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physic
Gast
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 physic Verfasst am: 13. Nov 2013 12:06 Titel: Zug |
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Moin,
ein Zug fährt mit einer Geschwindigkeit v_0 unter einer Befüllstation her und bewegt sich in x-Richtung. Die Leermasse beträgt M, sowie die Länge l. Das Füllmaterial fällt mit konstanter Rate R in den Waggon und nimmt instantan die Geschwindigkeit des Zuges an.
Aufgabe dazu: Bestimmung der Weg-Zeit-Funktion.
Meine Ideen:
Ich stelle die DGL auf und löse diese mit dem Exponentialansatz.
Mithilfe des Exponentialansatzes und der gegebenen Anfangsbedingungen ergibt sich folgendes Weg-Zeit-Gesetz.
=\frac{m}{R} \cdot v_0-\frac{m}{R} \cdot v_0 \cdot e^{-\frac{R}{m} \cdot v_0}) |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 13. Nov 2013 16:53 Titel: |
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Ehrlich gesagt, verstehe ich Deinen Ansatz nicht. Eines kann ich aber mit Sicherheit sagen. Das Ergebnis ist falsch, sowohl physikalisch als auch mathematisch.
Physikalisch deshalb, weil der Zug nach diesem Ergebis ganz offenbar steht, denn auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur Konstanten und keine Zeit.
Mathematisch deshalb, weil in Deinem Ergebnis der Exponent von e die Dimension Beschleunigung hat. Der Exponent muss aber immer dimensionslos sein.
Ich würde den Impulserhaltungssatz anwenden. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 13. Nov 2013 17:16 Titel: |
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Richtig wäre folgende Gleichung:
=\frac{m}{R} \cdot v_0-\frac{m}{R} \cdot v_0 \cdot e^{-\frac{R}{m} \cdot t})
So, jetzt passen auch die Einheiten.
Gruß Planck1858
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Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 13. Nov 2013 18:43 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | Richtig wäre folgende Gleichung:
So, jetzt passen auch die Einheiten.
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Aber jetzt passt die Physik (Impulserhaltungssatz) nicht. (Vorausgesetzt, ich habe mich nicht vertan) |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 13. Nov 2013 19:06 Titel: |
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Ich habe die Gleichung gerade mal an einem Beispiel aus dem Giancoli ausprobiert und komme damit auf die gesuchte Geschwindigkeit nach vorheriger Ableitung der Gleichung.
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Wiktoria
Gast
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| Wiktoria Verfasst am: 13. Nov 2013 19:48 Titel: |
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Es wirkt in x-Richtung keine äußere Kraft auf den Zug. Daher Impuls in x-Richtung konstant.
Der Zug hat Masse M (nicht m).
NEWTON:
/dt = M*dv/dt + v*dM/dt = M*\dot{x}+v*R=0)
Lösung dieser Dgl:
=A+B*e{-R/M*t})
=0+B*e^{-R/M*t}*(-R/M))
für t=0
=v_0)
und x(t) = 0
Dies ergibt A = v0*M/R
und B = -v0*M/R
eingesetzt:
=v_0*M/R-v_0*M/r*e^{-R/M*t})
So wie planck es gesagt hat. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
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| planck1858 Verfasst am: 13. Nov 2013 20:53 Titel: |
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Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
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Zuletzt bearbeitet von planck1858 am 14. Nov 2013 09:10, insgesamt einmal bearbeitet |
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jmd2
Gast
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| jmd2 Verfasst am: 13. Nov 2013 21:55 Titel: |
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Sicher?
Oder hat sich nicht doch ein Fehler eingeschlichen? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 14. Nov 2013 00:03 Titel: |
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| Wiktoria hat Folgendes geschrieben: | ...
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Tippfehler: Über dem x fehlt der zweite Punkt.
Der entscheidende Fehler liegt aber bereits im Ansatz. Denn
)
Richtig wäre
)
mit
Mich wundert nur, dass planck mit dem falschen Ansatz ein richtiges Ergebnis für ein Übungsbeispiel aus dem Giancoli herausbekommen hat. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 14. Nov 2013 09:15 Titel: |
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Wenn die DGL lautet:
Dann löst man diese ja mit dem Exponentialansatz und berücksichtigt die Anfangsbedingungen, es ergibt sich dann folgende Gleichung für das Weg-Zeit-Gesetz:
=v_0 \cdot \frac{M}{R}-v_0 \cdot \frac{M}{R} \cdot e^{-\frac{R}{(M+R \cdot t)} \cdot t})
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:
=\left(-\frac{M \cdot R \cdot v_0 \cdot t}{(M+R \cdot t)^2}+\frac{M \cdot v_0}{(M+R \cdot t)}\right) \cdot e^{-\frac{R}{(M+R \cdot t)} \cdot t})
Ich habe gerade mal ausprobiert das Weg-Zeit-Gesetz nach t hin aufzulösen, jedoch entsteht dabei bei mir ein Problem.
}{R} \cdot ln\left(-\frac{x \cdot R}{v_0 \cdot M}\right))
Diese Gleichung ließe sich ja so nicht lösen, da ich den ln aus einer negativen Zahl ziehen müsste.
