicht allerdings davon ab und ist darüber hinaus falsch, da a2 und a1 im Zähler vertauscht sind). |
Wieder falsch! Versieht man mit einem Minuszeichen, so auch im Nenner. Das Minuszeichen in den Zähler gebracht, ergibt die Vertauschung, welche also richtig ist.
| Zitat: | | Jedenfalls ist Deine Lösung, Huggy, falsch, wenn Du für a2 einen negativen Wert eingibst. |
In meiner Lösung hat einen positiven Wert. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 07. Sep 2012 16:00 Titel: |
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Hallo Huggy,
mir scheint, daß Du zur Lösung einen allgemeineren Weg, meinetwegen durch die Untersuchung von s(t) mit Beschleunigung und Abbremsung gegangen bist (eventuell noch mit Vorzeichen + und - für die Beträge), dann nach und nach die Bedingungen eingebaut hast und vermutlich das Ergebnis
s_0}{a_1a_2}})
erhalten hast. Richtig?
Ich habe diese Bedingungen, insbesondere v(0) = v(t_0) = 0 von anfang an in den Gleichungen berücksichtigt, auch die Verwendung der Beschleunigungs-Beträge war dem geschuldet; hätte zusätzlich vielleicht noch angegeben werden können. So kommen wir beide, auf verschiedenen Wegen, zum gleichen Ergebnis: t_0 = ... siehe oben
Auch dieses Mißverständnis
| Zitat: | | Setzt man in Gl.[1] von franz , befindet sich der Wagen zur Zeit noch am selben Ort, wo er sich zu der Zeit befunden hat, obwohl er doch dann unverändert mit der Geschwindigkeit weiterfährt. |
dürfte der unterschiedlichen Herangehensweise geschuldet sein. a_2 kann bei mir nicht null werden, weil es sonst kein v(t_0) = 0 gibt, oder wegen der Endformel oder meinetwegen auch wegen [2]. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 07. Sep 2012 16:43 Titel: |
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franz,
ich habe auch die beiden Gleichungen [1] und [2] benutzt, um t zu berechen, Nur habe ich Gl. [1] modifiziert wie oben angegeben. Die Gl.[2] habe ich identisch von dir übernommen. Jetzt rätsele ich, wie du mit den ursprünglichen Gleichungen auf dasselbe Ergebnis kommst.
Die Annahme in der Diskussion mit GvC hat nichts mit der Aufgabe direkt zu tun. Sie sollte nur zeigen, dass die Gl [1] so nicht stimmen kann. Sie beschreibt ja unabhängig von der Aufgabe, an welchem Punkt  man ankommt, wenn man beginnend mit Geschwindigkeit 0 erst eine Zeit konstant beschleunigt und dann eine Zeit  konstant verzögert. Und da kann man erst mal beliebiges für die die Beschleunigungen einsetzen. Mit dem Beispiel  wird offensichtlich, dass da ein Term fehlt. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 07. Sep 2012 16:58 Titel: |
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Vorschlag: Schreibe bitte mal Deine ureigene Lösung an; vielleicht verstehen wir uns dann besser.  |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 07. Sep 2012 17:07 Titel: |
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Ich habe das Gleichungssystem
=a_1 t_1 - a_2 (t_0 - t_1) = 0)
genommen und nach aufgelöst. Als Lösung habe ich erhalten:
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 07. Sep 2012 17:14 Titel: |
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Gut
=a_1 t_1 - a_2 (t_0 - t_1) = 0\Rightarrow a_1t_1=a_2(t_0-t_1)\Rightarrow)
\cdot (t_0-t_1)-\frac{a_2}{2}(t_0-t_1)^2=\frac {a_1}{2}t_1^2+\frac {a_2}{2}(t_0-t_1)^2)
q.e.d. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 07. Sep 2012 17:27 Titel: |
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Ja, jetzt sehe ich, was du gemacht hast, und dass das identisch zu mir ist. Tut mir leid, dass der Groschen bei mir nicht gleich gefallen ist. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 07. Sep 2012 17:29 Titel: |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 07. Sep 2012 17:32 Titel: |
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@Huggy
Danke für die eine oder andere Klarstellung, insbesondere dafür, dass in Deine Formel ein positiver Wert für a2 eingesetzt werden muss (also der Verzögerungswert). Das hatte ich missverstanden. Dann ist Deine Lösung natürlich richtig und die Musterlösung nach wie vor falsch (nur meine Begründung war falsch, da habe ich nicht aufgepasst). Denn Deine Lösung ist nur richtig für positives a2.
Was Deine Argumentation zu den Gleichungen von franz angeht, so kann ich Dir allerdings nicht ganz folgen.
t1 ist die Beschleunigungszeit. Wenn die Verzögerung a2=0 ist, dann ist auch die Verzögerungszeit t2=0. Der Wagen beschleunigt also permanent, ist also zu jedem Zeitpunkt auch an einem anderen Ort.
Irgendwie scheint da ein Missverständnis vorzuliegen. Wie kommrt es denn sonst, dass die Gleichungen von franz zu derselben Lösung führen wie Deine, von der wir beide ja überzeugt sind, dass sie richtig ist? Da Du Deinen Rechenweg nicht angegeben hast, ist mir auch nicht ganz klar, wie Du auf Deine Lösung kommst.
Eines ist doch jedenfalls klar: Wenn der Wagen aus einer beliebigen Geschwindigkeit v mit einer Verzögerung a2 auf Null abgebremst wird und dafür eine Zeit t2 benötigt, hat er eine Strecke von
zurückgelegt. Oder bist Du da anderer Meinung?
Und wenn der Wagen zuvor mit a1 eine Zeit t2 lang beschleunigt wird, dann hat er eine Strecke
zurückgelegt. Ebenfalls klar sollte sein, dass die Gesamtsrecke sich als Summe der Beschleunigungs- und der Bremsstrecke ergibt, oder? Und genau das hat franz geschrieben.
EDIT: Mein Beitrag hat zu lange gedauert, da ich zwischendurch weg war. Aber mittlerweile hat sich ja alles in Wohlgefallen aufgelöst. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 07. Sep 2012 18:01 Titel: |
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| Zitat: | | Dann ist Deine Lösung natürlich richtig und die Musterlösung nach wie vor falsch |
In der Musterlösung ist offenbar trotz des Textes, der anderes vermuten lassen könnte, ein negatives angenommen. Und dann stimmt sie doch. |
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zuggnom
Gast
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| zuggnom Verfasst am: 07. Sep 2012 19:07 Titel: |
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Hoi, danke für die Antworten, gegeben war:
s0 = 120 m a1 = 2,5 m/s^2 und a2 = -5,0 m/s^2 |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 07. Sep 2012 20:00 Titel: |
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Diese Mitteilung erfolgt recht spät und hätte einige Überlegungen anders gestaltet. Nun ja, die Lösungsformel irgendwo oben wirst Du schon erspäht haben. Dadrin bedeutet jedoch a_2 der Betrag der Bremsbeschleunigung, also 5 m/s². Den Rest schaffst Du hoffentlich alleine. |
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zuggnom
Gast
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| zuggnom Verfasst am: 08. Sep 2012 12:50 Titel: |
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Jop ! Vielen Dank für die Antworten an alle
Gruß |
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