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 14. Nov 2013 11:14 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | Wenn die DGL lautet:
Dann löst man diese ja mit dem Exponentialansatz und berücksichtigt die Anfangsbedingungen, es ergibt sich dann folgende Gleichung für das Weg-Zeit-Gesetz:
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Das ist aber keine Lösung der DGL, wie man leicht nachrechnet. Zur Bestimmung der Geschwindigkeit braucht man auch keine DGL zu lösen. Es ist
=(M+Rt)v(t)=p(0)=Mv_0)
=\frac {Mv_0}{M+Rt})
) ergibt sich daraus durch eine einfache Integration.
Weshalb ignorierst du die Anmerkungen von GvC?
Zuletzt bearbeitet von Huggy am 14. Nov 2013 12:24, insgesamt einmal bearbeitet |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 14. Nov 2013 11:49 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | |
planck, es ist nicht das erste Mal, dass Du Deine Beiträge nachträglich änderst. Das kannst Du tun, solange Dein Beitrag an letzter Stelle steht. Aber einen Beitrag zu ändern, auf den ein Einwand folgte (im vorliegenden Fall sogar zwei Einwände), stört die Nachvollziehbarkeit der Diskussion ganz empfindlich. An Stelle Deines zitierten Beitrags (13. Nov 2013 20:53) stand als Zustimmung zum Beitrag von Wiktoria (13. Nov 2013 19:48) bis heute Morgen noch:
"So soll es sein!" versehen mit dem Thumps-up-Smilie
Danach regt jmd2 zum Nachdenken darüber an, ob sich nicht vielleicht doch ein Fehler eingeschlichen hat, und ich zeige den Fehler auf. Erst danach änderst Du Deine Meinung, korrigierst Deinen vorherigen Beitrag und schlägst mit einem neuen Beitrag ziemlich abenteuerliche mathematische Kapriolen.
Es ist doch überhaupt keine Schande, sich in einer wissenschaftlichen Diskussion überzeugen zu lassen. Dazu wird sie doch geführt. Wenn sie - wie hier - öffentlich erfolgt, sollte sie allerdings auch nachvollziebar bleiben, damit andere Teilnehmer, insbesondere der Fragesteller davon profitieren können.
Ich hätte ja von Vornherein den Impulserhaltungssatz angewendet (und habe auch zweimal darauf hingewiesen), anstatt den komplizierteren Weg über die Bewegungsgleichungen zu versuchen. (Das geschieht in Analogie zu den Fällen, in denen die Anwendung des Energieerhaltungssatzes meistens auch einfacher ist als der Weg über die Bewegungsgleichungen.)
Hier also der Impulserhaltungssatz:
\cdot v(t))
Nach v(t) auflösen und über die Zeit integrieren, ergibt die gesuchte Weg-Zeit-Funktion.
Da in der Aufgabenstellung auch die Länge des Zuges gegeben ist, nehme ich mal an, dass die Aufgabe mindestens noch eine weitere Frage beinhaltet, nämlich die nach der Endgeschwindigkeit des Zuges nach Abschluss der Beladung. Aber dazu kann nur physic Auskunft geben.
Übrigens: Die hier vorgelegte Aufgabenstellung lässt noch einen ganz anderen Schluss zu, der die bisherige Diskussion vollkommen überflüssig machte. Dort steht nämlich
| physic hat Folgendes geschrieben: | | ein Zug fährt mit einer Geschwindigkeit v_0 unter einer Befüllstation her und bewegt sich in x-Richtung ... |
Wenn man das wörtlich nimmt, ändert der Zug seine Geschwindigkeit gar nicht, sondern wird so von einer Lok angetrieben, dass seine Geschwindigkeit konstant bleibt, was auch der Realität entsprechen würde, weil nur dann eine gleichmäßige Beladung des Zuges garantiert wäre. In diesem Fall wäre die Lösung trivial, nämlich =v_0\cdot t) . Sollte es sich hier also quasi um eine Scherzaufgabe handeln?
EDIT: Huggy war zwischenzeitlich schneller, hat jedoch einen kleinen, aber entscheidenden (Flüchtigkeits-)Fehler gemacht. Richtig ist
=\frac{Mv_0}{m}=\frac{Mv_0}{M+Rt})
Zuletzt bearbeitet von GvC am 14. Nov 2013 11:55, insgesamt einmal bearbeitet |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 14. Nov 2013 11:52 Titel: |
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Und warum wäre dies keine Lösung der DGL?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 14. Nov 2013 12:04 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | | Und warum wäre dies keine Lösung der DGL? |
Einsetzen und ausrechnen. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 14. Nov 2013 12:27 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
EDIT: Huggy war zwischenzeitlich schneller, hat jedoch einen kleinen, aber entscheidenden (Flüchtigkeits-)Fehler gemacht. latex] |
Danke für den Hinweis. Habe es (m -> M im Nenner) korrigiert. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 14. Nov 2013 12:39 Titel: |
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Nochmal ganz allgemein. Wenn man z.B. die DGL für v(t) aufstellen möchte, dann würde diese doch auf das oben genannte Beispiel folgendes bedeuten, oder?
Und diese DGL würde man doch mit dem Exponentailansatz lösen, oder?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 14. Nov 2013 13:29 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: |
Und diese DGL würde man doch mit dem Exponentailansatz lösen, oder? |
Wenn man es richtig macht kann man exp(f(t)) als Ansatz nehmen. Einfacher ist direkt Separation der Variablen. |
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Wiktoria
Gast
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| Wiktoria Verfasst am: 14. Nov 2013 18:19 Titel: |
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Ich habe da wohl Mist gebaut.
Am liebsten würde ich es auch so machen wie planck und den Beitrag klammheimlich verändern! |
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